多元微积分告诉我们在欧氏空间里有函数的Lebesgue积分,也有相应的change of variable的法则。然而在流形上没有天然的坐标,一个不依赖于坐标的量才是有意义的。所以我们如果想把欧氏空间上的Lebesgue积分推广到流形上,当然希望在一个坐标卡上就是Lebesgue积分。这个东西要满足相同的change of variable的条件。满足这种东西的对象,就叫做n次微分形式(如果流形是n维的)。
另外一个要求就是流形需要是可定向的,并且要选取一个定向。这是因为Lebesgue积分是和定向没有关系的(change of variable的时候有Jacobian的行列式的绝对值出现)。这样定义的时候,我们就不能选取任意的局部坐标系,而需要是和这个定向相符的坐标系(譬如左手系或右手系)。