弦论用数学 - [科学和艺术]
2007-11-24
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如果你想在理论物理尤其实在弦论上做一些工作的话，而且你想在弦论上走动前沿的话，那么你熟悉下面的内容。
Real analysis ——实分析
在实分析里，学生学会实函数作为映射的抽象特性。同态，不动点，和基础的拓扑学（集合论，邻域，不变量，同胚）。
Complex analysis ——复分析
复分析实学习弦论的重要基础。其中包括，复变函数，复流形，全纯（holomorphic）函数，调和形式，Kahler 流形，黎曼表面和Teichmuller 空间。要研究弦论就要对这样主题都比较熟悉。
Group theory ——群论
如果不理解对称性和群论是不可能理解现代物理学的，群论通常以N个文字的置换群和其他的有限群开头，其中重要的概念有：表示，不可约性，类，特征子。
Differential geometry ——微分几何
爱因斯坦的广义相对论，把非欧几何从有争议的数学变成了物理学研究生教育的组成部分。微分几何研究微分流形、坐标系统、矢量和张量。学生应该学过矩阵、协变倒数（covariant derivatives）、也要知道怎样计算（非）坐标轴基的曲率。
Lie groups ——李群
李群是一个群被定义为映射在微分流形上的集合。李群在现代物理学中特别重要。李群的研究结合了从群论、基本微分几何到李倒数、Killing矢量、李代数和矩阵表示。
Differential forms ——微分形式
微分形式的数学是由Elie Cartan 在20世纪初提出的，微分形式是理解 Hamitonian 动力学、相对论和规范场理论的强有力的技术。先学习反对称张量，然后是外积、外倒数、可定向性（orientability）、体积元和可积条件等概念。
Homology ——（下）同调
下同调考虑的是区域和空间的边界。例如，二维圆盘的边界是一维的圆圈。但一个一维的圆圈没有边缘，因此没有边界。在下同调里，这就产生了“边界的边界是零”。主要是学习，单形（simplex）、链、和下同调群。
Cohomology ——（上）同调
从名字上看，你可能怀疑上同调和下同调是相关的。上同调是研究定义在某个流形M上的微分流形的封闭和精确的相互关系。学生主要是学习Stokes定理的产生、Rham 上同调、Rahm 复数、Rahm定理和上同调群。
Homotopy ——同伦
简单的说，同伦研究圆环图中的洞。同伦在弦论中是很重要的，从物理的因果关系，因为封闭的弦可以缠绕并粘在圆圈图的洞上。
学生学习通道和循环，循环的同伦图，收缩性、基本群、更高的同伦群和Bott周期性定理。
Fiber bundles ——纤维丛
纤维丛是由一个数学领域构成的，这个数学主要是研究通过某种映射定义在其它空间上的空间。例如，在电磁场里，有U(1)矢量势和时空流形中的某个点都相关的。所以，抽象的研究电磁场可以作为U(1)在某个时空流形M上的纤维丛。其中概念包括正切丛、主丛、Hopf 映射、协变倒数、曲率和物理学中与规范场的联系。
Characteristic （cohomology） classes ——上同调特征类
上同调特征类可以把复杂的问题退化为已经解决的数学问题。Chern 类和弦论紧密相关的。
Index theorems ——指数定理
在物理学中，我们通常对知道微分算符的零本征值感兴趣。一个算符的指数是和零本征值的空间的尺度相关的。指数定理和特征类是相关的。
Supesymmetry and supergravity ——超对称性和超引力
超对称性后面的数学开始于两个概念：graded 李群和Grassmann 数。graded 代数使用交换和反交换关系。Grassmann数是反交换数，因此x倍 y=－y倍x。这个在超对称性上使用的数学技术需要理解：graded 李代数、在任意时刻尺度上的自旋子、自旋子的协变倒数转矩Killing 自旋子和Grassmann乘法、倒数和积分以及Kahler 势。
