函数称为图(chart),多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集

引例: 圆圈 圆是除欧氏空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑,例如一个半径

圆圈流形基于斜率的坐标图集

为1，圆心在原点的圆。若x 和y是圆上的点的坐标，则我们有x² + y² = 1

局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，我们只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，y-坐标在那里是正的(右图中黄色的部分)。那个部分任何一点都可以用x-坐标确定。所以，存在双射 Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(−1, 1)：

（1）

这样的一个函数称为图(chart)。类似的，下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）也有图。合起来,这些部分覆盖了整个圆，我们称这四个图组成一个该圆的图集(atlas)。

注意上部和右部的图的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:

（2）

这样的函数称为变换映射(坐标变换)。

上，下，左，右的坐标图表明园圈是一个流形，但它们不是唯一可能的图集。坐标图不必是几何射影，而图的数量也可以有某种选择。考虑坐标图

（3）和（4）

这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(−1,0)的线的斜率; t是镜像对称，其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映射为

（5）

我们很容易确认x²+y² = 1对于所有斜率值s成立。这两个图提供了圆圈的又一个图集，其变换函数为

（6）

注意每个图都缺了一点，对于s是(−1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个图不能独自覆盖整个圆圈。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的图可以覆盖整个圆圈；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。

流形不必连通(整个只有一片);这样，一对分离的圆圈可以是一个拓扑流形。它们不必是闭的；所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限;这样抛物线也是一个拓扑流形。把这些自由选择加起来，两个另外的拓扑流形的例子有双曲线和三次曲线y² - x³ + x = 0上的点的轨迹。

但是，我们排除了向两个相切的圆(它们共享一点并形成8字形)的例子；在切点我们无法创建一个满意的到一维欧氏空间的坐标图。(我们可以在代数几何中用另一种观点来看，在那里我们考虑四次曲线((x − 1)² + y² − 1)((x + 1)² + y² − 1) = 0上的复数点，其实数点构成一对在原点相切的一对圆。

从微积分的观点来看，圆的变换函数T只是开区间之间的函数，所以我们知道它意味着T是可微的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。

编辑本段坐标图，图集和变换映射

坐标图(chart)

一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。

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图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。

例如极坐标，是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图。

图集

多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。

包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。