算符F的本征值，是力学量F在测量下的可能取值，进入观测中的，都是平均值。所有本征值乘以取该本征值的几率（一般态矢|ψ>用本征态展

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星空浩淼 2009-6-16 09:51

算符的矩阵表示与谱表示

在观星楼里，我跟人讨论问题时涉及到算符的矩阵表示，以及它的矩阵元含义等等，我想我在这里重开一楼，也许是有意义的。

在一组正交完备态矢集合下（比如算符G的本征态集合），可给出算符F的矩阵表示，其中，对角元对应算符F在算符G的某个本征态下的平均值，非对角元对应算符G的一个本征态在F的作用下向算符G的另一个本征态的跃迁几率幅。一个特例是，F=G，此时F在自身表象下是一个对角矩阵，对角元即时F在它的本征态下的本征值，我们知道，算符F的本征值，是力学量F在测量下的可能取值，进入观测中的，都是平均值。所有本征值乘以取该本征值的几率（一般态矢|ψ>用本征态展开时，展开系数的模方即是这个几率），再求和，即得到力学量算符F在一般态矢|ψ>下的平均值<ψ|F|ψ>。

事实上，可以回顾一下算符的谱表示，例如（重复指标表示求和）
F=F_(mn)|m><n|
其中F_(mn)是算符F在正交完备态矢集合{|n>}下的矩阵元。若{|n>}是F的本征态集合，则F=F_(nn)|n><n|，其中算符F的本征值集合{F_(nn)}即是算符的谱。

用数学语言来讲，在某Hilbert空间中，任一个态矢量|ψ>可以用张成这个Hilbert空间的一组完备正交的基向量{|n>}展开，它相当于Hilbert空间上的一阶张量（即矢量）；而通常的力学量算符F，相当于Hilbert空间上的二阶张量，可以用张量基{|m><n|}展开为
F=F_(mn)|m><n|
此即是算符F的谱表示。如果用逆变、协变张量作为类比（逆变、协变张量互为对偶张量），这是一个“混合张量”；而用直积
{|m>|n>}
展开的量（例如纠缠态），相当于一个二阶“逆变”张量；用{<m|<n|}展开的，是对偶的二阶“协变”张量。

留空 2009-6-17 02:18

非对角元对应算符G的一个本征态在F的作用下向算符G的另一个本征态的跃迁几率幅

这里“作用”是什么意思？

星空浩淼 2009-6-17 08:31

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就是算符作用于一个量子态时的那个“作用”