笫26春 笫1期 力 学 迸 展 v01.26 侧
1996年2月25日 ADVANCES IN MECHANICS Feb. 25, 1996
张 函 数 的 表 示 理 论*
一一本构方程统一不变性研究
郑泉水 (Q-S Zheng)
清华大学工程力学系, 北京 100084
提要 张量函数的完备和不可约表示′ 容纳]`非线性本构方程一般且协调一致的不
变性形式, 规定了所引入标量变量的数目和类型. 它们在建立描述各向异性材料
力学行为模型的过程中尤其有效, 因为此时, 不变性条件起到相当的支配性作用,
且无法通过其它方式的简单分析确定本构方程中独立标量变量的数目和类型. 最近
几年已经相当完整地建立起张量函数的表示理论, 其中包括3个基本原理, 一组基
本定理和大量在三维、 二维物理空间中关于各向同性和各向异性张量函数的完备和
不可约表示. 本专题综述的目的, 在于总结并扼要重述迄今为止有关张量函数表示
理论的进展和成果, 从而为该理论在现代应用力学中的进一步运用提供便利条件.
文中还探讨了有关本构定律统一的不变性表示的若干一般性命题.
关键词 本构方程; 张量函数; 表示理论; 各向异性
主要符号丹 术语集
| =二阶单位张量, 其分量为Kr0n眈kcr符号飙j
8 =置换张量, 其分量在三维空间为:6山、 在二维空间为8H
u×v =三维空间矢量u和V的叉积, 分量为8咖u刑k
〔u,v,w〕 =v- (UXW), 三维空间三个矢量U、V和W的混合积
8〔G〕 = 三维空间的一个矢量, 其分量为 8山 Gjk
Eu =三维空间的一个二阶反对称张量, 其分量为8山uk
{i,j},{i,j,k}3分别为二维和三维空间的一个单位正交标架
* 对 Applied Mechanics Revíews的主编Arther W Leissa 教授书训许可不详榈的正式出版槿致谢曰
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ñi,§3,§k = 分别是对法向为 i、j 和 k 的平面所作的反射变换
R(6) ,R(6n) = 分别是二维空间转角 6 及三维空间轴向 n 转角 9 的转动张
在本节中, 我们将简单回顾一下张函数表示理论的发展历史和现代进雇请况, 定义有
关的基本概念, 井阐述两个重要的存在性定理. 1
1.1 综述发展历史
材料的非线性本沟玉造系茌现代理论与应用力学中扮演着越来越重要和关键的角色. 材料
的对称眭 (各向同性、 横观谷问同性、 正交异性、 晶体对称性等) 限制了本构关系中张量函
数的形式. 正是张量函数表示精确体现了这种限制, 同时规定了在本构关系的张函数中出
现的、 可从实验中观测的独立的标量型变量的类型和数量. 建立非线性本构定律, 特别当材
料是各向异性或者材料的响应依赖多于一个张量自变量的时候, 张量函数的表示 便 非 常 有
效, 甚至是必不可少的.
例如, 考虑存在应变能函数为`W 的弹性材料. 这时, W 可以表示为某个应变张 , 如
Gfecn E 或它的六个独立分 E11,E33,E23 = E32,E31= E13 和 E12 = E21的 函数. 进一步, 如果材料是各向同性的, 则根据对称性要求, W 可以表示为E 的三个主 迹
数tr E, 甘 E2, tr E3 (或等价地为 E 的三个主不变量 IE,IIE,IIIE) 的函数
W=W(trE,1r E2,tr E3) (1,1)
对于具有特征方向 (记为 a) 的横观各向同性材料, 该材料的对称性限制了W可以表征为 五
个不变量 (而非 E 的六个分量) 的函数, 形式如下:
W=W(’[t`E,'[r E2/[r E3,a' Ea,a‘ Eza) (1.2)
上述两种材料对称性, 即各向同性和横观各向同性分别在 (1.1) 和 (1.2) 中自动得到精确
的满足.
关于非线性本构定律的一般性研究和张量函数表示理论在连续介质力学中具体应用的近
代发展, 始自 Rívlin 的工作 (文献口09,110〕及随后的一系列文章) 以及 Reiner [1°7"°8] 关
于有限应变的各向同性不可压缩超弹性材料和非线性粘性流体的研究. 拳
从 50 年代 Rívlin 和 Erickscn U171 的工作开始, 张量多项式表示理论得到了广泛 的 发
展,到 70 年代初,该理论已较完整地建立起来了. 其丰富的结果可参见 Spencer 的著述(见文
献 〔147,150〕‘)) . 该理论所对应的假设是, 本构关系中的张量函数为多项式形式,或者是可按
1) (译后记) 最近 G-F. Sm迁h教授发表了一本关于张量多项式表示理论的新著: Constitutive Equations for
Anisotropic and Isotfopic Marcrials.North-Holland, Amsterdam/London/New York/Toky山1994 作者.
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注意所需精度近似的多项式 i‘59’“° 町. 关于张多项式函数的表示, 特别是整基的丰 富结
果是由 Rivlin、 Ericksen、 Spencer, Smith、 Adkins、 Pipkin、 Wineman 等人建立起来的,
涉及到任意有限数目的二阶对称张量 A1,---,AN (用 A6 表示), 二阶反对称张量 W1,-°-,WM
(用 WP 表示) 和矢量 V1,"-,Vp (用 V," 表示) 的各向同性、 半向同性 (或相对各向同性)、
五种横观各向同性、 正交异性和32种晶体对称性.
对本构方程作多项式假设, 主要是为了数学处理上的方便. 但这一做法, 尤其当本构方
程不具备析性时是有严重缺陷的. 在 Wineman 和 Pipkín [1°5’1°8] 的重要成果中部分 地消
除了这一缺陷, 他们证明了张量多项式的完备表示均可以看作是一般张量函数的完备表示.
然而, 为了得到简要而准确的非线性本构方程, 应采用可从实验观测到的最少数目的变量.
这强调了张量函数的表示不但应该是完备的, 还í应 该 是 不 可 约 的. 遗 憾 的 是, 一 个按
Wineman-Pípkín 定理作为一般张量函数完备表示的张量多项式的完备表示, 在绝大多数情
况下都远不是不可约的. 因而, 它在应用于描述本构方程时必然包含许多不独芷的 变量. 上
述观察强调了对于一般张量函数 (不仅仅是张量多项式) 的表示, 不但要求它是完备的, 更
要求它是不可约的. 丹'
早在 1850 年 Cauch喜' 5牺 就绐出 了一个关于以矢量为变量的标值函数的表示定理. 然
而, 直到本世纪60年代, 从文献中 可查找到的还只是少数几个孤立的关于各向同性张量函数
的完备和不可的表示, 分 别 由 Cauchy [川 , Rivlinx和 Ericksen [117] , Rivlinlm] 以 及
NO11恻1 绐出. 4.
在三维空间中笫一个关于任意有限数目的二阶对称、 反对称张量和矢量的各 向 同 性 标
量、 矢量、 二阶对称和反对称张量的张量函数表示的一 般 性 结 果, 是 由 Wang[1e1ˉ1°5] ,
Smith [1呷331 和 Boehler [州 得到的. Smith 的各向 同性 函 数 基 中 包 含 了 几 个后 来 被
Boehler [29] 发现的多余不变量, Zheng E1783 对 Smith-Boehler 的表示作了 进 一 步 简 化.
Pennisi 和 Trovate [100] 证明了 Smith-Boehler 表示以及 Wang 表示的不可约性. 这些表示
的完备性由 Zheng ["8] 通过一个新的推导方法而得到肯定. 实 践 证 明, Rivlin-Erickse扯
Smith [1呷33] 推导的各向同性标量函数和 Zheng山8] 推导的各向同性矢量和张量值函 数的
完备和不可约表示的方法较之 Wang [161蛐] 所提出的方法更为简单有效. 关于完备和 不可
约各向同性张量函数表示理论, 最近还得到不少进一步的结果. 它们涉及二维空间的矢量和
二阶张量 (Korsgaard [川 , Zheng U781) , 三阶张 量 和 四阶张 量 (Zheng [185] , Zheng 和
Betten [187] ) , 以及三维空间的三阶张(Pemisi 侧 ) ,和四阶张量 (Zheng 和 Betten ”阴 ) .
这些各向同性张量函数表示将在笫 2 章和笫 8 章作详细介绍.
BO6hl盯的论文(见文献〔30,缸D开创 了研究各向异性张量函数和各向异性材料本构方程
的一个新阶段. 在这些文章中, 表征材料各向异性的各向异性张量 (smith和Rivlin山盯)
或结构张量 (Lokhin 和SCd0v 伽’唧 和 Boehler [30叫 ) 的概念, 成功地扩展 为 所 谓 的 空
间各向同性原理三 一个各向异性张量函数可以表示为将结构张量作为附加的张量自变量的各
向同性张函数 (参见 Liu 侧 ) . i由此利用各向同性张函数表示的 已知结果, 便可立即导
出删些备问异性张量函数的表示, 如参见 Boehler 和 Raclin [川 , Boehler [州 , Liu 【删 ,
性材料的复杂不可逆力学现象, 如屈服、 失效、 蠕变和损伤的本构定律给出了很好的描述,
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参见 BOeh1er[32,33,35,37,38] 和 Bettcn[24,251 进一步, 我们还可以看到上述描述各向异性材料本构方程的 B0eh1er 方法附带另外 3 个
好处= ®不论材料实质具有何种各向异性, 其本构方程都可以化成各向同 性 形 式; ®所 得
本构方程中各向异性的影响通过结构张量变得更为清楚; ®所得本构方程的形式 与 坐 标 无
关. 但在另一方面, 我们同时也注意到了 BOcMer方法的两个缺陷: 其一, 它依赖于事先已
知的各向同性张量函数的完备和不可约表示, 但迄今为止我们对涉及高阶张量的这类表示所
知甚少; 其二, 按照 Bcehlcr 方法所得到的各向异性张量函数表示一般都包含着许多难以辨
别、 从而也就难于清除的冗余不变量. 综合以上两方面的观察, 我们提出了下列基本问题或
目标:
0 能够对所有种类的各向异性进行描述和分类吗?
' 是否每种各向异性都可以用一个或一些张量加以表征?
' 有限形式的、 完备的张量函数表示是否普遍存在?
° 发展确定各向异性张量函数完备不可约表示的简单有效新方法.
针对上述基本问题,我们最近提出 了两个基本原理井延立起一系列基本定理 (见第 3 章) .
它们是: 关于所有种类二维、 三维材料和物理对称性的分类定理 (Zhcng和 B0eh1er[19°1)、
结构张量定理 (Zheng 和 Spemeir 叫“ , Zheng 扣 Boehler U871 , Zheng [184}18°] 5 静 另 见
Lokhiu 和 Sedov 椭] , Zhang 和 Ry chlewski [174] ), 广义Wineman-Pipkin 定理 (Wineman
和 Pipkín "删 9 Zheng 和 Boehler “川 ), 关于张函数有 限 形 式 表 示 的 存 在 性 定 理
(Zheng [188] ) , 各向同性化!定 理 (Zheng 【18°] , 另见 Boehler [3坍川 , Liu [川 , Zhang 和
Rychlewskí [174] ) , 空间各向同性原理 (Boehler ‘3坍州 , Zheng 川町) 和连续介质对称性原
理 (Zheng 和 Boehler [190] , Zheng 旧町) _
同时我们也巳得到了大量的各向异性张函数的完备和不可约表示,如见 Zheng等 [177] ,
Zheng [179ˉ184] , Zheng 和 Boehler [训 . 其结果涉及二维所有种类 的 各 向 异 性, 见 笫 4
章; 涉及三维横观各向同性、 正交异性、 斜交异性、 一般各向异性和立方对称性, 分别见笫
5 章到笫 8 章. 笫 9 章对有关推导这些表示历来用的方法作了系统的说明. 关于张量函数表
示理论在连续介质力学中具体应用的若干一般命题则在笫10章中作了讨论, 其中包括本构定
律的几个统一不变性形式、 共旋率的有关问题和本构等效原理. 最后, 参考文献中列出了作
者所参阅过的一份关于张量函数和张量多项式表示理论的较全面的资料集. _
1.2 基本概念、 Neumann 原理和存在性定理
任何以张为自变量、 其值为标量或张的函数都称作张量函数, 这里把矢理为一
阶张量. 张量多项式是这样的特殊张量函数, 其分量是张自变量分的多项式函数. 在本
文中, 我们将 “张量函数” 和 “张多项式” 区别对待, 规定前者可以是一般的非多项式张
量函数.
令 §Z8(Sa)和 F($.) 分别为任意有限数目的张量自变量 Si,"',SA 的标和张量值函数.
一个正交张量 Q (即 QTQ = QQT= l) 称作为 帜羁) 和 F(Sa) 的一个对称变换, 如果它 分
别满足
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(或一个正交 Cartesian 坐标系) , 并采用重复指标求和约定. 对任意矢量 V, 二阶 张 量 G
和更高阶的张量H, 可以更清楚地解释式 (1.3) 和 (1.4) 中的符号〈 〉的含义如下:
Mllfnêlghan [87] 及 Zheng 和 SpeI1Cer [193] K.'丁f)neCkef
幂 〈Q〉 的一般特性工作.
分别由 (i>($a) 和F(S.) 的全部对称变换构成的两个案合, 称作为 (MSH) 和F(鲫 的
对称群. 我们把完全正交群的任何子群都称力点糕、 则上述对称群显然是点群. 如果一个张
量函数的对称群是完全正交群恒男, 则相应的对称性称作各向同性; 如果对称群是正常正交
群 〈即旋转群) , 则诙函数称为半向同性; 其它情形则都是各向异性.
对于叫卜给定的点群, 如果某些标和张量值多项式的对称群包括该点群, 则称这些标
量值和张量值函数为该绐定点群的不变量和形式不变量1). 例如, 任意两个矢量 V 和 u 的 标
量积、 任意二阶张量 G 的迹数 tr G 都是各向同性不变, 而张量积 v®U 则是二阶张量形式
不变量. 考虑到对于任意矢量 v、u、W 和任意正交张量 Q, 成立
故混合积 〔V,U,W〕 = (v × u) - W 和又积 v >< U 分别是半向同性不变量和半向同性形式不变量. A
文中前缀 “det” 表示行列式.
晶体材料的对称性由晶体点群所描述. 无定形固体如玻璃、 木材、 橡胶、 聚乙烯和其他
塑料一般情况下则看作是各向同性丹 横观各向同性或正交各向异性材料. 大体上讲, 绐定一
种材料, 若可能对之进行某种正交变换后, 对于固定的观察者而言观察不到此材料微观结构
的变化, 则所有这类正交变换形成的集合就是描述该材料对称性的点群[删 . 关于材料对称
性这一课题的更为丰富的内容,读者可参考下列论著: Coleman和NOH 侧1 ,Ericksen伽ˉ山 ,
Cohen 和 Wang [52] , Rivlin 和 Smith 【12°] , Wineman 等 柳町 , Negahban 和 Wineman 惘'8町
以及 Zheng 和Boehler [190] . 作为连续介质力学的一个基本 公 理, Neumann 原 理 [删 (或
参见〔96,69〕) 可以表述为=
1) 并非一定要象本文这样限定不变量和形式不变量只能是多项式函数, 而不能是更一般的函数. 本文作该限制.
是因为文中综述的表示都只用到了多项式形式的不变量和形式不变, 超出这一限制, 如有理函数不 变量. 可
见于 Bao 和 Smith〔9〕 的工作,
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给定材料的材料对称群, 必然是该材料任何本构定律中的任何张量函数的对称
群之子群.
Neumann原理深刻揭示了材料对称性对本构定律的约束, 并暗示了张量函数表示在连续介
质力学中的必要性和巨大重要性. 拳 A
考察&的一组各向同性不变量I‖"-,I8- 则I‖中h的任何单值函数或多项式
都分别叫作sa的一个各向同性标量值函数表示或多项式表示. 如果I‖-",IB 中没有哪个可
以表示为其余各量的单值函数或多项式, 该表示是不可约的3 如果$.的任意各向同性标量
值函数或多项式可以表示成式 (1.12) 的形式, 称作是完备的. 由 Sa的各向同性标量值函
数或多项式的完备表示中的不变量构成的集合, 称作为S.的各向同性标量`值函数基或整
基.
设 H1,---,HD 为 Sa 的各向同性二阶对称张量形式不变量. H1,-” -HD 的以系 数 cb 为 S.
的任意各向同性标量值函数或多项式的线性组合
分别称作为$,的各向同性二阶对称张量值函数表示或二阶张多项式表示. 如果H1,"-,HD
中没有哪个可以表示成其余各量的线性组合 (系数为各向同性标量值函数或多项式) , 该表
示称作为不可约的; 如果$u的任意各向同性二阶对称张量值函数或多项式都可以表示成式
(1.13) 的形式, 称作为完备的.
读者可以很容易地将上述关于表示的完备性和不可约性概念推广到具有任意对称性、 任
意形式的张量函数和张量多项式. 例如, S.的正交异性矢量值函数的一个完备表示, 代表了
一组S«的正交异性矢量值形式不变量, 要使得Sa的任意正交异性矢量值函数都可以表示为
这些形式不变的线性组合, 其系数则是S.的正交异性标量值函数.
作为代数不变量经典理论的首要基本定理 (参见[167,68,147〕), H丹ilbert定理可以阐述
为:
对于任意有限数目的张量变量和任意紧点群, 存在一个由有限数目不变量构成
的整基.
这个定理十分重要, 因为它断定对于张量的任意有限体系, 都存在一个有限的整基. 最近,
Zheng和B0eh1Cr[19°] 指出了, Hilbert 定理适用于所有类型的紧点群 (参见笫3节) , 但
不适用于任何非紧点群.
Zheng川8] 建立了与Hflb蛐定理相似的关于一般张皇函数有限表示的存在性定理:
对于任意有限数目的张量自变量和任意紧点群, 存在一个由有限数目不变量枸
成的函数基, 并且关于任意类型的张量值函数存在一个由有限数目形式不变量构成
的完备表示.
上述存在性定理为寻求张量函数完备和不可约表示的努力提供了有力保证, 它是现代张函
数表示理论的主要成果之一.
在笫 3 章中, 我们将阐述张量函数表示理论中更多的基本定理和基本原理.
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2 备向同性和
半向同性张l函数
各向同性问题一直是理论和应用力学中最为优先考虑的问题, 这有着众多原因, 其中最
显著的原因是各向同性本构定律较之各向异性一般具有简单得多的形式. 本章中总结了标
量、 矢量、 二阶和三阶张量的各向同性和半向同性张函数表示, 而有关四阶张量函数的表
示则在笫8章中绐出.
2.1 矢l和二阶张l的三维备向同性张l困巍
任意有限数目的二阶对称张量Ai§ 二阶反对称张量Wp 和矢量vm的三维各向同性标
、 矢和二阶对称和反对称张值函数的完备和不可约表示, 是由 Wang川3ˉ响丹
smith酬 和 Boehler侧 得到的. 表 1 列 出 了 经 过 zheng侧1 简化 后的 smith-
表 1 三维空间关于A5,Wp,vm的各向同性和半向同性不可约函敕基中的不雯i”
1) 在 smith 的函数基中 1183], 不变量 tr ABW2 和 V Aw2v 是冗余 的 侧, 而 v<Aw~
wAw可由更简单的童毗AW+wA)U代替 11781?
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B0eh1er[133'Z9] 各向同性函数基; 表2则列出了经过 Zheng叫] 简化后的Smfih“吲 各向
同性二阶对称张量值、 二阶反对称张量值和矢值函数的完备和不可约表示中的有关全部形
0121'
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铐 丹 © 1994-2006 China Academic Journal Elec仕onic Publishing House. All rights reserved. http://Www.cnki.net
v
` 约定在所有关于表示的列表中, 采用下列缩记=
对于任意二阶张量 G, 还有
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Zheng胍] 发展了一种新方法, 重新核实了表1和表2中各向同性张量函数表示的完
备性; 而这些表示的不可约性由 Pennisi 和 Trovate [1川 绐出 了证明. Wang的表示 川3训5]
可通过在表1和表2中把下列 (2.5)-(2.14) 式左端的各向同性不变量和形式不变用右
端的替代而直接得到.
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2114)
www
由此可见, 简化的Smfih'B肌hl眈表示比Wang表示具有更加紧凑的形式, 尽管后者也
是完备和不可约的.
顺便说一下, 至今尚未在文献中见到关于三维空间AUWP,Vm的各向同性张量多项式
的一般完备和不可约表示, 参见[147,150〕.
读者可以参考PCnn蛐侧 的关于三维空间A‖WP,Vm的三阶张量值各向同性函数的表
示方面的工作. 一般来说, 根据 Zheng胍] 发展的方法, 导出 AUWP,Vm的任意高阶张量
值各向同性函数之完备和不可约表示, 应该没有原则上的困难, 而只有工作量很大的问题.
从表2可见, 在各向同性表示中至多出现AUWμH的三个自变量 (如三个二阶张量、 两
个二阶张量和一个矢量、 或一个二阶张量和两个矢量) 耦合成一个形式不变量. 有关结论
是, 对于各向同性任意高阶张量值函数, 都存在着至多出现三个自变量耦合成形式不变量的
完备和不可约表示.
在Wang和Smith得出一般性结论之前的文献中, 还可以找到少数几个关于各向同性张
量函数表示定理的孤立例子. 它们是: (i) Cauchy呐 的关于矢量v1,川,\'P的标量值函数
的表示定理, 即
(ii) 隼人二阶对称张量A的标量值和二阶对称张量值函数的表示定理, 即
其中 §00,<P1 和 %取 (2.16) 的形式, 表示公式 (2.17) 属 于 Rivlin 和 Ericksen川7] .
(iii) N011[94] (参见 [159] 笫 35 页) 的关于单个二阶对称张量 A 和单个矢量 V 的标 量值
和矢量值函数的表示定理, 即 拳
(p=(p(trA,tr A2,tr A3,v-v,v-Av,v-Azv) (2.18)
f=(P0V+<P1AV+(P2A2V (2.19)
其中 %,趴和帆的形式同 (2.18) . (iv) 关于两个二阶对称张量A和B表示定理, 即
其中 <p0,...,<p5 的形式同 (2.20), 表示公式(2.20)和(2.21) 分别由 Rivlin和 Erickscn [叫
及 Rivlin仰] 给出.
当然, 所有以上 (2.15)_(2-21) 中的特殊结果可以马上从表1和表2读出. 最后, 请
读者注意张函数表示 (2-15)-(2-19) 与相应的整基和张量多项式表示具有相同的形式.
例如, 若限于多项式, 则可将 (2.18) 和 (2.19) 归入Pipkin和Rivlin川2] 的工作.
2.2 矢l和二阶张l的三维半向同性张l酉敕
三维空间的置换张量记为 8. 对于任一右手正交基, 当i,j,k为1,2,3的偶换或奇置
挽时, °的分量8山依次取1或-1; 否则 8山=矾 因为关系
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tA®tA,TV,A(T:S) - (T:S)A
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有必要对表 4 和 5 中的各量作进一步的说明. 一个张量 P 称作为不可约的, 如 果 它 既
是完全对称又是迹数为零的, 即
其中分量 01.---1 对应一个零张量. 容易验证, 二维空间中任意有限阶的不可约张 P 都 仅有
因为对于二维空间中任意三阶张量 ^ , 均可以按下 述 形 式 分 解 成 3 个 矢 量 /16则
A咖, AM; 和一个不可约三阶张量 T:
不失一般性地-我们假设表 4 和表 E; 中的三阶张量 T1,-H , TL 均为不可约的张量,即不仅是完
全对称的而且迹数为零. 欲将任意阶张量筒化成不可约张量, 读者可参考Spenc盯 川唧°] 和
Hannabusf; [刚 发展的一个基本方法.
对于任意矢量 V、 二阶对称张量 A、 二阶反对称张量 W 和三阶不可约张量 T 和 S, 我们
还采用缩写 1
张量函数表示理论中的基本定理和原理, 包括: 分类定理、 结构张量定理、 各向同性化
定理、 存在性定理、 Neumann 原理、 连续介质对称性原理和空间各向同性原理. 在本章中
所阐述的这些基本结果构成了张量函数表示理论的主体框架, 并巩固了该理论描述各向同性
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®P. 是不可约的 (即完全对称和迹数为零的〉, 并且只 有限制在三维基本空间中由 i 和 j 张
成的二维子空阆中的分遣可能不为零, 从而如 (3.14) 所示或见笫 2.3 节中的有关释, 每
个 P1. 最多可能有两 个独立分量 c0S(n0) 和 sin (ng) . P. 的这些特点绐确定完备和 不 可 约
各向异性张函数表示的过程以及应用于建立反映各向异性材料物理和力学行为模型的过程
都带来了很大的化简, 参见笫 4 章. 可以很容易证明, 二维空间任意不可约 11 阶张都可以
表示成线性组合形式 aP,.+bQ,. ~ ^ (3.15)
这些 P.. 和 Q. 分别是 n 阶完全对称和迹数为零的复张量 (i + ij)" 的实部和 虚部{ a 和 bi
为两个任意实常数. _
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