在物理學裏，算符，又稱算子，作用於物理系統的物理態 (physical state)，使得物理系統從一個物理態變換為另外一個物理

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2010年10月29日 – ... 的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的 ... 事实上，希尔伯特谱论已是泛函分析算子谱论的开始（虽就算子而言是 ... 然而早在18世纪，人们已从数学的各个领域的经验中开始对算子有所意识，特别从种种方程的 .... 算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子

算符 (物理學)

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物理算符
位置算符
動量算符
角動量算符
哈密頓算符
時間演化算符
階梯算符
創生及湮滅算符
自旋算符
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在物理學裏，算符，又稱算子，作用於物理系統的物理態 (physical state)，使得物理系統從一個物理態變換為另外一個物理態。通過這變換，我們時常會得到一些關於這兩個物理態的資料。

目录

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[编辑] 在經典力學裏的算符

思考一個經典力學系統，哈密頓量 H(q,\ p)\,\! 是參數為廣義坐標 q\,\! 與其共軛動量 p\,\! 的函數。假設在某種群 G\,\! 的變換運算下，哈密頓量是個不變量；也就是說，假設 S\in G\,\! ，則 H(S(q,\ p))=H(q,\ p)\,\! 。所有 G\,\! 的元素都是物理算符，將物理態映射至另外一個物理態，同時保持哈密頓量恆定。

再舉一個關於平移於空間的簡單例子。設定 T_a\,\! 為一個平移算符(translation operator)，一個對於平移保持不變的物理系統，在 q\to T_a q=q+a\,\! 變換下，其哈密頓量保持不變。

假設物理系統可以由一個函數 f(x)\,\! 描述，像在經典場理論裏，則平移算符一般表達為

f(x)\to T_a f(x)=f(x - a)\,\! 。

請注意，在括弧內的變換是坐標的變換的逆反。

[编辑] 生成子概念

思考一個無窮小的變換，其算符的形式為

I+\epsilon A\,\! ；

其中， I\,\! 是單位算符，算符的群的單位元，\epsilon\,\! 是無窮小值參數，A\,\! 稱為群的生成元，專門用來設定這變換。

讓我們導引出一維平移於空間的生成元。將平移算符 T_a\,\! 作用於函數 f(x)\,\! ：

T_a f(x)=f(x - a)\,\! 。

假設 a=\epsilon\,\! 為無窮小值，則

T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)\,\! 。

這方程式可以重寫為

T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon D) f(x)\,\! ；

其中，D\,\! 是平移群的生成元，正好也是導數算符。所以，平移群的生成元是導數算符。

[编辑] 指數映射

在正常情況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做 N\,\! 次無窮小平移變換 T_{a/N}\,\! ，來代替一個有限值為 a\,\! 的平移變換 T_a\,\! ：

T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)\,\! ；

現在，讓 N\,\! 變的無窮大，則每一個因子可以被認為無窮小的：

T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N) D)^N f(x)\,\! 。

這極限可以重寫為一個指數函數：

T_a f(x)= e^{-aD} f(x)\,\! 。

為了要進一步信服這表達式的正確性，將指數展開為一個冪級數：

T_a f(x) = \left(I - aD + {a^2D^2\over 2!} - {a^3D^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)\,\! 。

右手邊可以重寫為

f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots\,\! 。

這正是 f(x-a)\,\! 的泰勒級數，也是原本表達式 T_a f(x)\,\! 的值。

[编辑] 在量子力學裏的角色

在量子力學裏，算符充分地發揮了它奇妙的功能。量子力學的數學描述建立於算符的概念。

在量子力學裏，一個量子系統的量子態可以用態向量來抽象地表達；而這態向量是某種向量空間（一個希爾伯特空間）的單位範數向量。在這向量空間內，時間演化算符促使了量子態隨著時間的演化。因為物體的量子態的範數應該保持不變，時間演化算符必須是么正算符。任何其他的對稱性運算，從一個物理態映射至另外一個物理態，應該遵守此限制。

物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀測量。對應於每一個可觀測量，都有一個厄米算符。實驗觀測到的數值是這算符的本徵值。每個本徵值的機率，跟量子態在那本徵值子空間的投影有關。

[编辑] 量子算符

一個量子系統的量子態，受到量子算符 \hat{O}\,\! 的作用，會變換為另外一個量子態，以方程式表達，

|\phi\rangle=\hat{O}|\psi\rangle\,\! ；

其中，|\psi\rangle\,\! 是代表原本量子態的態向量，而 |\phi\rangle\,\! 則是代表新量子態的態向量。

量子算符的概念比較抽象。它能夠更加簡易的描述量子系統。每一個量子算符，在位置空間，有一個對應的代數算符[1]，標記為 \tilde{O}\,\! 。代數算符的作用對象是波函數。代數算符是對於波函數的一些運算指示，以方程式表達，

\phi=\tilde{O}\psi\,\! ；

其中，\psi\,\! 是原本態向量的波函數，而 \phi\,\! 則是新的波函數。

例如，在位置空間裏，計算位置的位置算符 \hat{x}\,\! ，其對應的代數算符 \tilde{x}\,\! 的形式就是乘以 x\,\! ：

\tilde{x}=x\,\! 。

計算動量的動量算符 \hat{p}\,\! ，其對應的代數算符 \tilde{p}\,\! 的形式就是取對於 x\,\! 的偏微分，然後再乘以 \hbar/i\,\! ：

\tilde{p}= \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\! 。

計算能量的哈密頓算符 \hat{H}\,\! ，其對應的代數算符 \tilde{H}\,\! 的形式就是

\tilde{H}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V\,\! 。

一般而言，量子算符與代數算符都會用在量子力學裏。當我們將算符的這兩種概念融會貫通後，兩者的區分並不是那麼的重要。

[编辑] 期望值

主条目：期望值

[编辑] 位置的期望值

思考位置的|期望值，

\langle x \rangle=\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(x)^*\tilde{x}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(x)^*x\psi(x)\ dx\,\!。

對於任意波函數 \psi\,\! ，這方程式都成立。所以，位置算符 \hat{x}\,\! 所對應的代數算符 \tilde{x}=x\,\! 的確可以用來計算位置的期望值。

[编辑] 動量的期望值

思考位置的期望值隨時間的導數， 用積分方程式來表達，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\ dx\,\! 。

取微分於積分號下，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*(x,\,t)}{\partial t}x\Psi(x,\,t) +\Psi^*(x,\,t)\frac{\partial x}{\partial t}\Psi(x,\,t)+\Psi^*x(x,\,t)\frac{\partial \Psi(x,\,t)}{\partial t}\ dx\,\! 。

由於 x\,\! 只是一個位置的統計參數，不相依於時間，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}x\Psi +\Psi^*x\frac{\partial \Psi}{\partial t}\ dx\,\! 。(1)

含時薛丁格方程式為

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi\,\! ；

其中， V\,\! 是位勢。

其共軛複數為

i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2} - V\Psi^*\,\! 。

代入方程式 (1)：

\begin{align}\frac{d}{dt}\langle x\rangle & = \frac{1}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - V\Psi^*x\Psi - \frac{\hbar^2}{2m}\Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+\Psi^*xV\Psi\ dx \\ & =\frac{\hbar}{i2m} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi - \Psi^*x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx \\ \end{align}\,\! 。

使用分部積分法，

\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \Psi^*}{\partial x^2}x\Psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\! ，(2)
\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^* x\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx \,\! 。(3)

方程式 (2) 與 (3) 的減差是

(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}\ dx\,\! 。

所以，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{im}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\! 。

在經典力學裏，動量是質量乘以位置隨時間的全導數：

p= m\frac{dx}{dt}\,\! 。

在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，我們猜想這句話是以期望值的方式來實現[2]：

\langle p\rangle= m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\! 。

所以，

\langle p\rangle=\langle\Psi|\hat{p}|\Psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\tilde{p}\Psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \Psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\Psi\ dx\,\!。

對於任意波函數 \Psi\,\! ，這方程式都成立。所以，動量算符 \hat{p}\,\! ，所對應的代數算符 \tilde{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\,\! ，的確可以用來計算動量的期望值。

[编辑] 參考文獻

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