第 31 卷 第 4 期 力 学 学 报 V01. 31, No.4
1999 年 7 月 ACTA MECHANICA SINICA July, 1999
关于张量函数表示理论的标量不变兽的讨论1)
黄永念 罗 雄平
(湍流研究国家重点实验室, 北京大学力学与工程耕学系, 北京 100871)
摘要 发现文献 [1, 2] 提出曲张量函数表示理论中的完备而不可趵的不擅!不是互相完全独立
的. 分别对一个任意二阶张量和两个对称;阶张!帕标fi不变£进行了计算, 证明前者只有六
个不变量是独立的, 后者只有九^是独立的.
关键词 标量不变量, 独立不变量, 完备, 不可约
引
在力学领域内有关张量的运算和讨论到处可见,例如应力张、应变张量、应变率张呈等,
而在张量分析过程中其张量的不变量是一种非常重要的物理. 在很多文献中讨论了张蠹函数
的表示理论, 由于它具有广泛的应用价值, 所以受到人们普遍的重视. 最近, 我们在研究湍流
物理量的统计规律时发现了一些有意义的新结果. 这些结果表明在某些情况中文献[L既给出
的不变量族虽然是完备和不可约的, 但它们不是互相完全独立的, 某些不变和其它不变存
在某种有理分式的函数关系或者某种隐函数关系- 一般来讲, 这里我们所指的不变量之间的完
全独立性, 是指这些不变量之间不存在某种函数依赖关系, 包括隐函数或显函数关系. 需要指
出的是, 随着火们研究的深入开展, 对白然界出现的各种复杂现象的了也越来越深入, 人们
发现各种物理量之间可以存在隐函数关系, 如湍流代数应力模式中雷诺应力和应变率张量之间
的关系- 而隐函数关系会出现多值现象, 这正是非线性分叉产生的关键所在-
1 一个任意二阶张i的不变i
对于一个任意二阶张量P咖文献肛~5]中都绐出了七个不变量, 我们发现只有六个是独立
的. 具体分析如下.
众所周知, Pij 可以分解为对称二阶张量 Aij 和反对称二阶张量 Wij 二部分, 即
其中 1 1
Aij=§(Pij+Pji), Wij=§(Pij_Pji)
因为我们在本文中仅讨论不变量的问题, 这些不变量是指在坐标系的转动下其值不会改变的
- 所以, 现在我们选择一个特定的坐标系, 它的坐标轴方向为 Aij 的主轴方向, 则 Aij 在这
1998一04-10 收到第一耦, 1998-O7-15 收到.
1) 九 舫 五§登计划预选项目 “流体与空气动力学关fi基础问E研究” 基奎资助.
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则从这组方程可以反出 0)? (i = 1,2, 3)
这表明文 [1, 2] 给出的七个不变量都可用我们给出的六个标量 Ji (i = 1,2,---,6) 来表示, 同时
也可以用七个不变量的前六个 B沁Bã,B?i,trW2,trAW2,trA2W2 来表示, 因此独立的不变
量只有六个- 事实上从一开始张量 Aij 和 Wij 只有六个独立的分量就可以看出, 只有六个独立
变化的量, 因此由它们组成的不变量最多只可能有六个是独立的. 当然, 从计算结果来看, 不
变量 trA2W2AW 不能由 Ji (i = 1,2,---,6) 单独确定其符号, 也不是 Ji 的多项式函数, 而
(trA2W2AW)2 才是 Ji 的多项式函数, 所以也可以认为 trA2W2AW 与 Ji 是不可约的- 但
是它的数值 (即绝对值的大小) 却不是独立的, 所以在具体应用时要特别小心.
如果我们直接讨论一个任意二阶张量 Pij 的标不变, 则只要利用它的转张量 P3; =
Pji, 同样可以证明, 由它们共同构成的独立不变只有六个. 具体的表达形式在另文中给出-
2 两个二阶对称张!的标l不变I
现在研究两个对称张 Aij 和 Bíj 同时存在的情况. 文献 [1, 2] 中给出了十个不变量, 我
们发现只有九个是独立的, 其证明如下-
同样将坐标系的坐标轴放在其中一个对称张量 (如 Aij) 的主轴上, 则在此坐标系内, 对称
张量 Aíj 和 Bij 分别可表示为
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这就表明除了不变 trB3 外其余不变量都可由 Ji (1`==1,"-,9) 的有理分式表示- 而 trB3 的
表示式中仅有 B12B23B13 这坍 项的符号不确定, 因而它与 Ji 亦存在某种髓式函数关系-
本文给出了 -一个任意二阶张量的独立不变, 并且在文献 [1, 2] 给出的七个不变迁中找出
与其余六个量不独立的量. 对两个对称张的情况, 用九个独立的不交蠹将文献 [1, 2] 给出的
十个不变量表示出来. .
根据上面的分析, 参考文献 [2] 的 (2.20) 式中 自变量的表示可减少一个.
这里所讨论的只是标不变量, 若进行张不变量的研究, 同样可能还会发现一些不独立
的量.
本文讨论的是 e1,e2,e3 互不相等的情况, 若有两个相等, 则 J1,-I2,J3 和 J4,-I5,-I6 以及
J7,J8,J9 中各自都只有两个独立- 因此独立的不变只有六个, 这是属于退化的特殊情况-`
从上面的讨论结果, 我们可以得出结论, 即在实际应用标量不变量讨论问E时, 一定要注
意独立标量不变量的个数, 超过这个数的不变量是不能任意选取的, 因为它们之间的隐函数关
系实际上反映了它们之间存在着某种约束关系, 它们之间的变化是互相制约的.
致谢 本文的形成感谢清华大学符松教授和北京大学黄筑平教授和王敏中教授有益的启发
和讨论.
参考文献
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York: Academic Press, 1971)
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(Zheng Quanshui. Theory of representations for tensor functions二-A unified invariant approach to constitutive
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第 4 期 黄永念等:关于张量函数表示理论的标量不变的讨论 509
DISCUSSION ABOUT THE SCALAR INVARIANTS OF
REPRESENTATION THEORY FOR TENSOR FUNCTIONS 1)
Huang Yongnian Luo Xiongping
(State Key Laboratory for Turbulence Research, Department of Mechanics and Engineering Science,
Peking University, Beijing 100871, China)
Abstract It is found that the complete and irreducible scalar invmiaiits in references [1] and
[2] are not independent to each other. The scalar iin\\'ai-i.mts oi' an arbitrary second order tensor
and two symmetric second order tensors are stu died Heparately. It is proved that for the previous
case there are only si! 气ndependfnt scalar invariants and for the later case there are only nine
independent sialar in\'a,':laz|ts.
Key words scalar invariants, independent invariants, complete, irreducible
Received 10 April 1998, revised 15 July 1998.
1) This work is supported by one of the National Preselected Climbing Projects善Basic Research on Frontier
Problems in Fluid Mechanics and Aerodynamics.
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