系综 is the ocean of all kinds of "waves", study this big FA and TA first
2010-01-13 19:29:29 Everett
2010-01-13 14:12:35 断雁嵬蝶
哦，我有个地方也不太清楚，二次量子化后描述态的应该还是波函数吧？
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是的，二次量子化以后，波函数就升级为“波泛函”了。Wave functional? 嗯，我又民科了，这个词是我生造的 :-)……
所谓量子化就是一个确定性丧失的过程。在一次量子化中，所有物理量的确定性都丧失了。形式上看，就是物理量从确定的数，变成不确定的算符。但是一个算符挂在空中摆来摆去是没有意义的。只有当算符落实到波函数上的时候，它才能获得意义。所以波函数的引入，对于一次量子化来说，是显然而且必须的。波函数是关于粒子状态的函数，取值为复数，其模方表示粒子出现在该状态的几率。从此，一切物理量都依概率分布，我们再也不能问“能量是多大”，只能问“能量是这么大的概率是多少”。
但是一次量子化并不是一场彻底的革命。有两个物理量仍然是确定的，是可以测准的：一个是几率本身，另一个是作为相位的作用量。它们合在一起可以构造出波函数。既然一切物理量都不确定了，那么为什么只有概率分布还是确定的？概率分布为什么不能也依概率分布？因此，二次量子化就是要继续这场革命，将不确定进行到底，剥夺波函数的确定性，把波函数算符化，使之成为场算符。
但是场算符本身也是没有意义的，因为任何算符都不能独立存在，场算符最终也要落实到一个对象上去。但那不是波函数，因为场算符本身就代表波函数，因此场算符应该作用在更高级的波函数上，那就是波泛函 Ψ。
波泛函是一个从Hilbert空间向复数域的映射，Ψ[φ] 把场的每种经典构型 φ(x) （也就是波函数），映射到一个复数 Ψ 上。这个复数就描述了出现φ(x)那种波函数的几率幅，因此可以说是几率之几率。所有的波泛函构成一个更大的“Hilbert空间”。
基于这种构造，我们还可以实施第三次量子化，就是把波泛函再正则量子化为泛函场算符。这样这些场算符同样需要落实。它们作用在“波泛泛函”上面。如此递推，可至无穷。
事实上，从量子力学开始第一次量子化的时候，它就已经蕴含了以后所有阶次的量子化。有了一次量子化就会有二次，有了二次就会有三次。所谓，道生一，一生二，二生三，三生万物。因此，量子力学从原则上讲是一个无穷次量子化的理论，这样的理论中再也没有任何的确定性，因为任何一阶的波函数都会在下一次量子化中被算符化。世界的本质应该是非决定论的，终极的物理学应该是确定性的完全丧失！
那么为什么我们还整天在一次量子化的框架下计算波函数，忙得不亦乐乎？因为，这是一种合理的近似。人们已经在许多场论模型中认识到，量子场的维数越高，量子涨落的效果越弱。每一次量子化，都使场的维度升高一个aleph number。因此很快，量子涨落就会被弱化，于是我们可以做经典近似。就是说，在某次量子化的时候来个截断，用波函数来取代场算符。这样就有了我们常用的一次或二次量子化。
但是我们要记住的事情是，不管是几次量子化都是一种经典近似，都是一定截断下的有效理论。在必要的时候，我们要把这个截断推向更高阶，以获得更好的结果。我们已经知道，平衡态统计力学是Wick转动下二次量子化的量子场论。平衡统计的一个基本观点是认为，平衡系综里面的系统服从Gibbs分布。但是现在我们遇到新问题了，那就是非平衡统计。非平衡统计可以看成是很多个不同版本的平衡统计在依概率分布。因此，统计的对象不再是系统了，而是系综本身。我们要问系综是如何在“系综综”里面分布的？这就是第三次量子化，非平衡是三次量子化的效应。令人感叹的是，三次量子化居然是在统计力学中首先实现，而不是在量子力学，可见量子与统计的某种关系应该是非常深刻的。
