作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。
休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的 n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n} 。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
