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例如, 四维加速度分量不是零, 但四维加速度是零, 四维动量分量不是零, 但四维动量是零, 等等. ... 相对论认为,物体的静质量m0乘上四维速度分量等于四维动量分量, ...
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谭慎操
摘要 本文介绍了四维时空世界,它的表达式四维时空间隔方程的导出,性质,和应用. 方程中时空两项是同一光程的
两种表示法.两项相差为零 所以它既不是四维时空也不是间隔,只是三维空间一个点,零值,而且只适用于 光传播.它和洛伦兹变换的参数x'- t'是同一的,虚构的.它在洛伦兹变换下是不变量.相对论錯误地把它扩展 到非光速,非惯性系,非零值和时间间隔.扩展后用于定义固有时, 四维速度,四维加速度,四维动量和动能.变质的间隔方程亦用于表示短程线方程和席瓦西尔解等.这两个方程用于计算解释水星近日点进动,引力红移和光的引力偏转.它们被认为是广义相对论的三大著名预言,给广义相对论带来了信誉,但也伴随著质疑和佯谬.
关键词 时空间隔,固有时,四维速度,四维加速度,四维动量,质速关系,质能关系,短程线方程,席瓦西尔解.
1 序言
四维时空世界是爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基在1908年提出的.他认为, 从来没有人见过不在
一个时间的地方, 或者不在一个地方的时间.他把一维时间和三维空间放在一起, 构成四维时空世界.世界中一个点由四维坐标表示, 空间和时间处于同等地位, 两点之间的距离称为间隔. [1] 爱因斯坦接
受了这个观点, 认为有力场的时空是弯曲的.他把间隔方程作为广义相对论的重要数学工具, 既当尺使, 又当钟用, 按需扩展或修剪, 导出一些基本方程, 并计算水星近日点进动等三种自然现象.[2]它们被认为是广义相对论三大预言,亦促进世人对广义相对论的承认.
下面,我们从间隔方程的导出说明它的性质和应用.它既不是四维时空也不是间隔, 是一个零方程.
它的不变量时空参数(x'-t') 和光速恒定, 洛伦兹变换的参数是同一的, 虚构的. 它只适用于光速运动
和惯性系,但被错误地推广到非光速运动和非惯性系.得出的结论,自然受到了质疑.[3,4]
2 时空间隔方程的导出 [5]
在一直角坐标系S中,让速度为c的一道光线,在 t = 0 时, 由原点 0发射, 经 t 时传播距离 r,表达式为
___________
r = √ x ² + y ² + z ² = c t. (1)
两边平方并移项, 得
x² + y² + z² -c² t ² = 0. (2)
在相对运动的惯性系S'中, 根据光速恒定假设,由上述方法亦得
x' ² + y' ² + z' ²- c² t' ² = 0. (3)
爱因斯坦认为,应该有关系 式
x'² + y'² + z'²- c² t' ² = α (x² + y² + z²- c² t² ). (4)
洛伦兹变换满足方程
x' ² - c² t'² = x² - c² t².
此方程适合于X-轴上各点.因此, 在方程 (4)中 α = 1. 方程(4) 变成
x' ² + y' ² + z' ²-c² t' ² = x² + y² + z²- c² t² . (5)
实际上, 方程(2)和(3)皆为零,我们可以直接写出方程(5).洛伦兹变换亦满足此方程. 爱因斯坦称此方程为一般性洛伦兹变换. __
为了在形式上表示空间和时间的等同性,三维空间坐标 x , y, z 和一维“时间”√-1 ct 分别用x1,
x2, x3 和 x4 表示.又因方程(5) 在洛伦兹变换下形式不变, 可以只用一个坐标系的坐标表示, 并写成微分形式,
dS² = dx1²+ dx2² + dx3²+ dx4². (6-a)
在三维空间中,两点之间的距离为
dr² = dx1²+ dx2² + dx3². (7)
相对论依此形式类推, 认为方程(6-a)是四维时空中两点之间的距离,称作间隔或线元. 实际上, 方程(7)是根据欧几里得几何学定理得出的.而方程(6-a)是没有什么根据的,甚至形式也是拼凑的,把 –cdt 项改为+dx4.从方程(2)和(3)看,它只是一个零点而不是距离, 称它为零点方程较为合理.
间隔dS亦可以被写成空间和含时间两项,
dS² = dr²-c² dt² = 0. (8)
在广义相对论中,四维时空是弯曲的,间隔d S写成
dS² = gνμ dxμ dxν . (9)
gμν 是度规张量, 是 x 的函数, 在平直的空间中, gμν为常数, 是弯曲时空的特例.
在上面的推导过程中,不同的移项方法,令方程(1) 和(2)的“时间”或空间项有不同的正负号.这没有原则上的差异. 爱因斯坦使用上述方法导出方程(6-a).后来采用另一方法,即
dS² = -dx1²- dx2²-dx3²+ dx4². (6-b)
__
用后者时,消去空间项时不出现虚数时间, x4= c t ≠ √-1 ct .下面我们采用后者.
3 时空间隔方程的性质
3.1 时空间隔的虚构性[6]
间隔方程和洛伦兹变换都是在光速恒定假设下导出的,它们有着共同虚构的x'- t'.在一九零五年狭义相对论的文章中,[7]爱因斯坦推导洛伦兹变换时,说有两个参考系,S(x,y,z,t),和Si(ξ, η, ζ,τ), τ 是 x',y,z,t的 函数. 他实际上使用了三个参考系: 伽俐略静止参考系S,运动参考系S',以及根据光速恒定虚构的,和S'系同一坐标框但参数坐标不同的参考系Si.
x'- t'是怎样虚构的呢?设S系和S'系的三轴重合.然后,S'系以速度v顺x轴方向运动,同时在原点发出一光讯号,在S系中经t 时传播距离x = ct. 在S'系中,根据伽俐略变换,相应的x' 为
x' = x - vt = ( c - v ) t ,
时间为 t = x'/(c - v). (10-a)
当光点到达X',立即反射回到S'系原点.它相当于光讯号从原点向反方向发射,在S'系中传播相同距离 x',根据伽俐略变换为
- x'= - ( c + v ) t r,
反方向传播时间为 t r = - x'/ - (c + v) . (10-b)
爱因斯坦说的τ,实际上是 t 和t r即x'/ (c-v) 和-x'/-(c + v)的函数. 他就是用它们虚构出时间τ.
____ ____________________ _______
τ = √ t · t r = √[x'/( c - v)] [-x'/-(c + v)] = (x - vt)/c√1 - v²/c²
_______
= ( t - vx/c²)/ √1 - v²/c² . (11-d)
这是洛伦兹变换第四式. 再根据光速恒定虚构 ξ ,
______ ______
ξ = cτ = c · (x -vt)/c√1 - v²/c² = (x - vt)/√1 - v²/c². (11-a)
此式即洛伦兹变换第一式.它是在X轴方向导出的.其它虚构二维坐标的变换为
η = y = 0 和 ζ = z = 0. (11-b,c)
如果将方程(11-d)和(11-a)的分子项化成 t(1-v/c)和 x(1-v/c),可化成洛伦兹变换简式,
_____________
τ = t √(1-v/c)/(1 + v/c ) , (11'-d)
______________
ξ = x √(1-v/c)/(1 + v/c ) . (11'-a)
从方程 (11-a)看,可以说洛伦兹变换是根据光速恒定虚构的.但反过来说,也可以认为光速恒定是由虚构
的ξ- τ虚构的. 时空间隔方程也是由光速恒定虚构的,参数X'- t' 和ξ- τ是一样的,虚构的.所以
爱因斯坦称间隔方程为一般化的洛伦兹变换.
爱因斯坦在推导洛伦兹变换时的初始方程,使用了伽俐略变换即方程(10).所以他不是严格遵照光速恒定的,而且"相对性"的洛伦兹变换是以绝对性的伽俐略变换为基础的.
爱因斯坦没有明确指出洛伦兹变换中ξ- τ的虚构性,虚构的参数和光速恒定只适用于虚构的参考系Si,以及把参考系Si说成是一般的运动参考系.此后, 他也没有明确指出洛伦兹变换中的ξ- τ不是从伽俐略运动参考系S'中直接测出的 x'和 t'.不知道是有意还是无意,他用伽俐略运动参考系S' 中的x'- t' 取代了洛伦兹变换中的ξ- τ. 这样令人误以为洛伦兹变换的ξ- τ和伽俐略运动参考系S'中的x'- t' 是一回事, 还把伽俐略变换当成洛伦兹变换的特殊例子.
伽俐略变换不是洛伦兹变换的特殊例子.前者是后者的基础, 而后者只适用于光传播.但相对论认为, 当c>>v时, 洛伦兹变换分母中的v²/c² →0, 洛伦兹变换还原为伽俐略变换.这里忽略了分子中
t (1-v/c)和x(1 - v/c )的v/c也趋于零.否则两种变换都趋向同一形式,
伽俐略变换: x'= x = ct 和 t = t . (12-a )
洛伦兹变换: ξ = x = ct 和 τ = t . (12-b )
方程(12)的物理意义是,在上述条件下,参考系S'的速度v相对于光速c可以看成是静止的,没有
必要变换. 虚构的变换, 间隔方程和光速恒定亦近似真实,见方程(12).但在一般条件下, 尤其是非光速物体运动, 是不真实的.
在混淆了ξ- τ 和x'- t'之后,虚构的参考系也就和伽俐略运动参考系混淆在一起了.含虚构意义的x'- t'和光速恒定可以用于一般的慣性系了.于是,推导出虚构的时空间隔方程.
这里应该指出的是,用数学虚构物理客观事实是相对论常用的方法.例如,相对论认为,洛伦兹
变换(方程11)表示爱因斯坦新的时空观,时间坐标和空间坐标是相互联系,相互交叉着的,不可能
绝对地割裂开.事实上,方程(11)可以化成最简式,即方程(11').方程(11')准确表达了X'和X,
t'和 t 的变换关系,即X'只和X有关,而不是同时和X-t 有关. t '也不是同时和X-t 有关.因为坐标变换只和参考系速度和被描述对象的速度比v/c有关.
在描述电动力学时,也有上述类似情况,例如, 麦克斯威-赫芝方程的电磁场变换.当使用洛伦
兹变换导出时,运动参考系中在y',z'方向上的电场分量或磁场分量,一定同时有静止参考系中一个电场分量和一个磁场分量.于是相对论认为,这是电场和磁场不可分割的原因.但这种解释是不对的.因为从洛伦兹变换简式导出的电磁场变换,并不同时有电场分量和磁场分量.这又该如何解释?[8]伽俐略变换第一式既可以写成同时有空间坐标和含时间坐标,亦可以写成只有空间坐标,
X' = X-vt = X(1-v/c).
这又该如何解释? 上述洛伦兹变换和电磁场变换出现的矛盾解释,归根到底是来自伽俐略变换.总之,我们要小心考查一个数学方程,和对一个数学方程的解释是否真正代表了一个物理客观规律和事实，以及解释的逻辑性.
3.2 间隔方程不变量性质
间隔方程不变量是指在洛伦兹变换下方程的量不变.前面已经指出,这是因为间隔方程和洛伦兹变换是一致的.让洛伦兹变换的x' y' , z' 和t'(实为方程(11)的ξ, η, ζ 和τ)代入零值方程(5-b)的左边,得右边的不变量.用洛伦兹变换简式(11')代入更加简单.
________________ _________________
c² t'²-(x' ² + y'² + z'² )= c² [ t √(1-v/c)/(1 + v/c ) ]²-{[x√(1 - v/c)/(1 + V/c) ]² + y² + z²}
= α [c² t² - (x ² + y² + z²)]. (13)
这里 α = ( 1 - v/c)/(1 + v/c) ≠ 1, x = ct, y' = y = z' = z = 0, . 因是零间隔,α可消去,得不变量方程. 这说明,间隔方程不变量取决于两方面的因素.一是此间隔是零间隔, 即符合光速恒定. 变换方程代入左边后, 右边仍旧是零间隔, 如方程 (13). 另一 方面是变换有相同的比例常数:(x'/ x)² = (t'/ t)²= α.代入方程(5)后, 右边抽出共同因子α,并消去, 括号内形式不变,仍旧是零间隔, 亦见方程(13).
因为方程是零值, α可以是任意常数.爱因斯坦说, 这里 α = 1, 这不确切. 它可以是一 ,但不一定是一. 保林(W.Pauli)认为它是坐标的一个任意函数. 但是, 他们没有指出虚构的时空间隔及虚构的洛伦兹变换和光速恒定的关系, 是决定α和不变量的原因.
当然,间隔不变量性质亦是建立在上节讨论的虚构的基础上,在一般条件下,也不是真实的.在这里,相对论偏重数学描述形式不变, 而不是深究物理本质.
3. 3 是三维空间而不是四维时空.
从方程(2)和(3)明显地看出, 用三维空间坐标表示的距离,正是用光速和时间乘绩cdt表示的同一距离,两者的单位是长度米.ct虽然含时间t,但它不是时间单位秒,假如我们承认ct是时间秒, 时空间隔便成了用时间秒减长度米. 这是一个既不合逻辑又不符合量纲的方程.类似于哲学上指出的拿斤比尺这种不合逻辑的问题.
爱因斯坦认为x1, x2 , x3是三维空间坐标,x4 是按适当单位测得的专门的一维时间坐标.他说的适当单位, 大概是指在真空中测得的光速c = 1.这样, 方程中的ct = t, 便成了一维时间.但即使这样, x4也只是形式上的时间, 其单位仍然是长度米, 因为c = 1只改变数量而不改变单位.总之, 时空间隔方程不存在一维时间.
费米(R.P.Feynmen)[9] 就是根据这个"适当单位"把时空间隔方程的 c² t² 写成 t ². 并且说, 大自然用方程告诉我们, 时间和空间是等效的, 时间变成了空间, 它们可以用相同的单位量度, 你可以说一米等于多少秒, 或者一秒等于多少米. 这种把时间和空间混淆的等效性, 和提出四维时空世界的闵氏的观点不一样, 闵氏认为空间和时间仍然具有独立的意义. 这是对的. 否则,我们就没有一个客观的标准去辨别时间和空间. 四维时空可以说成是四维时间, 四维空间,或者三维时间一维空间等.结 果,四维时空概念也就失去了它原有的意义.凭想象把时间和空间并列在一起, 这是不合适的, 就是拿斤比尺的问题.
不过,费米也认为,"并非真的能把空时想象成一个真实的, 普通的几何实体,原因就在于正负号的差别."它没有一个明确空间图像.例如, 爱因斯坦在讨论静引力场中的尺和钟时, 认为与X 轴"平行"
的单位长度dS² = -1, dx2 = d x3 = d x4 = 0. 又, 对单位时间,有dS² = 1, dx1 = dx2 = dx3= 0， [2]这里, 用了三维直角坐标系的概念, 四维怎样放罝呢! 霍金(S. Hawking)作四维时空图时也是用了直角坐标系.[10]
总之, 四维时空间隔方程从形式到内容,都没有跳出三维空间的框架.
3.4 是空间一个点而不是间隔
我们用下面的时空图来分析这个问题.在一个直角坐标系中, Z轴被”时间” 轴ct取代.作ct 轴和
X-Y 平面夹角的平分线. 以原点为心,将平分线绕 ct 轴旋转一周, 在X-Y 平面的上下方形成对称的两个园锥面.
c t
锥面的方程是
c ² t² = x² + y² ( z² = 0).
这个方程表示从原点0发射一道光线,沿锥面传播到点A,此光程0A以“时间”坐标表示为 c ² t ²,以空间坐标表示为x² + y²+z² ( z² = 0)。.这两个时空值之差实际上表达了间隔方程dS² = 0.整个锥面都有这种性质.相对论认为, dS² = 0表示光信号联系的两点之间的距离为零.这是错误的说法.按照dS的导出和时空图看, 它是同一距离不同方法表示的两个时空值之差, 但不是两点之间的距离.我们可把它比作由点A至点B, 然后循原轨迹回到点A.无论是什么坐标系, 是平直或弯曲空间, 总是dS² = 0.相对论又说, 任意二时空点之间的距离dS一般是不为零的.这也是错误的说法, 它背离了间隔方程dS的原义. 应该说,dS总是零.
正确的间隔方程是dS² = 0,称类光间隔,满足光速恒定,是洛伦兹变换不变量,它只在锥面上.锥面把所谓四维时空分成不同的区域,如时空图所示.dS²= c² dt² -dr²>0时,”时间”项较大,称为类时间隔,它位于圆锥面内.dS² =c² dt² -dr² <0,空间项较大,称为类空间隔,它在圆锥面外.建议把类时类空间隔称做伪间隔.因为它们不是原来的间隔方程,不满足光速恒定,不是洛伦兹变换不变量.不过,dS是一个只限于光传播的零点方程,用途有限.被错误地扩展到非光速和非零间隔后,既当线元使又当时间用,应用范围便广了.
4 时空间隔方程的错误应用[11]
4.1 定义固有时
相对论认为,在相对于运动物体静止的参考系中,测出的时间称为该物体的固有时, 记作dτ .根据时空间隔方程(8)(改变正负号), 当物体相对参考系静止时, dr = 0, 间隔方程变为
dS² = c² dτ² (dr = 0 )，
或 dτ = dS/c. (14-a)
当采用c=1时,有
dτ = dS. (14-b)
方程(14)可作为固有时定义.在相对该物体运动的另一参考系中, dr² ≠ 0.测出的时间 t 称为该物体的坐标时.当 dr²≠ 0时,间隔方程为
dS² = c² dt² - dr².
比较方程(14-a),得
c² dτ²= c² dt² - dr².
整理后得
dτ² = dt² (1 - dr²/dt²/c²),
________
或 dτ = dt √1 - v²/ c² . (15)
这里v²= dr²/dt² 是在另一参考系中测出的速度.
以上定义固有时是错误的,例如:
(1) 违背光速恒定假设
间隔方程是根据光速恒定导出的,固有时定义中所说的运动物体只能是传播的光.光速恒定假设认为, 在所有的惯性系中测出的真空光速都是C.因此, 不存在相对于光静止的惯性系, 即是方程 (14-a)中不存在dr = 0,方程(14-a)不成立.
根据光速恒定,方程(15)中dr²/dt²= c²而不是 v².方程(15) 应改为
________
dτ = dt √( 1 - c²/ c² = 0. (16)
总之,由光速恒定导出的间隔方程不能用来定义固有时,以及它和坐标时的关系.
(2) 忽视间隔方程各项的相关性
方程是描述光传播的,含时间项和空间项是相互有关的,方程(8)的dr应由光速c和时间 t 决定,
c² dt²=dr².当光传播相对于参考系静止时,即dr = 0. 只有dt = 0,才有 dr = 0.因此,dr = 0时,间 隔方程各项全为零,即全零状态,用dS0 表示这种四维间隔的特殊情况,方程(14-a)应该写成
dS0² = c² dt² - dr² = c² dτ²= 0 (dr = 0),
或 dτ = dS0/c = 0. (17)
这里dS0表示方程中dr = 0和dt = 0,以区别于原间隔方程的dS.方程(14) 的写法是不准确的.认为间隔
方程和参考系无关,于是把dS0写成dS. dS虽然等于零, 但不是全零状态.间隔方程是在洛伦兹变换下不变量,和参考系无关. 这是对的.但并不是说,它的“时间”或空间项单独改变了, 仍然是不变量.这就混淆了方程(14)中的dS和dS0,导出了方程(14)和(15),而不是方程(16)和(17).
我们用洛伦兹变换简式同样说明固有时总是零.当光相对参考系静止时,即v = c,洛伦兹变换简式(11')为
x' = 0 和 t' = 0
x'=0表示光总在原点或某个点静止不动.t'=0表示光相对参考系静止时时间为零.即是说,固有时不能用间隔方程或洛伦兹变换表达.它们是矛盾的.也即是说,固有时和光速恒定是矛盾的.
此外,如果我们想定义一般物体运动的固有时,除非我们虚构速度v恒定,方程的C改为物体的速度v,即
dSV² = v² dt² - dr², ( v² dt² = dr² 或 v² = dr²/dt²).
即使这样,也有同样的问题.当相对于参考系静止时, 即v或 t = 0, 才有dr = 0.这时 dSV = dτ =0.这也说明, 正确使用间隔方程时, 一定要考虑时空两项的相互关系, 以保持dS为零. 如果这种关系不能保持,则dS的不变量性质也就随之改变.把它分割成孤立的时间或空间来讨论, 实际上是回归三维空间的问题.
以上说明,我们可以用文字但不能用这个零点间隔方程来定义固有时.若用, 固有时只能总是零.
(3) 将长度当时间.
我们已经指出,时空间隔dS实际上是三维空间距离的问题,cdt是长度而不是时间.即使 c =1也改
变不了dx4 和 dS的单位是长度.方程(14-b) 的写法给出一个模棱两可的概念,它模糊了长度dS和时间dt的界限, 把距离长度扩展到时间.
距离长度怎样扩展到时间呢?爱因斯坦给出等式
dS = dx4=dt. (18)
方程中各个量的单位是长度.爱因斯坦逐步改变其形式和名称.dS先过渡到时间间隔dx4=cdt, 最后到时间,cdt =1·dt = dt.这也是相对论通过修改数学创造物理的方法.
总之,在应用间隔方程时,错误地扩展了间隔方程的应用范围.例如, 把虚构当真实, 长度当时间, 不顾时空相互关系, 把只适用于光速的运动扩展到非光速的运动, 和把零值扩展到非零值.这些是应用间隔方程时共同的错误. 没有这些基本的错误,间隔方程的应用就只能是说明光速恒定,而且是虚构的光速恒定而无它.当然, 错误的应用及得到的结果不会是正确的.
4. 2 定义四维速度和四维加速度
(1) 四维速度分量 相对论将时空间隔分量除以方程 (14)的固有时,得四维速度分量ui,
ui = dxi /ds 或 ui dxi /dτ (i =1,2,3,4). (19)
这里不考虑分量的正负号.若用方程(15)代入, 得
________ ________
ui = dxi /(dt √1 - v²/ c² ) = vi / √ 1 - v²/ c² ( I =1,2,3), (20-a)
________ _________
和 u4= cdt/(dt √( 1 - v²/ c² ) = c/ √( 1 - v²/c² . (20-b) 在方程(19)中,把实际为零的ds或dτ放在分母处是不合适的,ui为无穷大.把方程(15)代入后,根号还是零,方程(20)还是无穷大,方程(20-b)还有超光速问题.结果说明,由固有时定义四维速度分量是不正确的.
四维速度 相对论认为,在方程(14-a)中dr² =0时,dS² 仍然不变,但不是零,
dS²= -(dx1²+ dx2² +dx3²) + dx4²= c² dτ².
将此四维时空间隔除以固有时,得四维速度u²,
u² = dS²/dτ²= -(u1² +u₂² + u3²) + u4² = c². (21)
方程(21)也是错误的,因时空间隔和固有时都是零.正确的结果是
u² = dS²/dτ² =0． (22)
虽然四维速度分量不是零,但四维速度是零.原因是速度的”时间”分量和空间分量的数量相等符号相反.以后凡是遇到和四维速度有关的情况, 都会出现这种问题.例如, 四维加速度分量不是零, 但四维加速度是零, 四维动量分量不是零, 但四维动量是零, 等等.
(2)四维加速度 相对论将方程(21)对τ 微商,得
u·du/dτ + (du/dτ) u = 0． (23)
du/dτ 是四维加速度w.
在三维空间中,二矢量的标量积为零,则此二矢量相互垂直.相对论依此类推,认为方程(23)的u和du/dτ之积为零,所以四维速度和加速度两个矢量相互垂直.这个推论是不对的.方程(23)的零值源于方程(22)而不是(21)的u.按照方程(22)有
u = du/dτ = 0.
因此,方程(23)实为两个零矢量的乘积为零,谈不上是正交.同一运动的速度和加速度方向怎么会相互垂直呢? 这是奇怪,错误和违反物理规律的.不过, 这也不奇怪, 相对论从解释洛伦兹变换开始,就出了不少奇怪的论点. [6]
4. 3 定义四维动量, 质量和能量
(1) 四维动量分量
相对论认为,物体的静质量m0乘上四维速度分量等于四维动量分量,
_______
Pi= m0ui = m0vi/√(1-v²/ c² = mvi, ( I =1,2,3), (24-a)
______
和 P4= m0u4 = m0c/√(1-v²/ c² = m c. (24-b)
四维动量分量含四维速度分量,因此,它们存在四维速度分量同样的问题.零值平方根使它们成无穷大. 第四个分量还有超光速问题.其它三分量的合速度也应该是超光速.
四维动量 相对论认为,四维动量是静质量m0乘上方程(21)的四维速度,
P = m0u = m0c. (24-c)
四维动量应该取(22)的四维速度u.结果得
P = m0u = 0. (25)
