余切丛的定义 设 M×M 是 M 与自己的笛卡尔积。广义动量是M上的协变向量，而余切空间是协变向量空间（余切丛则是位形空间M与余

来源: marketreflections 于 2011-03-16 19:34:15 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (3639 bytes)
回答: 闲论Atiyah-Singer指标定理 by polik 由 marketreflections 于 2011-03-14 19:04:11

星空浩淼 2008-9-30 19:15

[b]三、物理上的实例[/b]

在固体物理中，晶体格点原胞基矢是位置空间中的基向量，与之对偶的基向量是倒格子空间中的基向量，这是波数矢量（即动量矢量）空间中的基向量。另一方面，前面提到过，用d表示偏微分符号，现在微分几何中，通常分别用e_i＝d/dx^i和e^j＝dx^j来表示基向量和对偶基向量。学过量子力学的知道，d/dx^i与动量算符对应（相差常数因子），如果把e^j＝dx^j对应位置空间基向量，这两个例子给人这种感觉：从向量空间到它的对偶空间，例子之一就是从位置空间到动量空间，相应的基向量与对偶基向量可能方向不同，量纲也不同。此时，空间与它的对偶空间有着本质的不同。对于一个物理系统S，它的广义坐标构成位形空间M，M上的余切丛即是系统S的相空间。我们知道，相空间是位形空间（即M)与动量空间的直积空间。这跟这样的事实是相符的：广义动量是M上的协变向量，而余切空间是协变向量空间（余切丛则是位形空间M与余切空间的直积空间）。

余切丛的光滑截面是微分1-形式。

[编辑] 余切丛的定义

设 M×M 是 M 与自己的笛卡尔积。对角映射 Δ 将 M 中的点 p 映到 M×M 中的点 (p,p)。像 Δ 称为对角线。设 \mathcal{I} 是 M 上光滑函数芽的层。那么商层 \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 由高阶项为 0 的等价类组成。余切丛是这个层拉回到 M：

\Gamma T^*M=\Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2).

由泰勒定理，这是 M 一个上关于光滑函数芽层上的模的局部自由层。从而在 M 上定义了一个向量丛：余切丛。

[编辑] 作为相空间的余切丛

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