我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：
