广义相对论课堂14
2010.10.26
课程安排
- 上交作业：no
- 复习内容：LIF条件
- 新内容：球面几何、光锥
- 学习要求：理解球面特点、
- 作业：Hartle 7.5
- 阅读：Weinberg 1.
局部惯性系
- 条件一：平直时空
- 条件二：引力=0——例：极坐标(r=1,0)、匀加速系(ksi^1=0)
- 三阶导数——组合曲率
- 例子7.2，djvu157——chapter 2
图直观地看(极点俯视),x=a*theta*cos,…
d theta, d phi, sin theta=theta-theta^3/3
局域一点(极点)满足2条件
各种几何表格
- 相互表达
球面几何djvu42
- 球面三角面积公式
光锥、世界线和因果结构7.5
- 局部惯性系－－平直时空
- 无穷小间隔，例如匀加速系
- 类光－－局部光锥
- 类时－局部光锥内，速度小于当地光速
- －世界线－固有时，公式
- 全局整体－－因果结构
长度、面积、体积和四体积
- 非对角－－Landau
- 对角＝正交
- 4个线性独立矢量
- 类似三维欧式空间面积和体积
- 区分－－“斜”矢量长度－－两时空点位于两个同时面上
- 固有三体积和四体积
弯曲时空中的矢量
关键的不同于平直时空－－局域local
只能在局域实验室中，方向＝直线段；
大小：局域小矢量－－代数（数乘、加减）＝》大矢量－－切空间
平直时空是特例
不同于平直时空
在时空中每一个点－－矢量及其代数
矢量场
不同点处的矢量－－不同切空间－－不能相加（作代数运算）－－像在平直时空中那样－－除非镶嵌到更高维空间
坐标基
- 在每一个时空点！！！例如匀加速系
- 任意坐标基，展开，分量
- 标量积－－
- 无穷小位移矢量－－定义线元和度规
- 例如平面几何极坐标
一类特殊：标准坐标基
- 标准坐标基－－测量－－观者实验室；
- 某个坐标基－计算，平直惯性系＝标准
- 标准坐标基矢量－－在某个坐标基下的分量
- 例如构造匀加速系中，公式
- 一般性构造－－沿着坐标基矢量＋单位
- 例如平面几何极坐标
四维时空中的三维面（超面）
- 减少一个自由度，函数，隐函数
- 切矢量－－三个线性独立
- 法矢量－－正交于面上任一矢量
- 都是单位矢量
类空面
- 类空面，例如平直时空
- 一族，“空间”，
- 每个点必然落在其中一个且仅有一个－－同时面
- 无穷多种划分，例如t’=，匀加速系
- 例7.12 Lorentz双曲面，chi=弧长/a
- 切矢量（构造面上矢量）类空
- 法矢量类时: n*n<0
Null面（类光面、光锥面）
- 在零面上的每一点
- 切矢量－－一个类光null（沿一条光线方向）＋两个正交独立的类空
- 法矢量－－零面上的一个null
- 例子7.13平直时空t=r，三维欧氏空间中
- 单向面，追不上光，黑洞视界
