马萨诸塞州科学研究院
物理 8.033
修订本 4：2002 年 12 月
爱因斯坦场方程
我们的目的是给引力下的爱因斯坦场方程一个推动（以下称为：爱因斯坦方程）。这是
一个把时空度规跟一个由质量、能量等组成的源联系起来的方程。广义相对论体系就是“质
量决定时空如何弯曲，时空曲率决定物质如何运动”。这与牛顿对于引力的观点类似，由于
它的源质量直接决定了引力场。一个关键的不同点在于爱因斯坦引力是相对论下的理论，而
牛顿的不是。
首先简要讨论度规、张量和指标符号。指标符号是书写向量的一种方法，我们把用指标
符号写下的对象叫做张量，向量是它的一种特殊情况。指标符号的一个简单例子，我们可以
把四维矢量[ /
用
, , , ]
x
y
z
E c p p p
pν
表示，希腊字母 v 就称为指标。这是一个变量，表示这
个四维矢量的分量分量。因此， pν
代表了四个数，每个数代表了一种可能
。例如：如果
，那么
{, , , } {0,1,2,3}
v t x y z =
0
v =
0
/
v
p
p
E c
=
=
表示这四个矢量的 0 分
量。为了表示四个矢量的点乘，我们介绍上标，这在指标中也会用到。例如： v
p 是表示四
维动量的另一种方法。但是在意义上却有些细微的差别。我们定义：
这些定义仅仅应用在狭义相对论里；在广义相对论的时空弯曲中，它们将被修正。现在采用
惯例，只要有一个上标跟一个下标在乘积中重复出现，就表示要对这些指标求和。例如，
这称为“爱因斯坦求和约定”。对这些指标的求和导致了洛仑兹不变性。
现在，假设我们的对象含有不止一个指标，比如
，事实上，这代表了 16 个数，因
为它们是（对于 的 4 种可能性）×（对于 的 4 种可能性）的乘积。像这样的对象称为是
“二阶张量”，因为它们有两个指标。同样的，向量被称为“一阶张量”，因为它们只有一个指
标。标量为“零阶张量”。
可以被看作是一个矩阵：
v
Tµ
µ
v
v
Tµ
我们不对张量做任何详细的讨论，但是我们会简单地注释。就像四维向量在洛仑兹变换
下有一个变换定律，张量也有一个变换定律（对每一阶包括一个洛仑兹矩阵因子）。就像我
们根据 pµ
来定义 p
µ
一样，类似的，我们可以根据
来定义对象
、
以及
。
v
Tµ
v
T µ
v
T
µ
v
T
µ
二阶张量的一个特殊重要性就是度规。度规告诉我们怎样测量时空间隔。例如，在三维
欧几里得空间，我们如何去计算相邻两点间的距离？如果我们在笛卡尔坐标中计算，距离有
下式给出
右边，一个行向量乘以一个方形矩阵再乘以一个列向量，是根据矩阵的乘法写出来的。这是
很方便的，因为我们把这个方形矩阵看作度规。现在考虑在球坐标中计算相同的距离。
注意；在两种不同的坐标系中，方程的一般形式给出
是相同的，例如，它们都可以写成
2
ds
式中的 和 为上面例子中对{1，2，3}的分别求和（但是，下面我把它概括为 4 维）。事实
上，度规
决定了如何测量时空间隔。我们还学习了时空间隔
，它与洛仑兹参考系无
关。因此，我们可以利用一个度规来决定时空间隔的不变性：
µ v
v
gµ
2
ds
度规的对角线上为（1,
），我们称为“闵可夫斯基度规”。这也是为了跟其它的度
规相区别（比如：对角线上为
的度规，这是平坦空间的度规在球极
坐标中的表示）。
1, 1, 1
− − −
2
2
2
(1, 1, ,
sin )
r r
θ
− − −
一般用在狭义相对论时空中的是闵可夫斯基度规，定义为平坦的。而有物质存在的时空
被认为是“弯曲”的，并由性质不同的度规张量来描述。在弯曲时空中，欧几里得第五假设不
再适用。例如：两条平行直线可以相交。
最后，我们用上指标来标注
为
的翻转矩阵。在任何时空中，可以用度规和翻转矩阵
把下标升上来。例如，
v
g
µ
v
gµ
a
a
p
g p
µ
µ
=
和
a
a
p
g p
µ
µ
=
，其中，每种情况中的指标 都是对{1，
2，3}求和。
a
洛伦兹变换下的麦克斯韦方程组的不变性，在一定程度上推动了相对论理论。因此，可
以说电磁学也是相对论理论。什么是引力相对论理论呢？牛顿的理论由一个类似于高斯定律
的 E & M 形式决定，我们可以看到牛顿定律和高斯定律的相似之处：两者的场都遵循平方
反比律。牛顿定律可以被表示为
式中的 为重力场，
为质量密度。类似的，牛顿定律的引力可以根据泊松方程中的引力
势来表示
g
m
ρ
φ 为引力势，那么
。
g
φ
=−∇
不幸的是，牛顿定律并不是相对论的。其中，引力场完全由一个不含时间微商（暗示了“在
距离上有”）的方程确定，例如： 通过一个试探质量来定位源质量，而不关心以光速传播的
时间延迟。当然，麦克斯韦方程还包括泊松方程，并且它们在狭义相对论的内容下可以正确
转换。但是，牛顿的引力理论没有其它的类似方程，类似于与时间无关的安培定律和法拉第
定律。这也许会对引力的广义相对论引发一个简单的讨论。例如：我们可能想增加三个方程
来给出与麦可斯韦方程组相同的形式，在麦克斯韦方程组里应用下面的替换。
但是，因为电荷密度和质量密度没有相同的洛伦兹变换性质，所以这也不是一个实际的工作。
记住：在洛伦兹测量下，质量不等于能量，但是电荷却是一个洛伦兹测量量。
那么，我们如何去建立一个引力下的相对论理论呢？一个有效的切入点就是爱因斯坦等效
性原理（1911），其中声明了不可能通过一个局部观测，来区分一个均匀场 和一个具有均
匀加速度 a
的参考系。因此，表面引力看起来与所选择的参考系有关。例如：如果你
处在一个自由下落或围绕地球在空间穿梭旋转的电梯中，你观测到的所有事物都是没有质量
的。这就像引力场为零的情况。同样的，如果你处在一个完全隔离的火箭中，就存在一个重
力加速度，大小为 9.8m s
g
g
=−
-2，那么在火箭内部看起来就像是存在一个引力场，表示为 =9.8m
s
g
-2。在这两种情况中，我们可以推断出的电场与参考系的选择有关。事实上，我们总可以选
择参考系，其中不存在引力场。但是注意，这些参考系的确存在一些特殊之处。这个自由下
落的电梯参考系，如果延伸一段很长的距离（例如：到地球的另一侧），也就不会在任何地
方可以自由下落。在加速火箭中的情况，这个参考系是非惯性的。
在广义相对论中，我们只考虑惯性参考系之外的情况。所以这就要求我们有一个新的理
论，这个理论在经过任何坐标的变换后都会具有相同的形式。具有这种性质的方程被称为“协
变方程”。它是根据等价原理得出的，即如果一个物质仅仅受到重力的作用，物体的轨道与
自然轨道无关。所以爱因斯坦猜想，是引力造成了时空的弯曲。曲率和时空对称性都是由时
空的度规决定的。因此，我们想假设一个方程，把度规和源质量或能量联系起来。
我们不再讨论引力场，但是，度规对分析引力势有很重要的作用。回忆电磁学的部分，
麦克斯韦方程组把电磁场跟源电荷和电流联系起来。同样的，爱因斯坦的方程将把度规跟物
质和能量的联系起来。所以，麦克斯韦方程组和爱因斯坦方程也存在着一些相似之处，就像
我们将要看到的一样，后者存在着一个内在的张量方程，而不是矢量方程。
我们想找到电磁学和引力的其他相似之处，特别注意到电荷守恒定律可以直接从麦克斯
韦方程组得到。为了证明这一点，从高斯定律的时间微分
t
∂
∂
开始做起，
并对安培定律取∇i
如果我们把这两个结果结合起来，就会发现
这个最终的方程表示了电荷的守恒。在指标符号中，它满足下面的简单形式
，其中，四维矢量电流密度定义为{ ;
。因为
/
j
x
µ
µ
∂
∂ = 0
; ; }
x
y
z
c j j j
ρ
j
µ
和 x
µ
都是四维矢
量的变换，在洛伦兹参考系中，这个守恒方程清楚地表现了相同形式。
我们希望爱因斯坦方程具有类似的性质。那么在爱因斯坦方程中什么是源呢？第一个猜
测就是质量密度
。但是，就像上面提到的那样，质量并不像电荷一样是相对论不变量。
质量密度又如何去适应相对论体系呢？从狭义相对论中我们可以知道，质量密度应该被质量
或者是能量密度取代。但是，我们从狭义相对论中还知道，一个参考系中的纯能量转换到另
一个参考系中的能量和动量。考虑能量和动量密度以及能量和动量通量，很自然地得到能量
动量张量
。张量本身的特性归因于这样一个事实，矢量数量的流动要求两个方向来完全
规范化。例如：在 方向上存在一个
m
ρ
v
T
µ
ˆy
ˆx 分量动量流动，对应着
。总而言之，应力-能量-
动量张量的分量包含
=能量密度；
=能量通量，此能量通量为通过一个法线在 方向
上的]表面；
=动量密度；
= 流过一个法线在
XY
T
00
T
0i
cT
ˆi
0 /i
T c
ij
T
ˆi
ˆj 方向上的表面。（在这里指标 和
ˆi
ˆj
遍历三个空间分量）。
下面进一步考虑
，既然它包括了动量和能量的各种密度和“电流”，我们期望它有可能
遵从类似于电荷守恒的一个方程。这里对应力-能量张量运用了一些非传统的符号
。我们已经定义了能量和动量通量作为“电流
密度”，
v
T
µ
0
[ , , , ] [ , , ,
v
v
vx
vy
vz
v
vx
vy
vz
T
T T T T
c j j j
µ
ρ
=
=
]
vi
v
j T
≡
和能量以及动量密度定义为
。因为其中每一个分量是守恒的，这
就暗示了一个极其重要的守恒定律：
0
v
T
ρ ≡ v
对于爱因斯坦方程具有一个相似的特征，这样的构造可以使
自动的变为零，其
中的
被称为协变微分，为了达到目的，我们所需要知道的是协变微分为偏导
的广义
相对论的推广。
v
T
µ
µ
∇
µ
∇
µ
∂
就像上面暗示的一样，我们期望爱因斯坦方程把度规张量跟
联系起来。我们期望一个
具有下列形式的方程
v
T
µ
式子中，选择的
算子作用在
后，右侧为应力-能量张量
的一个常数 倍。在这里
度规本身已经被用到了应力-能量张量
的角标指标。那么
v
gµ
v
Tµ
k
a
v
a
v
T
g g T
β
µ
µ β
=
将自动的满足
µ
∇
vµ
=0。选择满足条件的算符，保证能量和动量是守恒的。此外， 是由一定条件决
定的常数，即小质量密度限制的爱因斯坦理论必定与牛顿定律的引力相一致。这就证明了，
我们可以做下面的选择
k
其中，
为里契张量。这些结果导致了爱因斯坦的方程，下面我们对爱因斯坦场方程作
详细说明。
v
Rµ
或，选择
其中，
• a
G β“为爱因斯坦张量”（不要跟引力常数 混淆），
G
• a
g β为“度规张量”，
• a
T β 为“应力-能量”或者“能量-动量张量”包含静止质量和动能，就像应力。
• R ，为时间间隔的“曲率半径”，由
a
a
R g R
β
β
=
给出，它是利用度规得到的里契张量的
一个缩写式。
• a
R γ
为里契张量，通过
a
a
a
a
R
R
λ
λ
λ
γ
βγ
λγ
δ
=
= R λγ
来定义，为“黎曼曲率张量”的缩写式，
是用四维克罗内可符号表示的（对角线上全部为 1）。
黎曼曲率张量
其中的
为“克里斯朵夫符号”（也就是众所周知的联络符号），定义为
a
βγ
Γ
注意：
1. 所有的指标超出了四维时空坐标（0=为时间，1，2，3=空间）。
2. 重复出现的上下角标暗示了在这些指标上的求和。
3.
和
包含 16 个元素，10 个是独立的，
包括 256 个元素，只有 20 个是独
立的。
a
R β
a
G β
a
R βγλ
4.
和
的量纲为（长度）
a
R β
a
G β
-2
。
因此，爱因斯坦方程确实描述的是 10 个（4×4－6）耦合，二阶非线性偏的微分方程，它
把度规
和应力-能量-动量张量联系在一起（例如：“源”条件）。这类似于泊松方程，
其中，第二阶微分方程把引力势跟质量密度联系起来。
v
gµ
史瓦西度规解
一个静态、非旋转、球形对称质量分布的物体，考虑其各种球形对称性后，这个区域
内有
其 中
和
仅 仅 为
的 函 数 。 为 了 方 便 ， 把 这 些 写 成 指 数 形 式
。这个度规张量
由下式给出
Φ
Λ
r
0
1
2
3
{ , , , } { , , , }
x x x x
ct r θ φ
≡
a
g β
决定
和
步骤
2
e
Φ
2
e
Λ
1. 对于克里斯朵夫符号
，把
插入到方程中，（这里包含一阶微分）。对于史瓦西
度规，这里有 9 个非零的克里斯朵夫符号。
a
βγ
Γ
a
g β
2. 然后将这个结果
插入到黎曼曲率张量的表达式中（这个算符产生了二阶微分）。
a
βγ
Γ
对于这个特殊的问题，黎曼张量只包含 6 个非零的独立元素。
3. 黎曼曲率张量 a
R
λ
βγ被缩写为一个 4 维克罗内克函数
，函数服从里契张量
（例
如：
=
β
λ
δ
a
R γ
a
R γ
a
R
λ
βγ
β
λ
δ ）。
4. 计算出曲率半径后，组成一个完全爱因斯坦张量，此张量仅对角线上有元素；这两点
提示我们必须找到
和
2
e
Φ
2
e
Λ
5. 既然在质量分布的外部能量-动量张量为零，
=0 并且
=0 为简单微分方程，从
我们所找到的（见问题 10 部分）
00
G
11
G
现在，把度规插入到我们推断的爱因斯坦方程当中，得到Φ 和 的微分方程。记得
Λ
第一步
从计算克里斯朵夫符号开始，为了简单起见，我们对符号做一个稍微的变动。从现在开始，
在张量中当一逗号紧跟着一个指标出现的时候，就暗示着一阶微分。例如，
,
a
a
g
g
x
β
β γ
γ
∂
≡
∂
，
同样有
2
,
a
a
v
v
g
g
x x
β
β γ
γ
∂
≡
∂ ∂
。
总之，在克里斯朵夫符号里总共存在 4×4×4/2=32 个独立的元素。我们将像前面例子中那
样，计算出克里斯朵夫符号中一些元素的数值，然后列出剩余元素。对于符号再做一下说明：
只要我们用到像{ ,
这样的指标，就意味着是这四个分量中的一个；但是，如果利用
其它的任何希腊字母，那么引用任意一个分量，就可能是对它们求和。
, , }
t r φ θ
让我们从计算
开始
t
tr
Γ
首先，我们注意到没有任何度规是跟时间 有关，并且跟角φ 也没有关系。因此，这样
的条件
t
r
g
t
σ
∂
∂
就变为零。所以考虑只对与 r 或 有关的微分。接下来，注意到度规为对角矩
θ
阵，所以非对角线上的元素为零。就像
等。考虑的
表达形式，我们
看到这三个微分当中仅有一个可能不为零，那就是
0
tr
t
r
g
g
g
θ
φ
=
=
=
t
tr
Γ
t
g
r
σ
∂
∂
。这个微分只有在σ 为 时，为非
零值，否则这就是度规的一个非对角元素。并且
t
所以，现在需要知道
的值。当指标被升成上指标时，又如何去计算度规的值？换句话说，
我们想知道
的值，但是这只是
的翻转，因此，
的值可以由下式给出
tt
g
a
g
β
a
g β
a
g
β
所以
，因此
下一步，让我们计算一个非常巧妙的例子，
现在，运用前面提到的度规是对角矩阵，并注意到因子
，我们就会得出结论，只有当
为 时，可以得到一个非零的结果。所以，有
g
θσ
σ θ
可以算出克里斯朵夫算符中的一些其它的元素为零，我们将给出一个这样的例子。考虑
tt
θ
Γ
上面提到，
只跟 有关，跟 ，θ 和φ 无关。因此有
Φ
r
t
0
tt
g
θ
∂
=
∂
，这就暗示了
=0。计
算克里斯朵夫算符中所有可能的元素值，这是个枯燥无味的练习，因此，所有的计算结束
后，我们将简单描述结果。为了方便，我们用算符
代替算符
tt
θ
Γ
r
∂
r
∂
∂
。计算出结果后，只
有 9 个元素为非零值，它们为
第二步
计算黎曼曲率张量。根据克里斯朵夫符号给出下式
（注意逗号表示了微分，根据前两项）。现在，如果根据度规计算出
v
R
σ
µβ
的值，就可以证
明一些对称性。这些对称性可以用来证明只存在 20 个独立的分量。最后，我们确实希望
找到里契张量，即
a
v
av
R
R
µ
µ
=
。现在，利用黎曼曲率张量的定义以及克里斯朵夫算符的计
算结果，我们可以完成类似于克里斯朵夫算符计算的枯燥无味的计算。我们简单列出独立
的，非零的分量
这就意味着我们只需要计算出黎曼曲率元素的一个子集{
,
。
,
,
t
r
tv
rv
v
v
R R
R
R
θ
φ
µ
µ
µθ
µφ }
现在，我们计算里契张量的非零分量。第一个例子为
对于
的其它元素有一个相似的计算，证明所有的非对角线元素为零。所有这些构成了
里契张量的对角线元素，对于史瓦西度规计算如下
a
R β
最后，我们不需要计算曲率半径
v
v
R g R
µ
µ
=
然后再计算出爱因斯坦张量
1
2
v
v
v
G
R
g
µ
µ
µ
=
−
R
对于史瓦西度规的情况，在球形对称质量分布的外侧，应力-能量-动量张量
为零，因
此爱因斯坦方程化简为
。因此上面所列出的四个元素每一个都为零。这些简单微
分方程中的前两个（见第 7 页的顶部）完全能够找到 和 ，完成史瓦西席度规：
v
Tµ
0
v
Gµ =
Λ Φ
从这个度规，我们可以得到一些环境对广义相对论的影响，也许你早已经知道了。这
些包含引力红移，光线弯曲，水星轨道近日点的进动，以及夏皮罗的时间延迟。对于广义
相对论给出更多的介绍材料，感兴趣的同学可以直接参阅下列内容：
“引力作用和宇宙论”，作者 Steven Weinberg
“引力作用”作者 Charles Misner，Kip Thorne，John Archibald Wheeler(费曼)
“广义相对论的一种学习方法”作者 Bernard Schutz
