对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
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转载可积系统
可积系统最本质的地方就在于它有充分多的对称性，对称性不充分的称为部分可积系统，最少对称性的系统就是完全不可积系统，或者说是混沌系统。物理系统或者动力系统的分类方法有很多，比如热力学系统，随机/确定系统，约束系统（完整 /几何以及其他的约束方式），开放系统，耗散/保守系统，线性/非线性系统，有限/无限维系统，但不论从什么角度，可积系统都是性质最好的系统，就像一个具有很好对称性的几何体，它的性质总是很完美的。
可积性的其他意义
1 完整性（可达性 非常深刻一个概念，约束的几何性质，有局部和整体的区别）
2 严格可解性或形式可解性 形式可积性 拉克斯可积
3 几何结构的可积性（我有专门的讨论），实际上是流形上光滑结构的一种可约化性，通常存在拓扑障碍，可用层上同调的方法分析
4 单值性（零曲率及整体和乐群的平凡性）
世界上最有意思的东西就是对称性，可积系统由于具有很高的对称性，所有就像一个百宝箱，从里面可以取出各种各样的玩具，几何的，代数的，分析的，等等。
可积系统系统的算术性质可以完全从表示论的角度得到，表示论也是一种求解问题的工具。
事实上，可以反过来做，很多可积系统可以从表示论导出来。很多不同的系统都是相关，可积系统有一种“家族性“，把某一类可积系统放在一起，就会出现更有意思的结构。
某一类可积系统放在一起形成一种模空间，可积系统之间存在相互作用和一些有意思的规范变换。可积系统就是表示的实现。
从形式可解性的角度，线性发展系统是平凡的，
一般形式为du(x,t)/dt=A(t)u(x,t)+f(t)，格林函数为G(t)=exp^(integal A(T)dt)(维尔逊算子),再由冲量原理（常熟变异法或齐次化原理），可求得零初值得特解，线性叠加就得一般解。对于一个发展式的系统，可以从两个角度来看，一种是薛定谔表象，向量（态）演化的观点，另一种是海森表表象，算子（观测量）的观点，二者是等价的。
微分方程dx/dt=Ax（态演化）等价于dU/dt=AU-------U(t)=exp^tA(传播子，格林函数，基本解)-------L(t)=U(t)L(0)U(t)^(-1)算子演化
算子方程dL/dt=[A,L]。[A,L]=0,则称L为A的守恒量，L决定的流称为守恒流。
线性发展系统还有一种方法就是规范变换，比如福利叶变换，基本想法就是对算子进行相似变换，使得算子的形式比较简单，具体就是试图找到某一个算子一组本征值，找出本征值和本征向量的演化规律。时间发展式和谱问题紧密联系的。如果能够找到本征值不变或本征向量不变的算子，那就更好了，这样就可能把偏微分方程化常维甚至化为代数方程。其实这种机制本质就是利用对称性（守恒量或首次积分）对系统进行约化以至降低维数。
非线性发展系统则有趣和复杂得多。
