希尔伯特空间 维数与自由度

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希尔伯特空间 维数与自由度(2006-07-10 15:01:17)
转载 分类：我的物理世界
希尔伯特空间是人为构造的抽象空间，其基矢为不同本征值的本征矢构成（不考虑简并的情况），对于厄密算符（物理量的算符皆为厄密算符），其不同的本征值的本征矢皆正交。所以厄密算符的所有不同的本征值的本征矢可以构成一组基矢，并且这组基矢是完备的，便构成一个空间，即希尔伯特空间。所以空间的维数等于本征值的个数。
在自由单粒子的一维运动中，坐标的本征值是连续的，因而是无穷的，其本征矢也是无穷的，由坐标本征矢构成的希尔伯特空间的维数也是无穷的。此空间中任一态矢量都是基矢，所以此空间中坐标态矢量的函数形式为δ（x-x')的形式，即任一状态的矢量都与对应的基矢重合，在其他基矢上投影为0，而且此空间基矢归一化为δ函数，而不能归一化为1。
对于任何本征值为连续的算符的表象空间中皆如此！
对于本征值为间断且有限的算符的表象空间的维数是有限的。
对象的自由度指在对象的运动过程中相互独立变量的个数（如在三维空间中运动粒子的三个方向矢量）这些独立变量中任一变量（如x方向矢量）的本征矢皆可构成一个希尔伯特空间，空间的维数取决于此变量的本征值个数（非简并）。但所有独立变量构成的希尔伯特空间可构成一直积空间（大的希尔伯特空间Ix>Iy>Iz>),此直积空间便是所谓算符完备组的基矢Ixyz>构成的空间。所以对象的自由度即算符完备组算符个数。
（^_^，高手表笑我，这些基本概念弄了很久才搞清楚。）

所有跟帖： 

• 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程 -marketreflections- ♂ (25789 bytes) () 05/27/2010 postreply 10:48:54

• 一个力学量如以算符 表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数 -marketreflections- ♂ (79 bytes) () 05/27/2010 postreply 10:50:27

• 北京大学 现代量子力学基础 金观涛 希尔伯特空间 微观世界好象一个黑箱 -marketreflections- ♂ (16222 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:00:36

• 规定运算操作性质的符号称为算符。例如ln、d/dx、sin等分别表示对函数进行对数、微分、正弦等运算。算符的作用是：算符作用在一 -marketreflections- ♂ (27984 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:49:53

• 回复：规定运算操作性质的符号称为算符。例如ln、d/dx、sin等分别表示对函数进行对数、微分、正弦等运算。算符的作用是：算符作 -marketreflections- ♂ (336 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:51:35

• 当算符A满足 称A为线性算符。如d/dx就是线性算符，而 ln 和 sin 不是线性算符。算符的乘法还服从结合律和分配律，但是一 -marketreflections- ♂ (423 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:54:02

• 量子力学的基本假定 表中列出的是各种力学量对应的算符，其中坐标算符就是其自身，也就是说坐标算符作用于函数就等于坐标乘以该函数。 -marketreflections- ♂ (11357 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:57:13

• 哈密顿算符是能量算符，对应系统的能量E，系统的能量E等于系统的动能与势能之和E=T+V。定态波函数是不随时间变化的，描述的是体系 -marketreflections- ♂ (695 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:01:06

• 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 -marketreflections- ♂ (15511 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:06:27

• 其原理是利用非正交量子态不可区分原理　即对两个非正交量子态不可能同时精确测量 -marketreflections- ♂ (16347 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:07:15

• 在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常空间的“直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹 -marketreflections- ♂ (6383 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:12:31

• 希尔伯特空间 复数比例 复线性叠加 物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有z和w的比才有意义 -marketreflections- ♂ (4446 bytes) () 05/28/2010 postreply 06:18:35

• 认识了微观世界（量子力学）与宏观世界（经典力学）作用机制——非连续与连续的根本区别，由“薛定谔猫”理想实验产生的悖论也可以自然消 -marketreflections- ♂ (3954 bytes) () 05/28/2010 postreply 06:39:48

• 换位思考一下你就明白战略机遇期的事情, [ 观望者 -marketreflections- ♂ (2724 bytes) () 06/01/2010 postreply 15:51:51

• 从能量的意义上，人类自身其实处于宇宙的一个极端：能量标度极小的场合。 -marketreflections- ♂ (854 bytes) () 06/01/2010 postreply 08:44:23

• 一维数组 代表一个张量。这个张量反映了直线l的客观存在，不因描述它的坐标系不同而改变。但在不同的坐标系里，表现出的分量或数组元素 -marketreflections- ♂ (2247 bytes) () 06/01/2010 postreply 09:12:47

• 协变和逆变是现代数学中很基本的概念 -marketreflections- ♂ (260 bytes) () 06/01/2010 postreply 09:26:01

• 《我说广义相对论2》之等效原理与黎曼几何 -marketreflections- ♂ (4234 bytes) () 06/01/2010 postreply 09:32:26

• 量子力学里面把波函数表示的态视作态矢量，注意是个矢量，它是希尔伯特空间里面的一个元素，既然是个矢量，按照微分几何里面的概念，这个 -marketreflections- ♂ (16186 bytes) () 06/01/2010 postreply 09:58:32

• 爱因斯坦 光电效应说的是当有光照射在金属表面时，光能可以被导体内被原子核束缚的电子吸收，从而使部分电子成为自由电子形成电流 -marketreflections- ♂ (11691 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:25:19

• E=hν（E为一份能量的大小，ν是对应电磁波的频率，h就是那个比例常数，被后人称为普朗克常数 -marketreflections- ♂ (532 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:27:11

• λ=h/p，通过其他电磁学公式计算出电子的动量p后代入，会得到极其微小的λ，这个λ甚至小于原子间距，而衍射必须在波被一个大小接近 -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:28:08

• 具有同样的能量的粒子，可以向不同方向运动，正好是符合我们物理常识所知道的同样能量的粒子可能具有不同速度（方向）。 -marketreflections- ♂ (112 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:34:43

• 算符Ĵ与Ψ组成的算式 Ψ是一个函数，那么ĴΨ可以有很多的取值（根据Ψ取值决定），那么，对应不同的Ψ，如果可以 -marketreflections- ♂ (16238 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:42:08

• 平均值ĪΨ和真实值ĬΨ之间的误差ΔĬΨ为：ΔĬΨ=ĬΨ-ĪΨ（真实值 -marketreflections- ♂ (11485 bytes) () 06/01/2010 postreply 11:45:32

• http://knol.google.com/k/%E6%B3%A2%E5%87%BD%E6%95%B0# -marketreflections- ♂ (53 bytes) () 06/01/2010 postreply 20:32:06

• 狄拉克方程式 薛定谔方程只包含线性的时间一阶导数从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的哈密顿量 -marketreflections- ♂ (270 bytes) () 06/01/2010 postreply 20:46:35

• 量子力学用希尔伯特空间中的态矢概念代替位置和动量（或速度）的概念来描述物体的状态，用薛定谔方程代替牛顿动力学方程（即含有力场具体 -marketreflections- ♂ (3896 bytes) () 06/01/2010 postreply 20:50:41

• 由于牛顿动力学方程不是洛伦兹协变的，因而不能和狭义相对论相容，因而当物体做高速移动时需要修改力，速度，等力学变量的定义，使动力学 -marketreflections- ♂ (206 bytes) () 06/01/2010 postreply 20:51:45

• 由于薛定谔方程中对时间的求导是一阶的而对空间坐标xi的求导是二阶的，故对于洛伦兹（Lorentz）变换，薛定谔方程不是协变的，不 -marketreflections- ♂ (777 bytes) () 06/01/2010 postreply 20:55:02

• 麦克斯韦方程表成波动方程的形式， 是时间的二次方程， 而薛定谔方程却是时间的一次方程 -marketreflections- ♂ (370 bytes) () 06/01/2010 postreply 21:02:22

• 在非相对论力学里，系统是用广义坐标和广义速度来描写的。拉格朗日函数L是广义坐标和广义速度的一个泛函，也许还显含时间t -marketreflections- ♂ (30153 bytes) () 06/01/2010 postreply 21:07:05

• 哈密顿量是粒子总能量W的一个表达式。它和自由粒子能量的差别在于多了一项势能eΦ，并将P换成了[P-(e/c)A]。 -marketreflections- ♂ (639 bytes) () 06/01/2010 postreply 21:08:53

• 在粒子速度接近光速的现象中，粒子的动能可能远远超过它的静能。因此，在这类粒子的相互作用过程中，能量转换可能极大，因而有可能在满足 -marketreflections- ♂ (7471 bytes) () 06/02/2010 postreply 08:12:17

• 包括电子同物质的相互作用、轻离子同物质的相互 作用、重离子同物质的相互作用等。根据碰撞参量（核 与带电粒子运动轨迹的最短距离）、 -marketreflections- ♂ (2970 bytes) () 06/02/2010 postreply 08:22:03

• 速度四维矢量的第四维以及它的洛仑兹不变量。第四维写错，不变量就会错 -marketreflections- ♂ (268 bytes) () 06/02/2010 postreply 10:08:09

• [PPT] 电动力学简介 坐标系、数理方程 标量 矢量 张量 -marketreflections- ♂ (333 bytes) () 06/02/2010 postreply 10:16:02

• 贺贤土：狭义相对论力学和质能转换关系 -marketreflections- ♂ (12892 bytes) () 06/02/2010 postreply 10:20:44

• 电磁场的相对论变换 -marketreflections- ♂ (284 bytes) () 06/02/2010 postreply 10:25:10

• 相对论导引 作者：赵展岳 质量不再是标量，电势也不再是标量 -marketreflections- ♂ (406 bytes) () 06/02/2010 postreply 10:30:47

• 参照由牛顿定理导出动能定理的过程;系统的动能T对广义速度 的偏导数为广义动量 -marketreflections- ♂ (3275 bytes) () 06/02/2010 postreply 12:35:38

• 场量本身也是随粒子运动而变化的，利空消息消化差不多了，场量比如波动性也小了，对个股的影响也小了，相反方向运动于是开始 -marketreflections- ♂ (294 bytes) () 06/02/2010 postreply 13:47:10

• 牛顿原始公式：F=Δ(mv)/Δt 在相对论中F=ma是不成立的，因为质量随速度改变，而F=Δ(mv)/Δt依然使用 -marketreflections- ♂ (6091 bytes) () 06/02/2010 postreply 12:41:53

• 孤立体系的总能量动量 初始条件 - 即一组动力学变量及其时间导数在初始时刻的空间分布 Einstein 场方程和大多数其它动力学 -marketreflections- ♂ (8099 bytes) () 06/02/2010 postreply 12:53:59

• 从物理上讲， 一个体系的 “孤立” 指的是远离任何其它体系， 或者更确切地说， 是任何其它体系对它的影响都可以忽略。 对于这样的 -marketreflections- ♂ (10054 bytes) () 06/02/2010 postreply 13:08:56

• 将这种思路用到引力场中， 一个很自然的设想是通过度规场 gμν 以适当方式趋于 Minkowski 度规 ημν 来定义孤立体系 -marketreflections- ♂ (582 bytes) () 06/02/2010 postreply 13:14:07

• ADM 引力辐射是由纯引力场组成的， 因此引力场本身携带能量动量;一个孤立体系的总能量动量是可以定义的， 这个总能量动量既包含了 -marketreflections- ♂ (9150 bytes) () 06/02/2010 postreply 12:58:15

• 与传统的均衡模,异质多主体模型能够更好地处理非线性相互作用,不必有“理性人暠的假设,更强调个体的异质性及其之间的相互作用 -marketreflections- ♂ (43518 bytes) () 06/02/2010 postreply 13:23:26

• 场量本身也是随粒子运动而变化的，利空消息消化差不多了，场量比如波动性也小了，对个股的影响也小了，相反方向运动于是开始 -marketreflections- ♂ (368 bytes) () 06/02/2010 postreply 13:49:00

• 在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） 来表示； -marketreflections- ♂ (6894 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:08:39

• 向量点乘：横坐标相乘 纵坐标相乘 两个相加． 叉乘：模的乘积乘以夹角的余弦． -marketreflections- ♂ (481 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:18:16

• “ 叉乘 ”。 ... 应为其底面积 乘以高 。 底面积为 ，由于高 垂直于底面 ，它可以看作向量 在垂直于底面的向量 上的投影 -marketreflections- ♂ (350 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:23:29

• 点乘，也叫向量的内积、数量积,已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘;叉乘，也叫向量的外积、向量积。 -marketreflections- ♂ (905 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:26:53

• 前面两个叉乘表示 ：电场的空间变化会引起磁场的时间变化，磁场的空间变化会引起电场的时间变化。同时看出传播方向与电磁场方向垂直，所 -marketreflections- ♂ (829 bytes) () 06/05/2010 postreply 08:03:17

• 爱因斯坦 电流在一个环形导体通过，在这个环的中央放上一个极上，并且与连接导线和磁极的直线垂直,这个力与带电体的速度有关。 -marketreflections- ♂ (453 bytes) () 06/05/2010 postreply 08:15:36

• 绘在导线旁边的箭头表示电流从较高电势流向较低电势的方向 (图) -marketreflections- ♂ (18653 bytes) () 06/05/2010 postreply 08:19:43

• 场已经被证明是一个很有用处的概念。它起初只是当作在源与磁针间的某种东西，用来描述两者之间的作用力。它被想象为电流的“经纪人”， -marketreflections- ♂ (289 bytes) () 06/05/2010 postreply 08:25:55

• 看麦克斯韦方程，刚开始就遇到了问题，那个倒三角的微分算子对电场的叉乘、磁场的叉乘 -marketreflections- ♂ (8275 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:33:36

• 小熊在线 《人文与科学论坛》 在经典力学中，我们有一些描述物质粒子的力学量，如质量、能量、动量、速度等，这些力学量随时间的改变是 -marketreflections- ♂ (9359 bytes) () 06/02/2010 postreply 16:43:11

• 自然光里面光的振动方向是随机的,面对光的传播方向,你可以想象成它的振动方向就象一个闹钟一样,光沿秒针的轴向你射来,其振动就是象秒 -marketreflections- ♂ (7124 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:13:07

• 人眼只对电场强度 有视觉效应，所以，通常说的光波的振动矢量指的是电场强度 -marketreflections- ♂ (664 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:17:48

• 波长只有在视觉可见范围内的电磁波就是光 -marketreflections- ♂ (1100 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:20:47

• 任何可以由Dirac描述的有限质量单粒子方程都会得到其瞬时速度为光速，当然现实中我们永远也不可能测得这个瞬时速度，因为我不可能实 -marketreflections- ♂ (1512 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:24:13

• 人眼看东西的原理 光入人眼，构成一个底场，背景场，坐标系；光照物体，产生反射光线，再如人眼，在背景场上成象；左右眼，两个背景场， -marketreflections- ♂ (1838 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:28:00

• 要无限精确的知道电子的速度所带来的能量的不确定性是无穷的，质能的等效性，意味着这个无穷的能量对应于一个无限的动质量，而由相对论里 -marketreflections- ♂ (308 bytes) () 06/04/2010 postreply 15:50:37

• 当带电粒子之间发生碰撞时，它们在对方的电场里做加速运动，因此会辐射电磁波。当快电子因碰撞被慢化时就会出现这种辐射，它被命名为轫致 -marketreflections- ♂ (13901 bytes) () 06/02/2010 postreply 08:17:34

• 解析几何与微分几何解析几何是运用代数方法研究几何图形的性质,它的主要研究对象是直线,平面,二次 曲线与二次曲面.微分几何是运用无 -marketreflections- ♂ (902 bytes) () 06/01/2010 postreply 10:13:14

• 皇帝新脑 希尔伯特空间 -marketreflections- ♂ (9239 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:17:26

• 王国文 纠缠态 这个变换应该用线性（事实上么正）算符表示”是对叠加原理的误解和误用，从而得出“单量子不能被克隆”的结论 -marketreflections- ♂ (7594 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:26:03

• 所谓纠缠态,就是指多自由度(或多粒子)体系的一种特殊形式、但又极广泛存在的一种量子态,即在任何表象中,都无法写成各自由度(或单粒 -marketreflections- ♂ (1176 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:31:20

• 第七章 相对论性量子力学 相对论的情形 一个粒子在时空上的定域必然导致在它附近从真空中产生出众多的粒子 -marketreflections- ♂ (421 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:35:27

• 相对论量子力学的第一个特征是：时-空是对称的罗仑兹时空，运动学关系——能量与动量的关系也必然是对称的相对论协变 -marketreflections- ♂ (146 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:44:08

• PDF] 量子力学讲义 -marketreflections- ♂ (322 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:49:26

• 非相对论时空是伽利 略时空，其特点是空间与时间的分离和不对称; 时间空间均匀,理想状态，线性，能量守恒； -marketreflections- ♂ (60729 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:40:42

• the markets are trying to re-price structural changes to the ban -marketreflections- ♂ (3909 bytes) () 05/27/2010 postreply 16:33:45

• 也从温水煮青蛙说起--物理学中的绝热近似 [ 冷原子 ] -marketreflections- ♂ (9433 bytes) () 05/27/2010 postreply 16:36:19

• 美地方债危机或导致新一轮衰退 -marketreflections- ♂ (3389 bytes) () 05/28/2010 postreply 07:19:34

• 要了解「量」必須先有一個關於「量」的普遍觀念和一些能體現它的特殊事例 (instance)。這些事例形成了所謂的流形：任兩事例若 -marketreflections- ♂ (3848 bytes) () 05/27/2010 postreply 16:53:11

• 怎麼說它有多彎？或者场的保守度？ -marketreflections- ♂ (6302 bytes) () 05/27/2010 postreply 16:59:56

• 若把点密度用外微分式dP=dx∧dy表示,则上述积分就可以写成与坐标系无关的形式 积分; 齐性空间 -marketreflections- ♂ (7252 bytes) () 05/27/2010 postreply 17:32:32

• 在一个圆柱上面，一个方向是沿圆来找的，一个方向是直线。圆方向的曲率就是$1/r$，直线方向则是0，它并没有曲率。高斯发觉这两个曲 -marketreflections- ♂ (27541 bytes) () 05/27/2010 postreply 17:41:22

• [PDF] 第六章麦克斯威方程 对变化的电磁场, 电力不再是保守力, 所以电势将失去势能的意义 -marketreflections- ♂ (393 bytes) () 05/27/2010 postreply 17:44:44

• 组成宏观体系的微观粒子其运动方程是关于时间t的二阶导数，将t换成，意味着体系中全体分子的速度反向 -marketreflections- ♂ (282 bytes) () 05/27/2010 postreply 17:49:37

• 古典物理学原理 微观粒子的弹性 对坐标的二阶导数之和已不再为零，泊松方程具有以下形式: -marketreflections- ♂ (3782 bytes) () 05/27/2010 postreply 17:52:11

• Alan Bush This demoralizing drop in prices had to be an addition -marketreflections- ♂ (3674 bytes) () 05/28/2010 postreply 04:44:21

• 计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行 只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换 -marketreflections- ♂ (4094 bytes) () 05/28/2010 postreply 04:55:46

• 微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的 -marketreflections- ♂ (179 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:01:49

• 空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减，即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。 -marketreflections- ♂ (1761 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:04:23

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• 长度一定是非负的，而坐标或数量射影则可正可非正.对于向量的数量积，符号表明是锐角或者钝角.对于例如轴上的两点，距离是，但坐标差可 -marketreflections- ♂ (11899 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:34:17

• 复数是在一种很特殊意义下的平面向量（用向量的语言，所谓纯虚数就是轴方向的向量，这个方向当然应该有长度为0的向量，即.所以硬说不是 -marketreflections- ♂ (9372 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:36:31

• 希尔伯特空间：在一个复向量空间H上的给定的内积并导出一种范数，如果其对于这个范数来说是完备的，那么它就是希尔伯特空间 -marketreflections- ♂ (1779 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:46:36

• 泛函空间简单解释 Banach空间是完备的线性赋范向量空间 -marketreflections- ♂ (20 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:48:16

• 张量 (Tensor) 是 n 维空间内，有 nr个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照 -marketreflections- ♂ (216 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:53:59

• 向量空间并不是研究几何学的合适的空间.因为其中只有向量而没有点.准确地说，只有一个特定的点：坐标原点，而所有向量都画成从这个特定 -marketreflections- ♂ (10316 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:14:26

• 向量一定是只有大小和方向而没有起点，但是解决题目，画起图形或者证明起定理来又总是有了起点：坐标原点.产生这个人们时常不经意的漏洞 -marketreflections- ♂ (3919 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:21:48

• x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 厄密算符具有下列基本性质： （1）厄密算符的本征值是实数. 若λ是厄密算符 -marketreflections- ♂ (270 bytes) () 05/27/2010 postreply 12:53:12

• 微观世界好象一个黑箱 微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数 及力学量算符 均以坐标 （以一 -marketreflections- ♂ (1050 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:15:52

• 量子力学中的对称与守恒 即任何一个不显含时间的力学量L，其算符与哈密顿算符对易，它便是一个运动积分， -marketreflections- ♂ (6173 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:23:02

• 量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态 -marketreflections- ♂ (998 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:31:31

• 在量子力学中，当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而是具有一系列可能值，每 -marketreflections- ♂ (960 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:34:14

• 量子力学发展史与量子曲率解释 由于时间坐标在量子论中不同于空间坐标，时间没有对应的厄密算符，能量与时间的不确定关系应当在量子力 -marketreflections- ♂ (282 bytes) () 05/27/2010 postreply 11:41:24