在这篇文章内，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 表示；而其大小则用 来表示。
四维矢量用加有标号的斜体显示。例如， 或 。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如， 表示 平方；而 是 的第二个分量。
在相对论里，四维矢量 (four-vector) 是一种实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为时间与三维空间的位置。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个事件，可以用四维矢量表示。应用洛伦兹变换，而不是伽利略变换 ，我们可以使对于某惯性参考系的四维矢量，经过平移，旋转，或递升（英语：Lorentz boost） ，变换到对于另一个惯性参考系的四维矢量。所有这些平移，旋转，或递升的集合形成了庞加莱群（英语：Poincaré group）。所有的旋转，或递升的集合则形成了洛伦兹群（英语：Lorentz group） 。
目录 [隐藏]
1 数学定义
2 洛伦兹变换
3 动力学实例
3.1 四维速度
3.2 四维加速度
3.3 四维动量
3.4 四维力
4 物理内涵
4.1 质能方程
4.2 能量-动量关系式
5 电磁学实例
5.1 四维电流密度
5.2 电磁四维势
5.3 四维频率和四维波矢量
6 参阅
7 参考文献
[编辑] 数学定义
在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） 来表示；其中，上标 标记时空的量纲次序。称这四维矢量为位置四维矢量，又称四维位置，定义为
；
其中， 是光速， 是时间， 是位置的三维直角坐标。
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 。
位移四维矢量定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，位移四维矢量可以用一只从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。关于四维矢量的理论，通常提到的是位移。以公式表达位移四维矢量 ，
。
带有上标的四维矢量 称为反变矢量。假若，标号是下标，则称四维矢量 为协变矢量。其分量为
。
设定闵可夫斯基度规 为
。
那么，采用爱因斯坦求和约定，四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
。
两个四维矢量 与 的内积，可以用对偶空间两个四维矢量的双线性乘积来表达：
。
有时候，这内积被称为闵可夫斯基内积。从数学观点来说，由于这内积并不具正定性，这内积并不是完美的内积。例如，
可能会是负数；而内积一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的 ：
。
这样，内积改变为
。
其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。
内积有一个很重要的性质，内积是个不变量：改变坐标系不会改变内积的值。
四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：
类时矢量： ，
类空矢量： ，
类光矢量： 。
[编辑] 洛伦兹变换
给予两个惯性参考系 、 ；相对于参考系 ，参考系 以速度 移动。对于这两个参考系，相关的洛伦兹变换矩阵 是
；
其中， 是洛伦兹因子， 是贝塔因子。
对于这两个参考系，假设一个事件的四维位置分别为 、 。那么，这两个四维位置之间的关系为
。
应用这方程，给予一个事件对于某惯性参考系的四维位置，即可计算出这事件对于另外一个惯性参考系的四维位置。这是个很优良的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这优良的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。假设，某四维矢量具有这性质，那么，在计算这四维矢量对于时间的导数时，能够选用固有时为时间变量，则求得的四维矢量仍旧具有这优良的性质。因为，固有时乃是个不变量；改换惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于时空。采用时空的某一惯性参考系，相对于这参考系，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与这物体同样运动的惯性参考系，称为静止参考系。相对于这静止参考系，这物体的速度为零。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为静止参考系。随着这些不断改换的静止参考系所测得的时间即为固有时，标记为 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线（英语：world line） 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 与从别的惯性参考系 所观测到的微小时间间隔 的关系为
；
其中， 是洛伦兹因子， 是惯性参考系 所观测到的物体速率。
所以，固有时 对于其它时间 的导数为
。
[编辑] 动力学实例
[编辑] 四维速度
主条目：四维速度
假设一个物体在时空中运动。其世界线的任意事件 的四维速度 定义为
；
其中， 是三维速度，或经典速度矢量 。
的空间部分与经典速度矢量 的关系为
。
四维速度与自己的内积为光速的平方，一个不变量：
。
[编辑] 四维加速度
主条目：四维加速度
四维加速度 定义为
。
经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：
。
所以，四维加速度 可以表达为
；
其中， 是经典加速度。
由于 是个常数，四维加速度（假）正交于四维速度；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：
。
对于每一条世界线，都会得到一样的计算结果。
[编辑] 四维动量
主条目：四维动量
一个静止质量为 的粒子的四维动量 定义为
。
经典动量 定义为
；
其中， 是相对论性动量。
所以， 的空间部分， 矢量，等于经典动量 。
[编辑] 四维力
主条目：四维力
作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：
。
提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：
。
因此，四维力可以表达为
。
经典力 定义为
。
所以， 的空间部分， 矢量，等于 ：
。
[编辑] 物理内涵
在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。
[编辑] 质能方程
假设，在微小时间间隔 ，一个运动于时空的粒子，感受到作用力 的施加，而这粒子的微小位移为 。那么，作用力对于这粒子所做的微小机械功 为
。
因此，这粒子的动能的改变 为
。
粒子的动能 对于时间的导数为
。
将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到
。
这公式的反微分为
。
当粒子静止时，动能等于零。所以，
。
这公式的右手边第二个项目就是静止能量 。动能 加上静止能量 等于总能量 ：
。
再加简化，以相对论性质量 表达：
。
这方程称为质能方程。
[编辑] 能量-动量关系式
使用质能方程 ，四维动量可以表达为
。
四维动量与自己的内积为
。
转换成四维速度来计算内积：
。
所以，能量-动量关系式为
。
[编辑] 电磁学实例
[编辑] 四维电流密度
主条目：四维电流密度
在电磁学里，四维电流密度 是一个四维矢量，定义为
；
其中， 是电荷密度， 是电流密度。
在静止参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度 。四维电流密度与四维速度的关系为
。
电荷守恒定律能以三维矢量表达为
。
这定律也能以四维电流密度表达为
。
从这方程，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
[编辑] 电磁四维势
主条目：电磁四维势
电磁四维势是由电势 与矢量势 共同形成的，定义为
。
黎曼-索末菲方程表达电磁四维势与四维电流密度之间的关系[1]：
;
其中， 是真空磁导率， 是达朗贝尔算子，又称为四维拉普拉斯算子。
[编辑] 四维频率和四维波矢量
一个平面电磁波的四维频率 定义为
；
其中， 是电磁波的频率， 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零：
。
一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 来描述：
。
其中， 是三维波矢量。
四维波矢量与四维频率之间的关系为
