长度一定是非负的，而坐标或数量射影则可正可非正.对于向量的数量积，符号表明是锐角或者钝角.对于例如轴上的两点，距离是，但坐标差可

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二、线性变换



新课标里面对于变换给予了很大的重视，因为变换是整个数学的最基本的概念之一.函数无非就是由一个集合到另一个集合（在中学教材里通常是实数集合，偶尔也有复数集合）的变换；映射就是变换，几乎是同义语.在几何教学中也讲到变换.不过我以为还应该讲得更仔细一些.在现在的情况下，则需要向量空间之间的变换.如果我们记此向量空间为，记此变换为：（从一个向量空间到另一个向量空间的变换虽然也很重要，但是在目前中学几何教学里却用不着），也就是对于中任意元素（即任意向量）必有中一个（可能是另一个，也可能就是原来的那个向量）与之相应.这和函数作为映射的定义是一样的，不过现在变换的定义域是整个，而在中学教学里会是其一部分.我们在向量空间里讨论的变换一定都是线性变换，就是一定要适合以下的要求：

1.

2. 这里是任意的实数.由此得到一个非常重要的结论，即：原点一定仍被变为（或者说映射为）原点：



这句话的重要性何在？平行移动不是向量空间里的线性变换.因为原点在平行移动下被移到另一个点处去了,但是向量空间里除原点以外根本没有别的点，怎么叫作移到另一个点处去了呢？向量空间里面没有平行移动，这是向量空间不可能成为展开我们熟知的几何学的最重要原因之一.那么向量空间里有哪些我们熟知的几何变换呢？为此先要讲一下我们要从什么样的视角来看待变换.这里会有两种视角.一是几何的视角，就是看一个变换有什么几何特性；二是代数的视角，就是看如何用代数语言来表示这些几何特性.具体说来，就是如何用矩阵来表示线性变换的问题（不过要提醒一下，一般的变换不一定能用矩阵来表示，但是这篇文章里讲到的线性变换都是可以的）.一个向量通常的坐标表示是把坐标写成一个横行如（平面即二维向量）或者（空间即三维向量），但是现在我们总把它们写成竖列或者，这是为了适合矩阵乘法的需要，但是为书写方便，时常应用“转置”记号，即在向量右上角（有的书上则在左上角）加上字母t,表示行变列，列变行：



三维情况类此.一个线性变换在平面情况就可以写成一个2阶矩阵，空间情况则写成3阶矩阵如下

.

线性变换作用于一个向量，就表示为这个矩阵与（竖）列向量的乘积，例如



如果我们仍把右方的向量的各个分量写出来，成为或，就有



可见矩阵记号是一个方便得多的记号.利用矩阵记号，上面关于线性变换必须具有的性质就可以写为



从这里也就立刻可以从代数上看到，平移为什么不是线性变换.因为平移如果用坐标来表示就是

(是两个实数).

它不是齐次式，而如上面的写法，线性变换必须是齐次式.图16则是平移的几何形像：图16中的Tx和Ty就分别是上式的



图16　平行移动，即平移



图17 变换的乘积依赖于实行变换次序的例子.图中3根短线

表示脚趾. 第1排的两个图中，铅直轴固定；第2排图

中由纸面向外伸 出的轴固定.

变换既然可以用矩阵来表示，就可以如同矩阵一样来计算.这里最重要的是变换的“乘积”.正式的称呼应该说“复合”.两个线性变换的乘积作用于向量的定义就是先用作用于再以作用于所得的结果这里作用的次序非常重要：先实行最靠近向量的变换，再对其结果实行紧靠在其左方的变换.有时，按不同次序进行同样的两个变换，结果可以不相同.“乘法”的不可交换性对于中学生是否太难懂？很难说，在21世纪的信息时代，乘法可以不服从交换律这种事情不会成为家喻户晓的事情：使用电脑，先点击这个键，再点击另一个，或者反其道而行之，结果不同难道是“奇迹”吗？难道变换的复合的不可交换性真那么难懂吗？我是在高中二年级从一本小书知道这件事情的，那本书是郑太朴先生翻译的《类论（即群论）梗概》，1939年出版，是为中学师生编的《数学小丛书》的一种.当时许多同班同学都读过，也没有谁说怎么难死人了.当然也没有谁靠这本书来学习群论，只是觉得群论也没啥了不起.总不能说，现在的中学师生比一个世纪前的中学生更笨吧！我的这一点看法得到了武大一些代数老师的支持.说变换的复合从几何视角来看并不难，而从代数视角来看，就相应于矩阵的乘法，这一点课标里也是明确的，我们就不再多说了.



回到正题.有两种种线性变换很重要.其一就是把一切向量都变为自身：这个线性变换称为恒等变换（但是要注意，对于并非恒等的变换，也可能存在某个向量，使得这个成为该变换的不动点）.恒等变换时常记作甚至就记作1，因为数1在乘法中就起了恒等变换的作用.它的矩阵表示就是单位矩阵这里凡是没有写出的元素都是0.另一个线性变换就是就是把一切向量都变为零向量的线性变换，记作，称为零变换：它和数0在加法中的作用相似（线性变换也是可以相加的：）.它的矩阵表示就是零矩阵.另一个重要概念是线性变换的逆变换：设有线性变换则把变回成的线性变换（如果它存在的话）就称为的逆变换，记作即是说（也是线性变换待证明，这里略去）.注意，并非每个线性变换都有逆变换存在，因为给定了一个不一定有适合上式的存在，即便有，也不一定只有一个，那么取哪一个作为中的当且仅当线性变换是一个一一对应时，逆变换才存在.顺便提一下，在中，称为的象，称为的原象.因为逆变换的概念十分重要，下面对于每一个讲到的线性变换，都要指出是否有逆变换存在，如果存在又是什么.例如恒等变换的逆变换就是它自己，而零变换择没有逆变换.逆变换的矩阵就是逆矩阵.这些，在新教材里也一定会讲，所以这里也不多讨论了.



上面我们已经讲到了几种重要的变换.第一个是平移（尽管它并非线性变换），它倒是有逆变换的：



　　可见平移的逆变换仍是平移（这里记号的用法和反函数中自变量仍记为相同）.很明显，平移不能用矩阵来表示.但是最重要的线性变换当然是旋转.因为它重要，必须用很大的篇幅，所以我们放到最后.先介绍三个也很重要的线性变换.因为它们在几何上都很清楚，所以我们不把几何和代数两个视角分那么清楚.第一个是相似，其实就是以原点为相似中心的相似.有两点和综合几何不太相同：首先，综合几何里将的相似是没有相似中心的；其次现在的相似变换的相似比在不同的方向上可以不同，所以最好换一个名称：伸缩变换或尺度变换.图上没有画出相似中心，但是读者容易自己想象出来中心在哪里，估计出来相似比有多大.



图18　尺度变换

　　　　　　　　　　　

图19　各方向的相似比不同的尺度变换

　　图19则是一个方向和方向相似比不同的尺度变换.图8的每一步都是横向收缩，竖向拉长的尺度变换.现在写出尺度变换的矩阵表示.很明显，我们有



这里的是不一定相同的正数.所以，尺度变换及其逆变换的矩阵分别是



由此，可以看出为什么要规定不能为0，若为0就没有逆矩阵了.但是为什么要求它们为正？因为不是正的话，就会得到一种新的同样很重要的变换：反射.



我们在几何学里会见到许多各种各样的反射，但是在中学几何教学里，我们通常只讨论对于原点，对于某个坐标轴或某个坐标平面（只在立体几何里有这个情况）的反射.通常我们都说是某种对称.其实所谓对称就是在某种反射下的不变性.我们还是先从图形上看什么是反射.





图 20　对原点和一根坐标轴的反射（平面情况）


图20上给出的是平面上的两种反射，如果右图上的竖立的直线是轴，则它们的矩阵表示就分别是



它们都是尺度变换中有一个或多个的情况.三维的反射，可以从下面美丽的印度泰姬陵对于水面的反射看到.如果把水面看成三维坐标的平面，即则这个反射可以写成



但是我们还看到，这座美丽的建筑还有一个对称平面：水里的石柱是中轴线，我们以它为轴，泰姬陵对于平面，即，也是对称的（但图上没有把这个对称性完全表示出来，如果这个对称性也完全表示出来了，这些石柱就会重合为一个而看不清楚了），所以，它在

反射变换



下也不变.这当然只不过是说这个建筑有两个不同的对称性，而绝不是说这两个反射变换是相同的.



图21　美丽的泰姬陵在两个反射变换下都不变

再一种重要的线性变换是切变.图22给出了最简单的切变：



图 22 最简单的切变


这里有一条线段，在切变中其上的点不动，但是其外的点（如左图矩竖边上的点都将沿方向移动一个距离，这个距离的大小与此点的高度成正比.例如以矩形左下角为原点，横边为轴，竖边为轴.则在高度为处，平移量应为为一实数（或者说，右图斜线的方程为从而为这条斜线的倾角.图22上的切变称为水平方向的切变，它有一个特点，即左方矩形的底长度没有变化，而虽然矩形变成了平行四边形，高度也没有变化，所以这两个图形面积相同.现在我们来写出它的矩阵表示.首先可以看到任意点的纵坐标未变，所以有至于横坐标则因如上所说的平移而变成所以它的矩阵表示是



与此类似，可以考虑铅直方向的切变，如图23所示，它的坐标表示是是一个实数；而矩阵表示则是



在这个图上

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图23　铅直方向的切变

切变是一种非常有用的变换，我们不妨来看一下怎样用它来证明勾股定理.这个证明是著名的数学科普作家加德纳（M.Gardner）在1964年的一本文集里给出的.只要记住切变不会改变面积，读者完全可以“看图识字”读懂这个证明.用切变来证明勾股定理还有其他方法，不过这一个似乎最简单.我们再来看一下，切变会把图形扭曲成什么样子.下面就是对名画蒙娜丽莎作铅直切变的结果：





图24　用切变证明勾股定理



图25　切变以后的蒙娜丽莎

请注意，铅直方向的向量（红色的）完全没有变化，其他方向的向量（蓝色的）都按顺时针方向扭转了一点.但是，这么一点小变动却使得美丽的蒙娜丽莎怎么看怎么不顺眼.切变是一种重要的物理现象.大气的风场（就是风速的向量场）中剧烈的突然切变（称为切变风）是飞行的大敌！



以上我们只讲到两个特殊方向的切变.一般的切变自然复杂得多.怎样来刻画一般的切变，自然远远超出本文的范围.



　　另一个重要的变换是射影.需要注意的是，射影一词在本文涉及的范围内有两种意义.一种理解是用于例如摄影，照相，绘画等方面的射影，这是一种把三维物体映射为平面图像的方法，例如各种透视，画法几何里绘制三视图等.它们与射影几何学有密切关系.而在中学几何教学中也会时而涉及这方面的问题，我们在下文中也会稍稍涉及.另一种理解是一个向量空间里的一种特殊的线性变换它是这样来定义的（以二维平面为限）：设有两个线性无关的向量，由教材里面讲的平面向量的基本定理，任意向量都可以用唯一方式写为是实数），我们就说是沿着的方向在方向上的射影，这个线性变换的最明显的性质是：如果对图26中轴上的各个向量例如再作一次射影，其结果就等于是再作了一次恒等变换：



图26　斜射影

　　这个式子是作为向量空间里的线性变换的射影的基本性质，时常我们就以它为定义.而在实际应用时，最常见的情况是是互相正交的单位向量，即轴和轴方向的单位向量和，如图27那样.读者可能会奇怪，图27难道不是向量的分量的图示吗？是的，向量在轴和轴方向的分量，就是它在上的射影.重要的是它必须适合上面的关系式.



图27　正射影

正射影的矩阵表示是：




　　射影变换有一点和前面讲过的变换都不一样.以前讲过的变换都有逆变换，但是射影变换却没有.因为你从图26上就可以看到，例如所有终点在连接与的那条虚线上的向量，沿的射影都是，也就是说的原象远不止一个，而有无穷多个.如果用正射影的矩阵表示，则看得更清楚：所有的向量都适合都是的原象.



上面我们只讲了教材上一定会有的最简单的情况.实际情况当然会更复杂，而且有时也会见到，例如对于一个平面的射影等.但是主要之点在于必须明白，射影变化都是与向量的分解（如）相关的，而且最根本的性质是



图28　射影是向量还是数量

还有一个时常引起混淆的用语问题.例如在讲向量的数量积时，我们有时也说它等于“在上的射影”乘以.那么，这里的射影究竟是指图28上的向量还是数量？从上面的公式来看，应该是一个数量，但是从射影的定义来看又应该是向量.这里用语有些混淆，而为了避免这种混淆，也有些书上称为“数量射影”.在我看来，虽然不必过分谨小慎微，新名词用多了常会适得其反.其实，坐标就是一个点亦即向量在坐标轴上的数量射影.至于读者们爱用哪个名词，全视习惯而定，最好与教材保持一致，避免给学生添乱，关键是教师对数量积的理解不能错.类似于此，向量的分量应该是一个向量还是数量？即在中，我们应该说还是为分量？我总是采用后一种说法；因为在我看来分量就是分向量，犹如分力仍然是力，分速度仍然是速度（它们都是向量）一样.所以说分量仍是向量比较前后一致.现代文献中采用这个说法的似乎较多.但是，特别当是单位向量时，说是分量的，也不少，更多的是说它为坐标.不过，有一点必须说明，即令是单位向量，也不能说是分向量的长度，因为长度一定是非负的，而坐标或数量射影则可正可非正.对于向量的数量积，符号表明是锐角或者钝角.对于例如轴上的两点，距离是，但坐标差可正也可以非正，表明哪一点在左，哪一点在右.对于几何量是否应该具有符号，我以为这是现在的教材的一大弱点.避免规定几何量的符号，可能本意不错，想减轻学生负担，但是丧失了重要的几何信息，反而会使得许多问题很含混.我以为这是得不偿失的事（现在连大学里也不谈这件事），很可能是上世纪50年代学习前苏联带来的.从初中学正负数，学生就明白符号的意义，到了高中反而糊涂了，这至少算不得“数形结合”！