非相对论时空是伽利 略时空，其特点是空间与时间的分离和不对称; 时间空间均匀,理想状态，线性，能量守恒；

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时间空间均匀,理想状态，线性，能量守恒；实际经常偏离;广义相对论告诉我们时间和空间像粒子和场一样，是由动力学决定的，一直在变化、 [音乐快递] - marketreflections(4533 bytes ) (1 reads)2010-05-26
• 陈平 参照系在力学中是惯性系，在热力学与量子力学中是真空，在微观中是市场出清（没有失业或存货），在金融中是无套利机会。 [音乐快递] - marketreflections(7279 bytes ) (0 reads)2010-05-26


非相对论时空是伽利
略时空，其特点是空间与时间的分离和不对称

1
第七章 相对论性量子力学
§7-1 微观粒子的相对论性动力学[1-3]
前面各章介绍的内容属于非相对论性量子力学, 本章则介绍相对论性量子力
学的基本内容。虽然二者都是量子论, 都研究微观粒子的量子运动的动力学规律,
即微观粒子在真空背景的量子涨落的影响下的动力学规律, 但是由于相对论深
刻地揭示了平稳真空的时空(尺钟)效应, 使得相对论性量子力学, 特别是相对论
性量子场论, 比非相对论性量子力学更深刻更充分地刻画了真空背景的平稳尺
钟效应和量子涨落效应二者对微观粒子运动的影响。
相对论：概括平稳真空的（尺钟）时空效应对粒子运动的影响（ E − P 色散关系）
量子论：概括涨落真空的量子涨落效应对粒子运动的影响（ X − P 对易关系）
相对论性量子场论：比较全面概括了真空背景的平稳尺钟效应和量子涨落效应二
者对粒子运动的影响。
A. 非相对论性量子力学的特点
1．时-空和E（p）-p 关系的不对称性
微观粒子的动力学是量子力学。 前面介绍的量子力学是建立在非相对论时
空和非相对论运动学的基础之上，称为非相对论量子力学。非相对论时空是伽利
略时空，其特点是空间与时间的分离和不对称，从伽利略变换可清楚看出。非相
对论运动学的特点是自由粒子的能量-动量关系：
m
E p p
2
( )
2
= ， (7-1)
表现出的E（p）-p 的不对称性（能量一次方与动量二次方相对应的不对称性）。
2．力学量算符恢复了对称性
非相对论量子力学揭示出量子论最基本的特点与规律，即基本力学量能量
E 与动量p r
与算符的对应关系：
t
i
∂
∂
Ε → h (7-2a)
→ − ∇
r
h
r p i (7-2b)
从上述基本力学与算符的对应关系可以看出：在经典力学水平上，非相对论时空
的不对称性造成的运动学上能量E 与动量p 之间的不对称性，在量子力学的运
动学(量子化)的层次上得到了恢复；上述（E，p）与( ,− ∇)
∂
∂ r
h ih
t
i 的对应表现出
时空与基本力学量之间的对称性。然而非相对论经典力学的E-p 关系(色散关系)
却破坏了这种对称性，使得它对应的量子动力学方程——薛定格方程
ψ ψ
ψ
)
2
ˆ ( 2
2
U
m
H
t
i = = − ∇ +
∂
∂ h
h (7-3)
是时间的一次、坐标的二次偏微分方程，不具有相对论协变性（时空对称性），
因而不是微观粒子的相对论性量子力学运动方程，只能是其非相对论极限。
2
B. 相对论性量子力学的特点
1．时空和E-p 关系的对称性
相对论量子力学的第一个特征是：时-空是对称的罗仑兹时空，相应的自由粒
子的运动学关系——能量与动量的关系也必然是对称的相对论协变的, 由此建
立的运动方程也应当是罗仑兹协变的。
2．相对论性量子理论的本质是粒子数可变的多粒子体系的理论
非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子的量子态的产生、消灭算符和二
次量子化表象，但它们描述的是粒子从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转
变，并没有真正涉及粒子的产生和消灭。按照非相对论性量子力学，可以以任意
精度把一个粒子定域在时间或空间一个点上，只要与其共轭的量满足测不准关
系，
Δt ≥ h ΔE , r pr
h
r Δ ≥ Δ (7-4)
在相对论的情形，这样做不可能保持粒子数不变的表象。一旦ΔE 超过粒子
的静止质量对应的能量，粒子在能量和动量上的不确定性必然导致粒子从真空中
产生；一个粒子在时空上的定域必然导致在它附近从真空中产生出众多的粒子
对，因而形成一个由粒子-反粒子组成的量子场。因此, 在相对论框架内，一个
粒子的量子理论由于真空量子涨落必须代之以众多粒子的量子场论。
因此，相对论性量子力学的第二个特点是：粒子在时空上的定域造成的能量、
动量的量子涨落必然导致粒子对在真空中的产生与湮没，一个粒子在时空上的定
域必然伴随着其附近众多粒子的量子场的形成。因此，相对论性量子力学在本质
上是量子场论。
§7-2 Klein-Gordon 方程［1-3］
A．薛定格方程的建立
薛定格方程是把非相对论性能量—动量关系算符化后得到的波动方程，
( )
2
2
V r
m
E = p + ， (7-5a)
t
i
∂
∂
Ε → h ， → − ∇
r
h
r p i (7-5b)
= − ∇ + Ψ
∂
∂Ψ
( ) ( )]
2
[ 2
2
i V r
t m
i
h r
h (7-5c)
因此，它是非相对论性的，时一空坐标是不对称的，但它保持能量、质量（几率）
守恒, 由它可得保持几率守恒的连续性方程
+ ∇ ⋅ = 0
∂
∂
j
t
ρ r r , (7-6a)
ρ =ψ ∗ (1)ψ (1) (7-6b)
( )
2
= − ψ ∗∇ψ −ψ∇ψ ∗
m
j ir h
(7-6c)
B．相对论性量子力学方程-Klein-Gordon 的建立
把自由粒子的相对论性能量—动量关系算符化得到相对论性协变的波动
方程
E2 = c2 p2 + m2c4 (7-7a)
3
( )2ψ [c2 ( i )2 m2c4 ]ψ
t
i = − ∇ +
∂
∂ r
h h (7-7b)
称为Klein-Gordon 方程。但是, 由它得到的几率守恒的连续性方程为：
+ ∇ ⋅ = 0
∂
∂
j
t
ρ r r (7-8a)
而 ( )
2 2
∗ ∗
∂
∂
−
∂
∂
= ψ ψ
ψ
ρ ψ
mc t t
ih , (7-8b)
= − (ψ ∗∇ψ −ψ∇ψ ∗ )
r h r r
m
j i (7-8c)
由于Klein-Gordon 方程是时间的二阶微分方程，初始条件( , ) 0 ψ x t 和
0
( , )
t t
x t
∂
∂ψ
的选取是独立的; 一般情况， ρ 会变成负的，这就是Klein-Gordon 方程的第一
困难：负几率问题。
Klein-Gordon 方程的第二个困难是负能量问题。把自由粒子的运动方程的
解h
r r
ψ (r,t) ~ e−iEt heik ⋅r 代入K-G 方程，得到
E2 = c2 p2 + m2c4
E = ± c2 p2 + m2c4 (7-9)
即K-G 方程可能有负能解（必须有负能解，数学上才是完备的）。
分析表明，上述两个困难都与K-G 方程是时间的二阶微分方程有关。因此，
K-G 方程不能作为单粒子的相对论性量子力学方程；寻找单粒子的相对论性量
子力学方程，必须消除造成K-G 方程的困难的原因，即必须把方程对时间的微
分线性化。有两条路可走。
1）作变换r t r t e imc t h 2 ψ ( , ) = Ψ( , ) − ，代入K-G 方程，考虑到
t
E i
t ∂
∂Ψ
≈
∂
∂ Ψ
h 2 动能
2
,
h h h 2 4 2 h /
2
2
2 2 ( , ) ( 2 )e imc t
t
m c mc i
t
r t E i
t
−
∂
∂Ψ
+ Ψ +
∂
∂Ψ
→
∂
∂
动能ψ , (7-10)
在非相对论情况，由于mc2 >> 动能E ，略去包含动能系数的项，就得时间一阶的
(r ,t) r Ψ 的波动方程，正好是薛定格方程。显然，这并没有解决问题，只是回到了
非相对论性的结果。
2）大胆采取新颖的数学工具把K-G 方程严格线性化（而不做非相对论近
似），这就是Dirac 所走的创新路线。
§7-3 自由粒子的Dirac 方程［1-3］
A. 线性化
寻找自洽而合理的自由粒子的相对论性量子力学方程，归结为把时间的二阶
的K-G 方程线性化为时间的一阶的偏微分方程，而且要保证：1）几率正定ρ ≥
0；2）方程具有罗仑兹协变性。
K-G 方程的线性化归结为相对性能量
E2 = c2 p2 + m2c4 (7-11a)
或其对应的算子
( )2 c2 ( i 2 ) m2c4
t
i − − ∇ −
∂
∂ r
h h (7-11b)
4
的线性化。这是通常的运算不能完成的，必须引进新的算子。设
E = cα ⋅ p + mc2β r r 或 Hˆ = cα ⋅ pˆ + mc2β r r , { } i
α α = r (7-12)
对上式平方
= ⋅ + + Σ + i i i E2 c2 (α p)2 m2c4β 2 c3m (βα α β ) p r r
i
i
i j i i
i
ij
i j j i = c Σ( + )p p + m c + c mΣ( + )p
2
2 1 α α α α 2 4β 2 3 βα α β
i
i
i i Hˆ 2 = c2 (α ⋅ pˆ )2 +m2c4β 2 + c3mΣ(βα +α β )pˆ r r
i
i
i j i
ij
i j j i c p p m c c m p i ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ
2
= 2 1 Σ α α +α α + 2 4β 2 + 3 Σ βα +α β
若α ,β i 满足下列关系
i j j i ij α α +α α = 2δ , βα +α β = 0 i i , (7-13a)
β 2 = 1 (7-13b)
则
E2 = c2 p2 + m2c4 , Hˆ 2 = c2 pˆ 2 + m2c4 r ,
K-G 方程就线性化为Dirac 方程
ψ α β ψ
ψ
Hˆ (c pˆ mc2 )
t
i = = ⋅ +
∂
∂ r r
h (7-14)
在ˆ ,α ,β i H 为厄米的条件下得连续性方程
α + = α , β + = β ， + ∇ ⋅ = 0
∂
∂
+ = → j
t
H H
ρ r r (7-15a)
ρ =ψ +ψ (7-15b)
ψ αψ r s
j = +c (7-15c)
即几率守恒要求ˆ ,α ,β i H 为厄米算子。
j r
的表达式表明α r c 具有速度算子的性质。事实上，由于
[ pˆ,Hˆ ] = 0
知pˆr
守恒。由速度算子满足的海森堡方程,
i i
i x H c
dt i
dx ˆ = 1 [ ˆ , ˆ ] = α
h
)
ˆ
(
m
p≠ i (7-16)
证明α r c 是速度算子。（注意：pˆr
作用于外部空间，α ,β i 为矩阵，作用于内部自
由度空间）。
B.α ,β i 的表示
考虑α ,β i 的矩阵表示。一般, 设α ,β i 为N×N 矩阵。由(7-13a)
βα α β i i = − (7-17a)
有
i i det(βα ) = det β detα
det( α β ) ( 1) detα det β i
N
i = − = −
(−1)N = 1 (7-17b)
故N 必为偶数。下面从低阶到高阶逐级考虑。
5
1) N=2：2×2 矩阵只有4 个独立的基，可选为x y z, I σ ,σ ,σ ，任何2×2 矩阵均
可表示为它们的线性组合。显然
i j j i ij σ σ +σ σ = 2δ (7-18a)
但是, I 与i
σ 对易,
I − I = 0 i i σ σ (7-18b)
故
β ≠ I (7-18c)
因此, α ,β i 不可能为2×2 矩阵，至少应为4×4 矩阵。
2）N=4：其表示有多种，其间差一个幺正变换。现取Pauli-Dirac 表示
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
I
I
0
0
β , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0
0
σ
σ
α r
r
r , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0 1
1 0
I (7-19a)
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
1 0
0 1
1 σ , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0
0
2 i
i
σ , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0 1
1 0
3 σ (7-19b)
易证
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
+
+ =
i j j i
i j j i
i j j i σ σ σ σ
σ σ σ σ
α α α α
0
0
=2 ij I ij
I
δ 2δ
0
0
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
βα +α β = 0 i i . (7-20)
令
k k γ = −iβα , γ = β 4 (7-21)
得
μ ν ν μ μν γ γ +γ γ = 2δ , μ μ γ + = γ (μ = 1,2,3,4) (7-22)
Dirac 方程化为（ c = 1, h = 1），
( + ) = 0
∂
∂
γ ψ
μ
μ m
x
(7-23)
因μ γ 为4×4 矩阵，ψ 必为4 分量列矢量-旋量：
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
4
3
2
1
( )
u
u
u
u
ψ x (7-24)
C．罗仑兹协变性
在罗仑兹变换下ψ (x) 的函数形式和变量均发生变化，
ψ (x) →ψ '(x') = Λψ (x) , ψ (x) = Λ−1ψ '(x') (7-25)
其中ψ ' 对ψ 而言表示旋量函数形式(分量)的变化, 由4×4 矩阵Λ 来实现。' ν x 对
ν x 而言表示坐标变换, 由罗仑兹坐标变换来实现，
ν ν νμ μ x → x '= a x ,
' '
'
ν
νμ
μ ν
ν
μ x
a
x x
x
x ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ (7-26)
6
二者一起造成方程形式的变换为
) '( ') 0
'
( + Λ 1 =
∂
∂ m − x
x
γ a ψ
ν
μ νμ ,
) '( ') 0
'
( 1 + =
∂
∂
Λ Λ− m x
x
γ a ψ
ν
μ νμ (7-27)
若μ γ -矩阵满足罗仑兹矢量变换规则,
μ λμ λ Λγ Λ−1 = a γ , (7-28)
由正交性条件 λμ νμ λν a a = δ ，得到在新的罗仑兹坐标系中的Dirac 方程
) '( ') 0
'
( + =
∂
∂ m x
x
γ ψ
ν
ν (7-29)
与原来坐标系中的方程(7-23)比较可知: 变换后的旋量波函数ψ ' (x' ) 在新的罗仑
兹坐标系中服从同一形式的Dirac 方程，这叫做Dirac 方程对罗仑兹变换协变。
μ γ 的变换性质和Λ 的形式：现在由μ γ 的变换性质来计算Λ 的具体形式。
1） 空间反射的Λ : 由
μ μ μ δ δ 4 4 4 a = − , a = a = ij ij ， i i x '= x , x '= −x 4 4
i i i γ a γ γ μ μ Λ Λ− = = −
,
1 ， 4 4
1
4 γ γ γ μ μ Λ Λ− = a = (7-30a)
求得：
4
1
4 Λ = −iγ , Λ− = iγ (7-30b)
2） 时间反演的Λ ： 由
μ μ μ δ δ 4 4 4 a = , a = a = − ij ij ， i i x '= −x , x '= x 4 4
i i i γ a γ γ μ μ Λ Λ− = =
,
1 ， 4 4
1
4 γ γ γ μ μ Λ Λ− = a = − (7-31a)
求得：
3 2 1
1
1 2 3 Λ = γ γ γ , Λ− = γ γ γ (7-32)
3) 真罗伦兹变换的Λ
真罗伦兹变换要求坐标变换行列式为正一: det( ) = +1 μν a 。真罗兹变换下
的Λ 的具体形式可以从λ γ 的变换性质得到。先考虑无穷小坐标变换：
μν μν μν μν νμ a = δ + ε ,ε = −ε (7-33)
设相应的无穷小Λ 变换为
μν μν ε σ
4
Λ = I + i ， μν μν ε σ
4
Λ−1 = I − i ， (7-34a)
= − − = + μν μ ν ν μ μν σ (γ γ γ γ ) σ
2
i (7-34b)
易证：
[ , ] [ , ] { , } { , } 2( ) μν λ μ ν λ μ ν λ μ λ ν μ νλ ν μλ i σ γ = γ γ γ = γ γ γ − γ γ γ = γ δ −γ δ ，
( )
2
[ , ] 1
4
1
λ λ μν μν λ λ μν μ νλ ν μλ Λγ Λ− = γ + i ε σ γ = γ + ε γ δ −γ δ
μλ μλ μ μλ λ = (δ + ε )γ = a γ (7-35)
即λ γ 和Λ 满足其变换性质(7-28), (7-34a,b)的确是所需要的无穷小Λ 变换。有限
7
的Λ 变换可以从对无穷小Λ 变换积分得到。
D．从角动量守恒导出Dirac 粒子内禀自旋为1/2
可以证明，Dirac 方程必须引进粒子的内禀自旋为1/2，才能满足角动量守
恒的要求。
由于
[l ,Hˆ ] = i c × p ≠ 0 r r
h
r
α
所以
= 1 [l ,Hˆ ] = c × p ≠ 0
dt i
dl r r r
h
r
α (7-36)
轨道角动量l
r
不守恒；但若假设粒子具有内禀自旋σ
2
s = 1 r
，则总角动量j
r
守恆，
j l sr r r
= +
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
=
2
0
0
2
σ
σ
r
r
rs
(7-37)
因为
s H c pr r r [ , ˆ ] = − α ×
由 (7-36) 和 (7-37) 可知
0 ] ˆ , [ = H j
r
, (7-38)
即总角动量j
r
守恆。由于
4
( !) , ( 1) 3
4
3
0
0
4
3
0
0
4
ˆ 1
2
2
2 = + → + = = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= I S S I S S
I
I
S
σ
σ
(7-39)
所以
2
S = 1
即角动量守恒要求Dirac 方程描述的粒子具有内禀自旋s =1/2。
E．中微子的运动方程
若中微子质量为零，当m=0 时，Dirac 方程不出现β项，因此， i
α 有2×2
表示，可以用i
σ 来实现：
i i α = −σ , ( ) i j j i ij σ σ +σ σ = 2δ (7-40)
这时，Dirac 方程变为二分量的方程
σ ψ ψ
ψ c p H
t
i = ⋅ = ˆ
∂
∂ r r
h (7-41a)
H c pr r ˆ = − σ ⋅ (7-41b)
显然， [ pˆ,Hˆ ] = 0
0 ] ˆ , [ = ⋅ H p r
rσ
, [ pˆ , ⋅ p] = 0 r rσ
(7-42)
故动量p r
和螺旋性( p) / p r r σ ⋅ 为互易的守恒量，它们的共同本征函数为ν ψ p ，满足
8
pˆ (r) p (r) pν pν ψ ψ v = r (7-43a)
ν ν ψ νψ
σ
p p r
p
p =
⋅
( )
r r
(7-43b)
若选自旋沿p r
的投影即螺旋性算子的形式为z σ ⋅ p p = σ = σ || ( ) / r r
，
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= =
⋅
0 1
1 0
|| σ
σ
p
p r
r
(7-43c)
则ν = ±1， ν ψ p 的显式为
h
r r
r
r ip r
p r e ⋅
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0
1
ψ ( )
h
r r
r
r ip r
p r e ⋅
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
1
0
ψ ( ) (7-44)
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
0
1
1
0
1
|| σ , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
1
0
1
1
0
|| σ (7-45)
p+ ψ 表示自旋沿p r
的投影为+1/2（螺旋性为+1）的状态，描述右旋反中微子； p− ψ
表示自旋沿p r
的投影为−1 2 （螺旋性为−1）的状态，描述左旋反中微子。
在空间反射变换下
P P
r r
Πˆ Πˆ = − , σ σr r Πˆ Πˆ = ,
σ σr r r Πˆ Pˆ ⋅ Πˆ = −P ⋅
Πˆ Hˆ Πˆ = −Hˆ (7-46)
哈密顿量发生变化, 系统的宇称不守恒。中微子虽然螺旋性守恒，但宇称不守恒，
即螺旋性守恒与宇称守恒是不相容的；因此，中微子参与的过程（弱作用过程）
宇称不守恒, 与中微子螺旋性守恒有关。
实验已证实中微子质量不为零但很小，因此中微子应用四分量的Dirac 方程
来描述。
F．Dirac 方程的自由平面波解
自由Dirac 粒子的Hˆ 为
Hˆ = cα ⋅ p + mc2β r r (7-47)
0 1
0
σ τ
σ
σ
α ⊗ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= r
r
r
r (7-48a)
0 3
0
τ β ⊗ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
= I
I
I
(7-48b)
此处引进新的算子i
τ（对应于粒子-反粒子自由度）
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
=
1 0
0 1
1 τ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
0
0
2 i
i
τ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0 1
1 0
3 τ (7-49)
把μ γ -矩阵分裂为自旋空间算子( I i σ , )和粒子-反粒子空间算子( I i τ , )后, 哈密顿
量
3
2
1
Hˆ = cp ⋅σ ⊗τ + mc I ⊗τ r r (7-50)
9
具有明显的(2) (2) τ su su s ⊗ 动力学对称群。上述两个su(2) 代数的直积的约定是:
把自旋空间的算子( I i σ , ) 放在粒子-反粒子空间的算子( I i τ , ) 的矩阵元中。
上述系统在普通空间和自旋空间的守恒量为：
p : .........................[ pˆ,Hˆ ] = 0 r r (7-51a)
: ..........[ , ˆ ] 0 || || =
⋅
= H
p
p σ
σ
σ
r r
(7-51b)
设
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0 1
1 0
|| σ (7-52)
则{ ˆ, } || σ p r
的共同本征函数可计算如下：
(r ) eip r x (s)
pν ν ψ h
r r
r
r = ⋅ (ν = ±1) (7-53)
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= + 0
1
x , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= − 1
0
x (7-54)
ν ν ψ ψ p p p r p r
r r ˆ = (7-55a)
ν ν σ ψ νψ p pr = r 11 , ν = ±1 (7-55b)
Hˆ
还有粒子-反粒子τ-空间的自由度和相应的守恒量。因此, 总的本征函数
应包括rr -空间量子数p r
， s -空间量子数ν 和τ -空间量子数α 。故总的波函数为
ψ ( , ,τ ) ( )~ (τ ) να ν α r s eip r x s v
p
h
r r
r
r = ⋅ (7-56)
代入Dirac 方程,
τ α α α Hˆ v~ = E v~ (7-58a)
得τ-空间的哈密顿量：
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⋅ −
⋅
= =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
⋅ −
⋅
= + =
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
~
ˆ
3
2
2
3
2
1
θ θ
ν
θ
ν
θ
τ
ν
ν
ν τ τ τ
E E
cp mc
mc cp
H cp mc
(7-58b)
其中
E = c2 p2 + m2c4 , 2 2 2
3
2
3
~ νθτ νθτ
τ τ
i i
e e− +
= (7-59a)
E
mc2
cosθ = ,
E
sinθ = cp (7-59b)
现求τ Hˆ 的本征态。先求3 τ 的本征态α v 。 因 ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
=
0 1
1 0
3 τ , 故其本征态α v 为,
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛ = + 0
1
v , ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= − 1
0
v (7-60a)
α α τ v =αv 3 (α = ±1) (7-60b)
通过幺正变换可求得3
~τ
的本征解α v~ ：由(7-60b)可得,
10
α
ντ
θ
α
ντ
θ
ντ
θ
ντ
θ
e τ e e v αe v i 2 i 2 2 i 2 2 i 2 2
3
2 ⋅ =
−
α α τ~ v~ αv~
3 = , (α = ±1) (7-61a)
其中
α
ντ
θ
α v e v ~ = i 2 2
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
+
+
+ −
=
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+ ⋅
− ⋅
=
−
1
1
2
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
2
2 2
2 2
E mc
cp
E mc
cp
E
E mc
e i
ν
ν
θ θ
ν
θ
ν
θ
ντ
θ
(7-61b)
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
+
+
= +
2
2 1
2
~
E mc
cp
E
mc E v ν , ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
+
+ −
= −
2 1
~ 2
2
E mc
cp
E
v E mc
ν
(7-61c)
在(7-61c)中, 小分量与大分量之比≈
c
V ( p = mV )
易证
τ α α Hˆ v~ =αEv~ (α = ±1) (7-62a)
即
+ + Hˆ v~ = Ev~ τ , − − Hˆ v~ = −Ev~ τ (7-62b)
正能态（α = +1）的解为
ψ ( )~ (τ ) ν ν +
− + ⋅
+ = e iEt ip r x s v
p
h
r r
h
r (7-63)
按照算子直积规则，应把自旋波函数放到正反粒子波函数的列矢元素上, 因而有
h
r r
h
r iEt ip r
p e
E mc
cp
E
E mc − + ⋅
++
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
+
=
0
0
1
2 2
2
ψ (7-64a)
描述右旋电子，
h
r r
h
r iEt ip r
p e
E mc
E cp
E mc − + ⋅
−+
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
2
2
0
1
0
2
ψ (7-64b)
描述左旋电子。
负能态(α = −1)解为
11
ψ ( )~ (τ ) ν ν −
+ ⋅
− = eiEt ip r x s v
p
h
r r
h
r (7-65)
h
r r
h
r iEt ip r
p e
E m
cp
E
E mc + ⋅
+−
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
0
1
0
2
2
2
ψ (7-66a)
描述右旋正电子，
h
r r
h
r iEt ip r
p E mc e
cp
E
E mc + ⋅
−−
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+ +
=
1
0
0
2
2
2
ψ (7-66b)
描述左旋正电子。负能量的来源是τ-空间的自由度3
~τ
的量子数为-1，因而对应
于反粒子，而 τ Hˆ 在τ-空间有一个转动，把τ空间的两个态混合起来了； 因此，
物理的正反粒子是τ-空间正反粒子态的组合，这是粒子的静质量不为零的必然
结果。Dirac 方程的正能解的3
~τ
的量子数为+1，描述粒子（电子）；而负能解3
~τ
的
量子数为-1，描述反粒子（正电子）。因此，Dirac 方程预言了正电子(反粒子)的
存在。
上述对自由粒子Dirac 方程的处理的基本观点是: γ -矩阵对应的内部自由
度, 是自旋自由度( i I σ σ , )和正-反粒子自由度( i I τ τ , )在真空背景中按特定方式
相干组合的结果, 当存在相互作用时, γ -矩阵对应的内部自由度就分解成自旋
自由度( i I σ σ , )和正-反粒子自由度( i I τ τ , ), 或进入γ -矩阵的非线性的
Clifford 代数(Dirac 环)的领域。因此, 这种分解所必然引进的正-反粒子自由
度( i I τ τ , )对描述基本粒子的相互作用是必须的。引进正-反粒子自由度有以下
结果: 对自由Dirac 粒子, 平面波解有5 个量子数而不是通常的四个量子数, 负
能量来自正-反粒子量子数1 3 τ = − 。这一观点和相应的处理方式可以推广到中心
力场的情况，Dirac 方程会出现由空间自由度、自旋自由度和正-反粒子自由度
构成的超对称性。
§7-4 电磁场中电子的Dirac 方程［1-3］
A．电磁场中电子的Dirac 方程
自由电子的Dirac 方程为
ψ Hψ
t
i =
∂
∂
h (7-67a)
H = cα ⋅ p + mc2β = −i cα ⋅ ∇ + mc2β
r r
h
r r (7-67b)
电子（电荷为-e）在电磁势（ φ , A
r
）中的Dirac 方程，可在方程（7-67）中做如
下替换(把普通微商替换为U（1）规范协变微商)而得出：
⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ∇ → ⎛ − ∇ + A
c
i i e
r r
h
r
h
⎟⎠
⎞
⎜⎝
= ⎛ + A
c
P e
r r
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= − ∇
r
h
r
i P ˆ (7-68a)
12
( φ ) ( eφ )
t
i
t
i
c
e
ct
i
ct
i +
∂
∂
→
∂
∂
+ →
∂
∂
→
∂
∂
h h h h (7-68b)
这时, 电磁场（ φ , A
r
）中电子的Dirac 方程变为
+ − ⋅
∂
∂
φ αr
h e c
t
i [ 0 ] 2 = − ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ + A mc β ψ
c
P e
r r
(7-69)
或表示成
ψ Hψ
t
i =
∂
∂
h (7-70a)
α ( ˆ A) eφ mc2β
c
H = c ⋅ P + e − +
r r r (7-70b)
若（ φ , A
r
）与时间t 无关，则ψ 的定态解为
ψ (r,t) =ψ (r) exp[−iE t h] (7-71)
四分量旋量波函数(r ) r ψ 满足定态Dirac 方程
( ) [ ( ˆ A) e mc2 ] (r) E (r)
c
Hψ r = cα ⋅ P + e − φ + β ψ = ψ
r r r (7-72)
B．非相对论极限与电子磁矩
把(r ) r ψ 写成大小分量的形式, 并取出与电子静止质量相应的能量所对应
的高频因子,
] exp[ 2 h t imc − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
χ
ϕ
ψ (7-73)
其目的是把与电子静质量相应的能量剔除，剩下动能以便于讨论非相对论极限。
把式（7-73）代入方程（7-70a），得到大小分量的耦合方程,
ϕ σ A χ eφϕ
c
c P e
t
i = ⋅ + −
∂
∂
( )
r r r
h (7-74a)
χ σ ( A)ϕ eφχ 2mc2χ
c
c P e
t
i = ⋅ + − −
∂
∂ r r r
h (7-74b)
(7-74b)式中, χ
t
i
∂
∂
h 正比于动能乘以χ , 它和 eφχ 一样, 比起 2mc2χ 是高
阶小量, 在非相对论极限下，可以略去, 因而可得
χ σ ( ˆ )ϕ
2
1 A
c
P e
mc
r r r ≈ ⋅ + (7-75)
χ 为小分量（因χ /φ = v / c 程,
ϕ σ A ϕ eφϕ
c
P e
t m
i = ⋅ + −
∂
∂ [ ( ˆ )]2
2
1 r r r
h (7-76)
利用恒等式
[ ( ˆ A)]2
c
P e
r r r σ ⋅ + ( ˆ ) i j i i A
c
= σ σ P + e ( ˆ ) j j A
c
P + e ( ˆ A)2
c
P e
r r
= +
ijk k + iε σ ( ˆ ) i i A
c
P + e ( ˆ ) j j A
c
P + e ( ˆ A)2
c
P e
r r
= +
ijk k + iε σ
c
e ( ˆ ) i j P A ijk k + iε σ
c
e ( ˆ ˆ ) j i i j A P + A P
13
( ˆ A)2
c
P e
r r
= + ( A)
c
eh r r r + σ ⋅ ∇ × ( ˆ A)2
c
P e
r r
= + B
c
eh r r + σ ⋅ (7-77)
(上式推导中用到反对称张量ijk ε 与二阶对称张量的收缩为零), 方程（7-76）可
化为
ϕ σ φ ]ϕ
2
( ˆ )
2
[ 1 2 B e
mc
A e
c
P e
t m
i = + + ⋅ −
∂
∂ v r h r r
h (7-78)
(7-78)右边第二项为B
r r − μ ⋅ ，其中
s
mc
e
mc
r eh r r μ = − σ = −
2
(7-79)
表示电子内禀磁矩， B
r r − μ ⋅ 表示电子内禀磁矩与外磁场B 的相互作用能。电子
内禀磁矩的值为一个Bohr 磁子
mc
e
B 2
h μ = (7-80)
这是Dirac 方程得出的一个重要结论: 电子内禀磁矩的值等于Bohr 磁子。然而,
电子磁矩的观测值为
B μ = 1.00116μ
所以，Dirac的相对论波动方程一方面能够对观测到的电子磁矩给予较满意的说
明，但另一方面观测值与Bohr磁子还有微小差异（~10P
-3
P），这一差异称为电子的
反常磁矩。作为单电子理论的Dirac方程对此无法解释, 只有量子电动力学才对
电子的反常磁矩作出了满意的解释。
C．中心力场下的非相对论极限: 自旋轨道耦合力
考虑电子在中心力场中的运动，例如电子在原子核的Coulomb 吸引势场
) (r φ 中的运动，此时0 = A
r
，中心力场标量势为
V (r) = −eφ (r) (7-81)
定态Dirac 方程（7-72）可表示为
[cαr ⋅ pr + mc2β +V(r)]ψ = Eψ ( = − ∇)
r
h
r p i (7-82)
为便于过渡到非相对论情况，把静能量分出来, 令
E = E′ + mc2 (7-83)
（在非相对性论近似下， E′ = E − mc2 ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
χ
ϕ
ψ (7-84)
采用Pauli-Dirac 表象，式（7-82）化为大小分量的耦合方程,
c(σ ⋅ p)χ = (E′ −V (r))ϕ r r (7-85a)
c(σ ⋅ p)ϕ = (2mc2 + E′ −V(r))χ r r (7-85b)
由式（7-85a）可得
ϕ σ ϕ
σ
χ p
mc
E V
mc E V mc
c p r r
r r
⋅
′ −
= +
+ ′ −
⋅
= −1
2 2 )
2
(1
2
1
2 ( )
在非相对论极限下, 取上式按
2 2
'
mc
E −V
展开的最低次项得到,
χ σ pϕ
mc
E V
mc
r r ⋅
′ −
≈ − )
2
(1
2
1
2 (7-86)
14
代入式（7-85a），得到大分量波函数ϕ 满足的方程
σ )σ ϕ ( )ϕ
2
(1
2
1
2 p E V
mc
p E V
m
⋅ = ′ −
′ −
⋅ − r r r r (7-87a)
化简后，得
(σ ) ( )(σ )]ϕ ( )ϕ
4
1
2 4
[ 1 2 2 2 2
2
2 p V r p E V
m c
E
m c
p p
m
− ′ + ⋅ ⋅ = ′ − r r r r (7-87b)
再利用恒等式,
V ⋅ p = ⋅ p V + i ⋅ ∇V
r r
h
r r r r (σ ) (σ ) σ
( ⋅ p)V (r)( ⋅ p) = ( ⋅ p)2V + i ( ⋅ p)( ⋅ ∇V )
r r r r
h
r r r r r r σ σ σ σ σ
= p2V + i {p ⋅ (∇V ) + i ⋅[ p × ∇V (r)]}
r r r r r
h σ
p2V i {p ( V ) i [ i ( )V (r) V p]} r r r r
h
r r r
= + h ⋅ ∇ + σ ⋅ − ∇ × ∇ − ∇ ×
2 {( ) 2 [1 (r p)]}
dr
dV
r
p V i V p i V i r r r
h
r r
= + h ∇ ⋅ − ∇ − σ ⋅ ×
2 2 ( 2 ) 1 ( l )
dr
dV
r
V
dr r
p V dV
r r
h + ∇ + h ⋅
∂
∂
= + σ (7-88)
(7-88) 式的推导中用到
dr r
i dV
r
r
dr
V p i dV
∂
∂
= −
⋅ ∇
∇ ⋅ = − h
r r
h
r r
( ) 。把(7-88) 代入
（7-87），得
[1 ] 0
4
( ) 1
4
) 1
2
( 2 2 2
2 2
2
2 2
2
=
∂
∂
+ − ′ ϕ + − ′ ϕ + σ ⋅ + ∇ + ϕ
dr r
l V dV
dr
dV
m c r
p V E
m c
V E
m
p
h h
r r
h
(7-89)
上式左边第二项与第三项均系相对论修正项。利用式（7-86），略去高级修正项，
可得ϕ 2ϕ
2
( ' ) ~ 1 p
m
E −V ，于是式（7-89）左边第二项化为4ϕ
8 3 2
1 p
m c
，可改写
ϕ E ϕ
dr r
V dV
m c
s l
dr
dV
m c m c r
V p
m
p = ′
∂
∂
+ − + ⋅ + (∇ + )}
4
1
2
1
2 8
{ 2
2 2
2
3 2 2 2
2 4 r r h (7-90)
左边第三项3 2
4
8m c
− p 为动能的相对论修正，第四项为自旋-轨道耦合项（Thomas
项），可记为r s l
r r ξ ( ) ⋅ ，而
dr
dV
m c r
r 1
2
( ) 1 2 2 ξ = (7-91)
式（7-90）左边最后两项无经典含义。还应指出，最后一项不是厄密算符。问题
出在：把Dirac 波函数的大分量直接当成非相对论近似下的二分量波函数，导致
了几率不守恆和随之而来的Hˆ 的非厄米性。挽救的办法是在取非相对论极限时
要保证总几率守恒（波函数归一化保持不变），即要求几率守恒的波函数Ψ 满足
(Ψ, Ψ) = (ψ ,ψ ) = (ϕ ,ϕ ) + (χ ,χ ) (7-92)
在准确到O(v2 / c2 ) 下，由(7-86)得
)
4
) ) ( ,
2
( , ) ( ,( 2 2
2
2ϕ ϕ ϕ
σ
χ χ ϕ
m c
p
mc
p =
⋅
≈
r r
所以
) ) ( , )
4
( , ) ( ,(1 2 2
2
ψ ψ = ϕ + ϕ = Ψ Ψ
m c
p (7-93)
15
因而
)ϕ
8
1 ( 2 2
2
m c
Ψ ≈ + p 或 ≈ − )Ψ
8
1 ( 2 2
2
m c
ϕ p (7-94)
把(7-94) 代入（7-90），略去O(v4 / c4 ) 项，得出Ψ 满足的方程
2
3 2 2 2
2 4
8
) ( )
16
1
8
(1
2
{ p
m c
E V
m c
V p
m
p ′ −
+ − + +
Ψ = ′Ψ
∂
∂
+ ⋅ + ∇ + E
dr r
V dV
m c
l
dr
dV
m c r
( )}
4
1
4
2
2 2
2
2 2
h r r h σ (7-95)
利用
[V, p2 ] [V, p] p p [V, p] r r r r r = ⋅ + ⋅
dr r
i V p i p V V dV
∂
∂
= ∇ ⋅ + ⋅ ∇ = h 2∇2 + 2h 2
r r
h
r r
h
即
dr r
Vp p V V dV
∂
∂
2 = 2 + h 2∇2 + 2h (7-96)
代入式（7-95），并利用
m
E V p
2
'
2
− ≈ 和
′ − Ψ ≈ Ψ 3 2
4
2 2
2
16
( )
8 m c
E V p
m c
p
则（7-95）化为
+ − + ⋅ + ∇ V Ψ = E′Ψ
m c
s l
dr
dV
m c m c r
V p
m
p }
8
1
2
1
2 8
{ 2
2 2
2
3 2 2 2
2 4 r r h
(7-97)
这就是在中心力场V (r) 中运动的粒子的Dirac 方程的非相对论极限, 其左边的哈
密顿量算是厄密的。左边圆括号{…}内的后三项为最低级的相对论修正项
[O(v2 / c2 ) 项]，它们将导致能级的精细结构。
对于类氢原子，V(r) = −Ze2 / r ，所以
2 2 3
2
2 2 2
1
2
( ) 1
m c r
Ze
dr
dV
m c r
ξ r = = (7-98)
( )
2
1
8 8 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
r
m c
Z e
m c r
V Z e
m c
δ
h h π h ∇ =
−
∇ = (7-99)
后一项（Darwin 项）亦称为接触势（contact potential）。它只对s 态（ l = 0 ）有
影响。与此相反，自旋轨道耦合势r s l
r r ξ ( ) ⋅ ，只对l ≠ 0 的态有影响。
D．中心力场中电子运动的守恒量
1. 非相对论情况
在非相对论情况下，在中心力场V (r) 中运动的粒子，Hamilton 量为
( )
2
1 ( )
2
( )
2
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
V r
mr
l
r
r
m r r
V r
m
H + +
∂
∂
∂
∂
= − ∇ + = −
r
h h (7-100)
容易证明
[l ,Hˆ ] = 0
r
(7-101)
16
即轨道角动量l
r
为守恒量，因而l 2
r
也是守恒量。所以常常选{ ˆ , 2 , }
z H l l
r
为守恒量
完全集，它们的共同本征态记为nlm ψ 。
对于电子，还需考虑自旋轨道耦合作用
dr
dV
m c r
r s l r 1
2
( ) , ( ) 1 2 2 ξ ⋅ ξ = 。此时，
轨道角动量l
r
与自旋sr
分别不再是守恒量，但总角动量j l sr r r
= + 是守恒量，因为
0 ] ˆ , [ = H j
r
[ j, s ⋅ l ] = 0
r r r
(7-102)
还可以证明
[l 2 , s ⋅ l ] = 0
r r r
(7-103)
即l 2
r
仍是守恒量，所以习惯选{ ˆ , 2 , 2 , }
z H l j j
r r
为守恒量完全集，相应的本征函数
记为
nljmj ψ 。对于给定的（ j ）, 可以取l = j ± 1/ 2 ，而m j j j j = , − 1,.... − ，能级
为（ 2 j + 1）重简并。我们还注意到，在非相对论情况下，体系的宇称π = (−)l ,
由角动量量子数l 的奇偶性完全确定。因此也可以选{ ˆ , 2 , , Π} z H j j
r
为守恒量完全
集， Π 为空间反射算符，其本征值为π = ±1。
2. 相对论情况
考虑电子在Coulomb 势φ (r) 中运动，令V (r) = −eφ (r) ， 则Hamilton 量可表
示为
Hˆ = cα ⋅ p + mc2β +V (r) r r
(7-104)
与自由电子情况相似，可证明
[l ,Hˆ ] = i c × p ≠ 0 r r
h
r
α (7-105)
即l
r
不是守恒量。但
= + Σ
r r h r
2
l j ， ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
Σ =
σ
σ
r
r
r
0
0
(7-106)
是守恒量。与非相对论情况不同之处是：l 2
r
不再守恒，因为
l H c l p cl l p c l p l
r r r r r r r r r r r r
[ 2 , ˆ ] = [ 2 ,α ⋅ ] = ⋅[ , (α ⋅ )] + [ , (α ⋅ )] ⋅
= i c{l ⋅ ( × p) + ( × p) ⋅ l } ≠ 0
r r r r r r
h α α (7-107)
另外，由于(7-106)平方可得
2 2 2
4
3
h
r r r r
hΣ ⋅ l = j − l − (7-108)
l
r r
Σ ⋅ 也不再是守恒量，但可以证明
ˆ ( h)
r r
hK = β Σ ⋅ l + (7-109)
是守恒量, 即
[Kˆ ,Hˆ ] = 0 (7-110)
还可以证明
[Kˆ , j ] = 0
r
(7-111)
因此，代替非相对论情况下的守恒量完全集{ ˆ , 2 , 2 , }
z H l j j
r r
，相对论情况下的守恒
量完全集可以取为{ ˆ , ˆ , 2 , }
z H K j j
r
。
Kˆh
的
本
征
值
可
如
下
求
出
：
利
用
[
β ,
Σ] =
0,β
2
=
1
r
，可得
2 ˆ 2 ( )2 2 h 2
r r
h
r r
h K = Σ ⋅ l + Σ ⋅ l +
17
但
l l i l l l l
r r
h
r r r r r r r
(Σ ⋅ )2 = 2 + Σ ⋅ ( × ) = 2 − Σ ⋅
所以
2 2 2 2 2 2
4
ˆ 1 h
r
h
r r
h
r
h K = l + Σ ⋅ l + = j + (7-112)
可以看出，虽然l 2
r
与l
r r
Σ ⋅ 分别不再为守恒量，但它们的线性组合(hKˆ )2 却是守恒
量（因2 j
r
守恒），把2 j
r
的本征值代入式（7-112），可求出(hKˆ )2 的本征值为
2 )2 2
2
] ( 1
4
[ j( j +1) + 1 h = j + h (7-113)
所以Kˆ 的本征值为
) 1, 2, 3,
2
± ( j + 1 = ± ± ± … (7-114)
对给定的j , Kˆ 可以取两个值。(hKˆ )2 的角色与非相对论情形下的l 2 相当。
Kˆ
的物理意义: Kˆ 是直角坐标系中的螺旋性算子在球坐标系中的类
比: Hˆ 2 = m2c4 − (ch)2 ∇2 在直角坐标系中线性化, 导致螺旋性算子-代表自旋沿
动量的投影; (Hˆ −V )2 = m2c4 − (ch)2 ∇2 s ( s V 是中心力标量势)在球坐标系中线
性化, 导致Kˆ 算子-代表自旋沿轨道角动量的投影。
E． ( ˆ , 2 , )
z K j j
r
的共同本征态
现构造( 2 , )
z j j 的共同本征态
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
+ +
+
=
+1
1
2 1
1
lm
A lm
jm l m Y
l m Y
j l
φ l = j −1 2 (7-115)
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
+ + +
− + −
+
=
+ +
+
1 1
1
1 1
1
2 3
1
l m
B l m
jm l m Y
l m Y
j l
φ l +1 = j +1 2 (7-116)
( 2 , )
z j j
r
的本征值为j( j + 1)h2 和m = (m + 1/ 2)h j 。φ A 与φ B 都有确定的宇称，但
前者的宇称为π = (−)l = (−) j−1/ 2 ，后者的宇称为π = (−)l+1 = (−) j+1/ 2 。利用
2 2 2
4
3
h
r r r r
hσ ⋅ l = j − l − (7-117)
容易得出
A
jm
A
jm j j σ lφ j hφ
r r )
2
⋅ = ( − 1
B
jm
B
jm j j σ lφ j hφ
r r )
2
⋅ = −( + 3 (7-118)
即φ A 与φ B 均为l
r r σ ⋅ 的本征态。考虑到
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− ⋅ +
⋅ +
=
0 ( )
ˆ 0
h
r r
h
r r
h
l
K l
σ
σ (7-119)
容易证明
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= B
jm
A
jm
j
j
c
c
φ
φ
φ
2
1
1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= A
jm
B
jm
j
j
c
c
φ
φ
φ
2
1
2 (7-120)
18
是Kˆ 的本征态（其中cB1B, cB2B是任意常系数），
1 1 )
2
Kˆφ = ( j + 1 φ 2 2 )
2
Kˆφ = −( j + 1 φ (7-121)
所以1
φ 与2
φ 都是( ˆ , 2 , )
z K j j
r
的共同本征函数。( 2 , )
z j j
r
的本征值分别为j( j + 1)h2
和m = (m + 1/ 2)h j ，但Kˆ 的本征值对于1
φ 与2
φ 分别为± ( j + 1/ 2) 。请注意，四分
量波函数1
φ 与2
φ 中，包含有空间波函数宇称相反的两个二分量波函数, 而这两个
二分量波函数的内禀宇称也相反, 正好匹配给出具有确定宇称的1
φ 与2
φ 。
F．径向方程
从前面的讨论可知, 氢原子的Dirac 方程的定态本征解，必须是守恒量完全
集{ ˆ , ˆ , 2 , }
z H K j j 的共同本征态，即角度与自旋的波函数应组合成为( ˆ , 2 , )
z K j j
r
的
本征函数，而径向本征解由哈密顿量Hˆ 确定。 在上一小节已得到( ˆ , 2 , )
z K j j
r
的
本征函数并由(7-120)给出, 剩下的任务就是求解在一定边界条件下的径向方程
组。为找出此径向方程组，先对Hˆ 做一些变化，使之用守恒量Kˆ 表示出来。在
Hˆ = cα ⋅ p + mc2β +V (r) r r (7-122)
中，只有p r r ⋅ α 与Kˆ 有关。为找出它们的关系，定义算符
r r r
r r α =α ⋅ (7-123)
显然， 2 = 1 r
α ，所以r
α 的本征值为±1。利用
( ) 1 ( )( ) 1{r p i (r p)}
r
r p
r
p r
r r r r r r r r r r r α α ⋅ = α ⋅ α ⋅ = ⋅ + Σ ⋅ × (7-124)
K
r
l p i
r
i
r
i r ˆ β ˆ r r h
h + Σ ⋅ = +
∂
∂
= −
其中, 径向动量算符r pˆ (在径向积分测度r 2dr 下)是厄密的，
+ = +
∂
∂
= − r r p
r r
pˆ ih( 1) ˆ (7-125)
这样一来，
2 ( ) ( ˆ Kˆ )
r
p p p i r r r α α α α β r r r r h ⋅ = ⋅ = + (7-126)
因而
ˆ ˆ Kˆ mc2 V (r)
r
H c p i c r r r = α + α β + β + h (7-127)
由此可见，{ ˆ , ˆ , 2 , }
z H K j j
r
的共同本征函数只需把1
φ 与2
φ 中的系数1 c 和2 c 换成
待定的径向函数f (r) 和ig(r) , 它们可表示成下列两种类型：
2 1 + = j K ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
( )
( )
ig r
f r
B
jm
A
jm
j
j
φ
φ
ψ
) 2 1 ( + − = j K ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
( )
( )
ig r
f r
A
jm
B
jm
j
j
φ
φ
ψ (7-128)
式中f (r) 与g(r) 由下述径向本征方程确定。
在Pauli-Dirac 表象中，
19
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0
0
r
r
r σ
σ
α σ σr r = r ⋅
r r
1 (7-129)
利用
B
jm
A
r jm j j
σ φ = −φ A
jm
B
r jm j j
σ φ = −φ (7-130)
可得
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
( )
( )
( )
( )
f r
i g r
ig r
f r
B
jm
A
jm
B
jm
A
jm
r
j
j
j
j
φ
φ
φ
φ
α
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
( )
( )
( )
( )
f r
i g r
ig r
f r
A
jm
B
jm
A
jm
B
jm
r
j
j
j
j
φ
φ
φ
φ
α (7-131)
类似有
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
=
0
0
0
0
0
0
r
r
r
r
r I
I
σ
σ
σ
σ
α β (7-132)
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
( )
( )
( )
( )
f r
i g r
ig r
f r
B
jm
A
jm
B
jm
A
jm
r
j
j
j
j
φ
φ
φ
φ
α β
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
( )
( )
( )
( )
f r
i g r
ig r
f r
A
jm
B
jm
A
jm
B
jm
r
j
j
j
j
φ
φ
φ
φ
α β (7-133)
从上式可以看出， r
α 和β α
r 的作用不改变波函数的角度和自旋部分，只改变径
向波函数,其运算规则为，
r α
的作用为: ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
→ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
if
ig
g
f
β α
r 的作用: ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
→ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
if
ig
g
f
亦即对径向波函数的运算可表示为
r α
~ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
0
0
i
i
(7-134a)
β α
r ~ ⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
0
0
0 1
1 0
0
0
i
i
i
i
(7-134b)
把（7-128）形式的波函数代入Dirac 方程，可得出f (r) 与g(r) 满足的径向方程
0
( )
( )
] ) ( ˆ [ 2 = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+ + + −
g r
f r
mc V r E
r
c p i cK r r r α α β β h (7-135)
其中) 2 / 1 ( + ± = j K ， r
α 与 β α
r 如式（7-134）所示。在上式中如令
r
f (r) = F(r)
r
g(r) = G(r) (7-136)
利用
dr
dF
r
i
r
p F r r
ˆ ( ) = − h 1
dr
dG
r
i
r
p G r r
ˆ ( ) = − h 1 (7-137)
则可得出F(r) 和G(r) 满足的方程组，
20
[ ( )] ( )
2
G r
c
V r
c
F mc E
r
K
dr
dF
h h
−
+
− = (7-138)
[ ( )] ( )
2
F r
c
V r
c
G mc E
r
K
dr
dG
h h
+
−
− =
对于氢原子，V(r) = −e2 / r ，则方程（7-138）化为
G
c r
F mc E
r
K
dr
dF
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
+
+
− =
α
h
2
(7-139)
F
c r
G mc E
r
K
dr
dG
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
− =
α
h
2
式中 α = e2 / hc ≈ 1/137 ，是精细结构常数。
G．氢原子光谱的精细结构
在束缚态边条件下求解氢原子的Dirac 方程的径向方程（7-139），发现只有
当能量本征值取下列分立值时，才能得到物理上合理的解，
( )
1 2
2
2 2
2
2 1
−
′ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
⎡
− + ′
= = +
K n
E E mc n K
α
α (7-140)
n′ = 0,1,2,…
| K |=(j +1 2)= 1,2,3,…
把(7-140) 对精细结构常数α = e2 / hc ≈ 1/137 ( )
⎥ ⎥⎦
⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
+ ≈ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− + ′ ≈ ′ + −
−
−
K n n K
K n n k
2
2
2
2 2
2 2 1 1
2
α α
α
式中
n = n′ + K = 1,2,3, … (7-141)
（7-140）可表示为
1 2
2
2
2
2 1 1
−
⎥ ⎥⎦ ⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= = + +
n n K
E E mc nK
α α
⎥ ⎥⎦
⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= − − − L
4
3
2 2
1 1 4
4
2
2
2
K
n
n n
mc α α (7-142)
（7-142）还可改写成
⎥ ⎥⎦
⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
− = − + − L
4
1 3
2 2
2
2
2 2
2
K
n
n n
E mc mc nK
α α
⎥ ⎥⎦
⎤
⎢ ⎢⎣
⎡
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= − + − L
4
1 1 3
2 2
2
2
2
K
n
a n n
e α (7-143)
（ a = h2 / me2 ，是Bohr 半径）。若用量子数j 代替| K | ，得
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
+
− = − + L
4
3
1 2
1 1
2 2
2
2
2
2
j
n
a n n
E mc e nj
α (7-144)
可以看出，能级不仅与主量子数n 有关，而且依赖于j (或| K | )。式（7-143）或
21
（7-144）中右边第二项远小于第一项，这是相对论最低级修正项。当忽略此项
时，就回到Bohr 氢原子能级公式（除去一个常数项外）
2
2 1
2a n
E e n = − n=1,2,3,… (7-145)
由于相对论修正，n 相同j 不同的Bohr 能级将发生分裂，但此修正很小[O(α 2 )] ，
能级分裂是很微小的，这是氢原子能级精细结构的来源。在式（7-142）-（7-144）
中，对于给定的n ，
1 2 1 2,3 2,5 2, , 1 2
1,2,3, ,
= − = −
=
j K n
K n
L
L
K =(j +1 2),(> 0), l = j −1 2 (7-146)
K = −(j +1 2),( 这里l 是波函数[见（7-128），（7-115,116）]的大分量中的球谐函数的阶，在非相
对论极限下是好量子数。以n = 4 为例, 各能级为
K +1 -1 +2 -2 +3 -3 4
( n′ = n− | K | 3 2 1 0 )
j 1 2 3 2 5 2 7 2
l 0 1 1 2 2 3 3
光谱符号: 1 2 4s 1 2 4 p 3 2 4 p 3 2 4d 5 2 4d 7 2 4 f 7 2 4 f
其中, 在非相对论近似下简并的能级分裂为 ( 1 2 4s 1 2 4 p ), ( 3 2 4 p 3 2 4d ), 5 2 4d ,
( 7 2 4 f 7 2 4 f ) 四条能级, 但 ( nj ) 相同的能级仍然简并。
氢原子光谱理论的发展，是量子力学理论发展的一个重要侧面。氢原子是最
简单的原子，数学处理比较容易，可以找出其解析解。但氢原子光谱的精密观测
却并不是一件容易的事。实验观测肯定了Dirac 理论给出的相对论修正。然而早
在30 年代，就有人发现Dirac 理论与氢原子光谱的精细结构的观测还有一定的
微小差异。但由于当时实验的精确度不够，没有引起人们的重视。直到1945 年
Lamb 与Rutherford 利用微波技术精确地测定了氢原子光谱的精细结构，肯定
了同一个（ nj ）的能级按照宇称不同还有微小的分裂。例如， 1/ 2 1/ 2 2s − 2 p 能级
发生分裂， 1/ 2 2s 能级略高（ ΔE = hΔω , Δω = 1057.8 ± 0.1MHz）。这就是有名的
Lamb 移动（shift）。它与精细结构分裂(2 p 2 p ) 10950MHz 3/ 2 1/ 2 Δω − = 相比，小
一个数量级。类似的分裂还有1/ 2 3s 能级略高于1/ 2 3p ， 3/ 2 3p 能级略高于3 / 2 3d 等。
与电子的反常磁矩一样，Lamb 移动是作为单电子理论的Dirac 相对论性量
子力学所不能解释的。为了说明它们，需要把Dirac 方程看成一个多粒子系统的
场方程，并对场进行量子化 ( 所谓的二次量子化 ), 把Dirac 方程变成量子化的
电子场与光子场相互作用的算符方程, 再与光子场的方程耦合起来, 就成为量子
电动力学的基本方程组, 是当时量子场论的主要内容。在量子电动力学的量子场
论中，计及辐射修正之后，可以满意地解释Lamb 移动和电子的反常磁矩。这是
20 世纪40 年代末把量子电动力学取得的重大成果, 由此促进了量子场论重整化
理论的发展, 把量子电动力学推进到一个新的阶段。
H．电子与电磁场相互作用系统的拉格朗日
前面是把电磁场) , ( φ A
r
看作固定的外场来讨论电子在外界给定的电磁场中的
运动。若把电磁场也看作另一种物质场的动力学变量，它们与电子相互作用时也
22
会发生变化。这样以来, 电子场与电磁场二者构成一个更复杂的动力学系统，其
拉氏量密度为
μ μ μ μν μν ψ γ A m ψ F F
c
L p e
4
1 − ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ ⎟⎠
⎞
⎜⎝
= ⎛ + (7-147)
I = ∫ L(x)d 4 x (7-148)
其中电磁场张量，
μν μ ν ν μ F = ∂ A − ∂ A (7-149)
从最小作用量原理= 0 ψ δI , 可得与电磁场耦合的电子场的Dirac 方程; 从
I = 0 Aμ
δ 可得有电流密度源的电磁场的Maxwell 方程。对μ ψ ,ψ , A 量子化后就过
渡到量子电动力学（QED）。
§7-5 量子场论初步：量子电动力学（QED） 量子强子动力学
（QHD）与Walecka 模型
A．量子电动力学（QED）初步［２－３］
上一节介绍的电磁场中的Dirac 方程，是一个电子在外加的电磁场中的运动
方程，电子的运动虽然是量子力学的，但仅是一个电子的问题，而不是多电子系
统的问题；对于电磁势（ φ , A
r
），它不仅是经典的，而且是固定的。
如果把电子的波函数ψ (x) 看作多电子系统的场算符，把电磁场μ A 看作动力
学变量即另一类矢量粒子(光子)的场算符，则我们得到包括电子场和电磁场及其
相互作用的动力系统，其拉格朗日为
μ μ μ μν μν ψ γ A ψ mψ ψ F F
c
L i e
4
1 − + ⎟⎠
⎞
⎜⎝
= ⎛ ∂ + (x = ict) 4 (7-147)
μν μ ν ν μ F = ∂ A − ∂ A (7-149)
从二次量子化理论可知，作为Fermi 场ψ (x) ，应满足反对易关系。由于ψ (x) 对
应的广义动量为
Π = = ψ +
δψ
δ
ψ x L i
&
( ) (7-150)
所以反对易关系为
{ψ (xt),ψ + (x′,t) }= δ (x − x′) (7-151)
{ψ (xt),ψ (x′,t) }= {ψ + (x,t),ψ + (x′,t)}= 0
而μ A 为玻色场，其广义动量为
μ
μ δ
δ
μ A
A
L
A
&
&
Π = = (7-152)
所以有对易关系
[A (x,t), A (x′,t)]= iδ δ (x − x′) μ ν μν
& (7-153)
[A (x,t), A (x′,t)]= [A (x,t), A (x′,t)]= 0 μ ν μ ν
& &
上述对易式和反对易式，是玻色场A (r , t) r
μ 和Fermi 场(r , t) r ψ 的量子化条件。这
时电子场和电磁已变成了量子场；对电子而言，从Dirac 方程描述的单个粒子的
问题，变成了由无数电子和正电子组成的多体问题；对电磁场而言，从经典电磁
23
场变成了量子光子场。这时， (x), (x), A (x) μ ψ ψ + 已成为场算符，包含了电了（正
电子）和光子的产生，消灭算符，正如我们在二次量子化表象中所讲的那样。如
果在某一正交完备的单粒子态表象中把它们展开，其形式与前面讲的二次量子化
的形式一样, 只不过时空坐标应是罗伦兹时空的坐标, 整个理论是相对论协变
的。
上述由电子场ψ (x) 和电磁场A (x) μ 构成的量子化的拉格朗日，是量子电动力
学的出发点，它描述电子（正电子）场与电磁场相互作用，交换光子、光子产生
正负电子对和正负电子对湮灭成光子的量子场论过程。
L 还可以写成自由场拉式量0 L 与相互作用拉式量in L 之和
in L = L + L 0 (7-154)
其中
μ μ μν μν L ψ γ ψ mcψ ψ F F
4
1
0 = ∂ + − (7-156)
μ μ ψ γ ψA
c
L i e in = (7-157)
其中0 L 包括自由电子场和自由电磁场的拉格朗日， in L 是规范协变性确定的相互
作用的拉格朗日。由此，可以得到系统的哈密顿量，也包括自由场部分和相互作
用部分。
in Hˆ Hˆ Hˆ
0 = + (7-158)
量子电动力学的求解步骤如下：
1）在相互作用绘景中求解状态的薛定格方程的时间演化算子，把in Hˆ 当作
微扰，由时间演化算子求出S—矩阵。
2) 把 (x), A (x) μ ψ 按0
ˆH
的自由平面波的本征解展开，把S-矩阵用自由粒子
的产生,
消灭算符表示, 并通过付立叶变换过渡到动量-能量表象。
3）算出自由场ψ 和μ A 的单粒子传播子。
4）用Wick 定理计算S—矩阵对一定物理过程的初态和末态的矩阵元。
5）用Feynman 图和Feynman 规则简化碰撞和散射过程的矩阵元的计算。
6) 对于圈图发散问题, 运用重整化方案。
量子电动力学已成为量子场论的经典，它对微观世界的电磁相互作用过程作
出了极为精确的描述。20 世纪60 年代以来，人们把电磁相互作用与弱相互作用
统一起来，发展了弱-电统一的规范场理论（QWED），成为量子场论发展的又一
个里程碑。
从20 世纪70 年代以来，人们把相互作用的规范场理论，推广到强相互作用，
发展了强作用的SU（3）色规范场理论——量子色动力学（QCD），对强相互作
用过程的描述十分成功。
弱电统一理论和量子色动力学，对自然界的相互作用（除引力之外），作出
了全面的描述，是物理学的辉煌成就。QWED 与QCD 二者称作基本粒子的标
准模型(the Standard Model of Particle Physics )，代表了目前物理学对微观世界
认识的最高水平。
24
人们正进一步追求把引力也包括在内的统一理论，这是极其艰巨大而伟大的
目标。
量子论的发展过程如下[4-7]：
量子力学 → 量子场论(包括)
QCD
QWED
QED
(统称)标准模型(Standard Model) →
大统一(Grand Unification) →
包括量子引力理论的统一理论(候选者是Theory of Superstring? )
B. 量子强子动力学（Quantum Hadron Dynamics-QHD）［８－１０］
在从QED 向QCD 发展的30 年之中，人们探索了各种描述强相互作用的理
论，在20 世纪60 年代末70 年代初，Walecka 集其大成，发展了描述强子相互
作用的等效的量子理论：量子强子动力学（QHD）。
发展QHD 的另一个动机，是核物理学的需要。经典核物理把原子核看作由
质子和中子组成，其间存在强相互作用与库仑相互作用。这种理论叫做量子核子
动力学（Quantum Nucleon Dynamics- QND）。实验发现，核内还存在介子（如
π 介子等），核子还有激发态（如Δ粒子等），核内还可能存在超子。这些参与强
相互作用的粒子，统称强子（Hadron），描述它们相互作用的等效理论叫做量子
强子动力学。现在发现，QHD 是QCD 的低能极限下的等效理论。目前，基于
QHD 的原子核的相对论性平均场理论相当成功，有必要对QHD 做一简要介绍。
Walecka 模型的QHD 的拉格朗日可写成
L L L L Lint QHD N M A = + + + (7-159)
其中， N L 为核子自由场的拉格朗日。
ψ ψ μ μ L (r m) N = ∂ + (7-160)
核子场ψ 为洛仑兹空间的旋量（4 分量），同位旋空间的旋量（二分量：中子与
质子分量）。
自由介子场的M L 为
( ))
2
(1 σ μσ σ
μ L U M = − ∂ ∂ −
)
2
1
2
(1 π π π 2 π
μ
μ
r r r − ∂ ∂ − m
2 2
2
1
4
1 ω ω
μν
μν
r − Ω Ω + m
2 2
2
1
4
1 ρ ρ
μν
μν μ
r r r
− R R + m (7-161)
自由电磁场的拉格朗日为
μν
μν L F F A 4
= − 1 (7-162)
25
其中, 各种强子在洛仑兹空间和同位旋空间的张量性质如下:
介子名称 洛仑兹空间的张量性质 同位旋空间的张量性质
核子 旋量（４分量） 旋量（２分量）
σ -介子 标量（1 分量） 标量(1 分量)
π -介子 赝标量（1 分量） 矢量(3 分量),
Ω -介子 矢量（4 分量） 标量(1 分量),
ρ r
-介子 矢量（4 分量） 矢量(3 分量)
介子场与核子场的相互作用拉格朗日int L 为
ψ σψ ψ γ π τψ ψ γ ω ψ ψ γ ρ μ τψ
ρ μ
μ
ϖ μ
μ
μ
π
σ
r r r r = − − r ∂ ⋅ − g − g ⋅
m
f
L g n 5
int
ψ
τ
ψ γ μ
μ 2
(1 ) 3 −
− e A (7-163)
其中
4
3
3
2
2 2
4
1
3
1
2
(σ ) 1 σ σ σ σ U = m + g + g (7-164)
是σ -介子场的非线性自相互作用势能, 其他矢量介子场的反对称张量为
Ωμν = ∂μω μ − ∂μω μ
μν μ ρ ν ν ρ μ r r r
R = ∂ − ∂
F μν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ (7-165)
从Euler-Lagrange 方程
0
( )
=
∂ ∂
∂
− ∂
∂
∂
j j q
L
q
L
μ
μ (7-166)
可得各种场的运动方程，其中广义坐标{ , , , , , } μ
q ψ π σ ρ μ ϖ μ A j
r r = ，广义动量为
j
j q
p L
∂ &
∂
= (7-167)
由此可构造哈密顿量密度：
H p q L i
i
i = Σ & − H = ∫ H x drr ˆ ( ) (7-168)
各种场的量子化，可通过费米场ψ 的反对易子和介子场{ , , , , } μ
σ π ρ μ ϖ μ A r r
的对易
子来实现。相互作用的S-矩阵可以仿照QED 进行计算。
目前，QHD 主要用于核子(有时还包括某些重子)的相对论平均场理论的计
算，已有比较完善的计算程序，大量的计算结果与实验符合很好。这方面的进展
可参阅[8-10] 。
26
参考文献:
I. 相对论性量子力学与Dirac 方程
1. P.A.M.Dirac, The Principle of Quantum Mechanics, Oxford University Press,
1958.
P.A.M. 狄拉克, 量子力学原理, 科学出版社, 1965.
2.. J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics(1964) and
Relativistic Quantum Fields(1965),
McGraw-Hill Book Company, New York.
II. 量子场论与标准模型
3. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill Book
Company,
New York, 1980}.
4. S. Weinberg, The Quantum Theory of fields, Vol.I(1995), Vol.II(1996),
Vol.III(2000), Cambridge University Press.
5. J. F. Donoghue E. Goloeich, and B. R. Holstein, Dynamics of the
Standard Model, Cambridge University Press, 1992.
III. 大统一理论与超弦理论
6. G. G. Ross, Grand Unifield Theories, The Benjamin/Cummings Publishing
Company, INC.1985.
7. J. Polchinski, String Theory, Vol.I and Vol.II, Cambridge University Press,
1998.
IV. 量子强子动力学与Walecka 模型
8. B.D. Serot and J.D.Walecka, Adv. Nucl Phys 16 (1986)1.
9. B.D.Serot, Rep. Prog. Phys 55(1992)1855.
10. P.Ring, Progr. Part. Nucl. Phys. 37(1996)193

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