复数是在一种很特殊意义下的平面向量（用向量的语言，所谓纯虚数就是轴方向的向量，这个方向当然应该有长度为0的向量，即.所以硬说不是

读书笔记之我们需要什么样的几何
一、回顾几何学发展的历史

首先我们回顾一下，什么是几何学？这样才能考察我们现有的几何学是否能完成制作电影、动画、电脑游戏等方面的任务.对于我们在中学教几何学的老师们也需要有一个机会想一下，现在的中学数学教学内容是怎样发展过来的，究竟哪些几何知识是应该教给学生的，是符合将来学生适应新世纪需要的，也就是重点应该放在哪里，反过来，又有哪些是不必花大力气的.

几何学起源于实际生活需要.自古以来，人们从自己的生活实践中积累了许许多多几何知识，例如我们熟知的勾股定理；从知其然进而到一定程度上知其所以然，例如赵爽用图形的割补术“证明”了这个结论，进而发展了我们的祖先熟知的“出入相补理论”.这样，几何学才逐渐成为一门系统的学科.许多民族对此都有贡献.然而最重要的一步是公元前3～5世纪的希腊人迈出的，《几何原本》就是它的结晶.两千多年来，几何学乃至整个数学必须遵循一定的逻辑要求，成了颠扑不破的原则；尽管关于如何去实现它，在何种程度上实现它，如何把它与我们的直观结合起来，如何适应教学和发现的要求，有许多文章可做.但是一定要在承认这个基本要求的前提下进行，才能取得成果，而不致误入歧途.

总之，这种我们通称为综合几何，或者古典的传统的几何学，至今仍是中学几何教学最基本的内容，不应该轻率地加以否定.但是，从欧几里得到现在，又过去了两千多年.如果老在想着欧几里得的历史功绩，认为几何学的精华尽在于此，而且用很大的力量去研究其中一些较偏的论题，对青年学生实在好处不大.两千年的时光，能做的几何难题也该早就做完了.我参加过一次国际数学奥赛的命题工作，才知道世界各国的奥赛命题人无不为出几何题伤脑筋.据说每年高考命题，遇到几何题大家也都头痛：出难了不行，出容易一点吧，又常是用过了的题目.社会上骂我们数学教学的一个最常见的口实，也时常在此.

几何学发展的一个里程碑是笛卡尔将坐标方法引入几何学建立了解析几何.这里应该顺便提一下，笛卡尔的这个贡献是他的哲学理论建树的副产品，是他的哲学著作《方法论》的一个附录（这个附录又被作为一本独立的著作出版，书名《几何学》）.他认为科学的方法应该是把任何一个对象分解（即“解析”）为最简单的成分来加以讨论.几何对象“解析”到头就是“点”，点的种种性质“解析”到头就是它的坐标，“解析几何”一词来源就是这样.相反，过去研究几何学的方法是直接考察，例如一个几何图形的整体，是一种“综合”的考察方法，这种几何学理所当然地应该称为“综合几何”.笛卡尔说，综合几何的方法巧则巧矣，可是若无上天启示，凡人实在难以想出来；代数的方法虽有定规可循，但是难免生搬硬套，只能得其形式，而难以得到真谛.所以，理想的方法应该是把二者结合起来.这就是我们通常说的“数形结合”.这个道理，人人会说，真要做得恰到好处，其实很难.我们在中学教书，千万别以为讲讲曲线方程就是得到“数形结合”的真谛了，这里的学问其实很深，我不妨再举两句名言作为例子.

图12 中学几何路线图

第一句是瑞士女数学家日尔梅（Sophie Germain）的话：“代数无非是写出来的几何；几何无非是画出来的代数.”（我把原来用法文写出来的话的原文抄录如下，是怕自己以后忘记，没有别的意思）



关于这位19世纪的女数学家，还有一个有趣的小故事：由于那时女性没有地位，不能进大学学习，所以她的数学知识完全是靠自学得到的.她最初兴趣在于数论，曾经彻底掌握了高斯的《算术研究》这本数论经典，而且十分仰慕高斯.她在费马大定理的证明上有很重要的贡献，而且写信给高斯讨论数论问题.高斯对这位爱好数学的“男士”也有很好的评价.说是男士是因为她害怕高斯也看不起女性，就化名为“勒布朗克先生”（LeBlanc)──其实她早前向另一位大数学家拉格朗日求教时，也是用的这个化名.1806年，拿破仑的军队打到了高斯的家乡布伦瑞克，她害怕拿破仑的士兵像过去罗马士兵杀了阿基米德那样杀了高斯，就写信给统帅这支军队的将军──恰好是日尔梅的朋友──请他特别保护高斯.这位将军当真受日尔梅之托去看望了高斯，高斯这才明白，原来“勒布朗克先生”竟然是他的红颜知己！

第二句话是两位现代数学家赫斯滕斯（D. Hestenes）和索布齐克(G. Sobczyk)在1984年说的：“没有代数的几何是哑巴，没有几何的代数是瞎子.”选用他们的话，是因为他们可以说是代表了一个很有影响的关于计算机图形学的“学派”；读书笔记的第一部分就是采用了这个学派的一位成员（又是女数学家）拉森比（Joan Lasenby）为英国中学以及大学低年级学生（以及老师）写的一篇科普作品“数学进入了电影”.这批人的著作（包括讲课，科普演说等）都非常注意贯彻这句话.本文下一部分还将参照他们的方式来讲几何学.

二、复数:向量的前奏

代数方法进入了几何学，立即带来几何学对象的扩大.这里我们首先要谈谈复数.现在人们公认，复数的历史开始于1545年卡丹诺关于三次方程求解的需要.卡丹诺的想法很简单：复数就只是一个形式的东西，它能够用于求解三次方程，简直无可理喻.“虚数” 其实没有什么道理，只是方便而已.它被称为“虚数”表示它只是一个虚幻的假想的东西，而不是“实实在在”的东西（其实直到今天，我们在中学数学教学里，还在不知不觉地贯彻这种想法：虚数就是“虚”的“数”.是一个实实在在的数，即“一无所有”，怎么能说是虚幻的呢？所以就被规定成不算虚数.这种规定实在是很奇怪的，完全没有反映历史的发展）.整个17到18世纪，这种想法占了统治地位，包括笛卡尔，牛顿，莱布尼茨，甚至欧拉都未能摆脱这个思想的限制.所以，在复数历史的前250年里，几乎没有什么本质的进展.到了19世纪，不论是阿尔干，威塞尔，特别是高斯，他们的思想出发点都是：虚数是表示另一个方向（例如南北方向）的量的.东西方向的量，我们习惯了，知道它们是“实实在在”的东西，并且称之为实数，凭什么硬要把南北方向的量看成虚幻的呢？特别要提到高斯，他关于代数基本定理的证明，关键的思想就在于把复数看成一个平面向量（这当然是我们现代的用语，至少高斯的时代还没有向量这个词），仍然用今天的语言来说，复数是在一种很特殊意义下的平面向量（用向量的语言，所谓纯虚数就是轴方向的向量，这个方向当然应该有长度为0的向量，即.所以硬说不是纯虚数，实在难以服人），所谓特殊意义就是说：对于复数可以进行四则运算，但是向量的乘法就是全然不同的运算，更不用说除法了.正因为高斯把复数仍然看成实在的东西，所以他从来不用“虚数”这个词.一大批现代最有成就的关于复分析的大师也避免说什么“纯虚数”.几何学的光芒照亮了我们的眼睛，而从卡丹诺到笛卡儿、牛顿这些大数学家正因为少了几何学的光辉，所以成了“瞎子”（在此我不该乱点名，因为我怀疑牛顿，至少是欧拉，已经有了从几何角度审视复数的思想）.从高斯的代数基本定理到现在又已经过去了200年，复数大踏步前进，不妨说正是由于几何思想的推动.

我愿在此引述克莱因在他的名著《数学在19世纪的发展》一书第一章里关于高斯在这一方面的思想旅程的精彩叙述：“在引入‘虚’量的问题上……高斯一步一步走得非常认真而谨慎.在他的学位论文里（按：就是代数的基本定理1799年的第一个证明），他就已经处理了‘虚’量的问题，1800年左右……高斯还小心地装作不讨论‘虚’量.但后来，在他清楚地有了逻辑上不容任何怀疑的思想以后，他向前踏进了，特别是，他的陈述清晰而成为经典的1831年的关于双二次剩余的第二篇论文(见《全集》2：174-178页)中，就包含了这个思想.他在此文中细心地避免使数论的这个新领域沾上丝毫神秘或幻想的气息，特别是在名词的选用上是这样.他铸造了‘复数’这个用语；他还建议用‘正或反的横向单位’一词来代替‘正或负的虚单位’的说法，可惜没有被人接受.但是他用几何解释一劳永逸地把二维流形上的计算从神秘幻想之中带到了明朗的晴空下.”到头来我们还是要问，有什么理由一定要坚持认为：虚数就是虚幻的，而不可能是实在的（所以就决不可以看成虚数，因为是“实实在在”的，一点也不“虚”；也因此，“虚轴”上一定要把原点挖掉）？但是如果把复数看成向量，则实数是实轴方向上的向量，而纯虚数就是虚轴方向上的向量.一个向量的长度为零，就是零向量，它在向量理论中有重要的作用.那么，请问为什么实轴方向有零向量，而虚轴方向则不能有零向量？再说，零向量没有特定的方向(不是没有方向，而是说它有哪个方向都可以.所以既是实轴方向的零向量，又是虚轴方向的零向量. 既是实数又是纯虚数.这样说没有矛盾，而且前后更加一致.

既然有了表示平面向量的复数，更高维数的情况又如何？数学在这里走过了一个漫长而又艰难的旅程.终于在麦克斯韦和吉布斯这些物理学家手上，现代的向量分析（包括其记号和数量积、向量积这些名词）定型了.这里的关键的一步倒是靠代数来完成的.向量乘法有什么特别之处？为什么不能有三维的复数？完全要依靠代数来解决.所以，上面说的“没有代数的几何是哑巴”，就是说有话也说不清，在这里得到了印证.

我写这篇读书笔记其实也是为了自己有朝一日会用到这里的材料，如果到那时忘记了，又要费力去找，很麻烦.所以这里再记一个故事.在这段历史中，一位爱尔兰大数学家和物理学家哈密顿起了很大的作用.他老在想三维复数应该怎样作乘法，废寝忘食，甚至每天早上吃早饭的时候，他的儿子都会来问他：“会不会作乘法了？”而他仍然只好回答：“还不行，还只能作加减法（此事见于哈密顿晚年时写信给他的这个儿子，回忆当年情景，所以应该是可靠的）.”直到1843年10月16日，哈密顿和夫人散步经过一座桥──扫帚桥（这座桥现在还在爱尔兰首都都柏林，仍然被称为扫帚桥）突然灵机一动，懂得了三维复数是不可能的，但是四维复数是可能的. 哈密顿把这种四维复数称为四元数，它的一般形式是这里都是实数，而和“纯虚数”一样，适合以下的关系式




四元数的乘法是不可交换的.这样代数的严格清晰的运算规律帮助几何学把问题说清楚了. 还是那句话：没有代数的几何是哑巴！哈密顿喜出望外，随手检起一块小石头，把这个结果画在桥上.这是具有历史意义的乱刻乱画.人们为了纪念这个历史事件，把这座桥和哈密顿的乱刻乱画保存至今.图13就是它的照片.并在桥头上把哈密顿发现的四元数的规律镌刻为一块石碑.碑文是：1843年10月16日，哈密顿爵士散步经过这里，天才的思想一闪而过，发现了四元数乘法的基本公式并且刻画在这座桥上.

图13　扫帚桥和桥上的碑文

四元数的发现到今天又有了一个半世纪还多，在当时，它曾经（由于英国人的“爱国主义”）风行一时（当然也仅限于在英国），后来向量理论就占据了统治地位（其实第一个使用向量一词的，却是哈密顿，时为1846年），四元数似乎被打入了历史的冷宫.但是科学的发展使得需要我们处理的几何对象越来越丰富，四元数近来又得到人们很大的重视，特别是用于描述三维空间的旋转（与平面的旋转有本质的区别）上.到了19世纪后半叶，用代数方法研究几何对象已经完全成熟了，说到头来，还是那句话：没有代数的几何是哑巴！

如果说，在解析几何里面，所谓数形结合主要还是用坐标表示点，用方程表示具有某种性质的点的集合──即轨迹，那么现在则是把整个几何对象当作代数处理的对象.不只是向量的大小和方向要用实数组（即坐标）来表示，而且向量要看成一个集合的元素，这个集合有明确的代数特征和代数结构，必须要用代数来刻画，并称为向量空间.几何对象也应该分类来研究，而且也必须用代数方法来研究.可见数形结合已经被提升到了新的高度.