在一个圆柱上面，一个方向是沿圆来找的，一个方向是直线。圆方向的曲率就是$1/r$，直线方向则是0，它并没有曲率。高斯发觉这两个曲

时空的平直性，运动的相对论协变性 场的保守性


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在一个圆柱上面，一个方向是沿圆来找的，一个方向是直线。圆方向的曲率就是$1/r$，直线方向则是0，它并没有曲率。高斯发觉这两个曲率乘起来的乘积有很重要的性质。就是将曲面在空间中变形时，只要没有拉长它或缩短它，这个乘积是不变的！这个乘积后来就叫作高斯曲率



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时空的几何历史

丘成桐
美国哈佛大学教授

2005年11月15日

我是学数学的，可是我跟物理学家有很多来往，受他们的影响很大，所以我今天讲的是从数学的观点来看时空。几何学家从古到今对时空有很大的兴趣。从历史来看，我们晓得从远古时代人们就已经懂得丈量土地、观察星体运行，也常感叹时间就这样慢慢不见了，所以产生时空的概念，所有民族都有类似的想法。

由中国哲学家我们看到很多不同的看法。《易经》讲:「太极生两仪，两仪生四象。」生四象就是生天地万物的意思。《庄子》讲：「天地虽大，其化均也。」；孔子讲：「逝者如斯乎，不舍画夜。」都是感叹着时间与空间的问题。屈原《天问》里讲：「日月安属，列星安陈？」就是在问空间的问题，与太阳、月亮和星星之间的关系。另外，最出名的是李白的文章：「夫天地者，万物之逆旅，光阴者，百代之过客。」也表示着我们对空间和时间的思考。

虽然中国哲学家不停的探讨时空，但总是是比不上希腊的哲学家，所以今天我们要从几何学的观点来看时空的历史。希腊哲学家从很早就对时空很有兴趣。例如柏拉图，柏拉图有个很出名的想法，他认为要做他的学生，一定要懂得几何才行。所以古代希腊哲学家，把几何看为大自然的一部份，而几何则成为描述大自然的主要工具。

希腊哲学家认为空间是静止不动的、完全不动的，这种见解持续了二十多个世纪，大致上和他们在几何认知上的局限性有关。但希腊哲学家崇尚推理，希望从数学的美中找到自然界的真理，所以他们对时空的了解比任何古文化都来得先进。他们积极用正多面体（regular solid）种种不同的几何形象，来解释星体的运行，有着很大的兴趣。

现在我们引一个伟大几何学家的谈话，他叫做Cartan（1869-1951），可以说是近代几何学家中最伟大的一个，他说：

对比其它科学而言，数学的发展更依赖于一层复一层的抽象。为了避免犯错，数学家必须抓住问题和对象的精义，并把它们筛选出来。

也就是说，作科学和作数学的发展一样，要一层一层的抽象出来，而

正确的推理无疑非常要紧，但更关键的是找到骨节眼上的问题。必须具有正确的直觉，才能够选对最根本的问题。解决这些问题，对科学的整体发展，具有举足轻重的作用。

我们数学家解决问题时要求谨慎，可是最重要的是找到问题、正确的问题，所以这部分跟物理有很密切的关系。而对时空这个问题，就要了解清楚几何跟物理的发展有密切的关系，这点要看得很清楚。

现在我们来看看几何学。几何学基本的问题来自大自然，并且由问题本身的和谐典丽所启迪，这是几何学基本的看法。而希腊几何学家最先利用公理来处理数学，这是划时代的贡献。希腊数学家以前有埃及和巴比伦的数学家，他们对数学和几何也相当的成熟，晓得很多几何里面的定理，可是它们没有发展到利用公理来处理。只有引入一系列公理，我们才对大自然的规律有清晰的了解，进而发现其奥妙来赞叹他。

古代的几何学最出名的是欧几里得（Euclid, -325--265）的几何学，已经有两千多年了。欧几里得基本上是研究点、直线、平面这些比较简单的图形。这里面有两个主要的定理，一个是勾股定理，这大家在国中都学过，在一个直角三角形上，他的斜边平方等于另两边的平方和：。第二个定理是任何一个三角形的内角和等于180度。这两个定理是整个欧氏几何学里面最重要的定理。

欧氏几何对以后时空研究的影响，我们可以来慢慢看一下。首先勾股定理是平面几何学里面最重要的定理，因为在任何有意义的几何空间里面，都要求这条定理在无限小的情形下要成立，也就是在黎曼几何和近代几何下都要成立，这是一个重要的定理。

至于三角形内角和为180度，其实就是讲平面是平坦的，也就是不弯曲。Legendre(1752-1833)这个十八、十九世纪的伟大数学家，他指出三角形内角和等于180度，等价于下面这个很重要的命题，也就是欧氏第五公设。欧几里得几何学里面用到好几个公设，其中最重要但很多人不太认为它应该成立的就是第五公设，也就是过一条线外的一点，只有唯一一条直线跟这条线平行，这个第五公设跟三角形内角和是180度是等价的。

这里有个很奇妙的现象，在欧洲一千多年、两千多年来，数学家和科学家对这个第五公设的问题，始终不停的想去研究它、证明它，这种态度跟中国人完全不一样，中国人不太想去证明这个定理，认为这是很明显的事实。可是西方人却锲而不舍，从欧几理得一直到Lengendre都在考虑这个问题。

最后，伟大的数学家高斯（Gauss, 1777-1855）和俄罗斯两个数学家不约而同地发明了双曲几何，双曲几何就是曲率为负常数的二维曲面，当时有人传说，高斯曾经测量欧洲山脉里的三个山顶形成的三角形，也就是地球上的三角形内角和是不是180度。

双曲几何提出以后，一个最重要的结果是大数学家Felix Klein（1849-1925）所发明的空间，他创造了一种解析的方法，通过在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双曲几何的一个模型，这个模型叫做Klein模型。Klein以后，终于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出来，这是一个很伟大的成果。这个想法在逻辑上也有很大的贡献，跟以后提出连续统假说（Continuum Hypothesis）的反例有很大的关系。

对我们来讲，双曲几何是一个抽象而且跟欧氏空间不一样的空间。人类第一次发现一个空间，不是我们看到的空间，而是一个抽象的空间，这影响到黎曼的工作。从其它很多科学看来，感觉这像是一件胡闹的事情，觉得看不到的空间为什么还要去研究，可是数学家对它花了很多的时间，去研究它的意义，这我们等一下还会看到。

同时，我们看到的是三角形的内角和减去180度的时候，在平面几何时本来应该等于0的。可是在不是平面的时候，这个差会等于曲率和三角形面积的乘积，这是很奇妙、很有意思的恒等式。高斯将它推广成一条有关曲率的积分公式，叫做高斯-Bonnet定理，高斯-Bonnet定理在现代几何和拓朴学中非常重要。我的老师陈省身先生（1911-2004）将高斯-Bonnet定理推广到高维空间，同时因此发展成陈氏类，这个发展在近代时空研究里面是一个很重要的工作，提供了宏观的看法。举例来讲，在近代的弦理论里面，可以看到时空里的质子数目与陈氏类有关。

我们在讨论近代的时空一定要有微积分。因为古代的几何的对象只是平面跟球面，那太局限了，即使是我们看到的时空都已经不大够。当我们了解到用无穷逼近的方法去构造一个弯曲的几何对象时，那就完全不同了。第一个使用逼近方法的数学家是阿基米德（Archimedes, -187--212），在公元前两百多年他就用这种方法来计算?物线跟直线之间的区域面积，他的计算比现存已知的文章多得多，他基本上具有微分跟积分的观念，已经完成了微积分最主要的工作，只是当时的物理跟天文背景还没有成熟，所以没有迫切的需要将整个微积分全部完成。

接着要提一提Apollonius(-262--190)。Apollonius是提出圆锥截面理论的伟大数学家。圆锥截面包括拋物线、双曲线、椭圆、还有直线等几何曲线。当时天文学家利用这套理论来发展行星运动的本轮模型（epicycle model）。虽然本轮模型并不是很正确，但是圆锥曲线的理论却对后世刻卜勒（Kepler, 1571-1630）著名的行星运动定律具有深远的影响。当时的天文学家利用几何学跟三角学，将天文学从一大堆杂乱无章的数据，转化成一门精确的观测科学，也就是说，公元前两百多年的天文学家已经晓得数学的威力。

接着在时空观念里的重要贡献，来自伽利略(Galileo, 1564-1642)和刻卜勒，他们从行星运动的数据得出来很多重要的工作。刻卜勒利用天文学家Brahe (1546-1601)大量精确的观测资料，并通过很多的数据分析，终于算出行星的轨道是椭圆。Brahe观测本来是用地球为参考点的一大堆数字，所以不是很容易看出来是怎么回事。刻卜勒将它们改成以太阳为参考中心的运动轨迹，长年累月的用算术及三角将这些数据变成以太阳为参考中心的计算。

与刻卜勒差不多同时的两个伟大数学家是费马(Fermat, 1601-1665)和笛卡儿(Descartes, 1596-1650)，他们引进了坐标系统。笛卡儿是一个哲学家，是文艺复兴时的一个著名哲学家，他在一篇哲学文章的附录中提出了坐标系统的概念。有了坐标系统，才能用代数的方法来表示运动的轨迹，这对牛顿以后作天文的计算有很大的帮助。底下是笛卡儿的一段话，他讲「我铁了心，要扬弃抽象的几何学」，他对抽象的几何学，也就是欧氏几何学，他不想再去研究，因为「它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外，就没有什么用处。」笛卡儿要研究「那些以解释大自然现象为目标的几何。」也就是他的坐标系统。

坐标几何的引进，对于几何的研究是一个很重要的转折点。我们现在学解析几何的时候觉得很容易，可是事实上整个观念的改变是划时代的贡献。有了这个坐标系统以后，直线是由线性函数所定义，圆锥截面则由二次函数决定。利用这种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就变得很清楚了，不用花很多功夫去想象。有了坐标以后，因为刻卜勒的数据是数字，有了数字代进坐标系统就可以了。

坐标几何将几何和代数结合起来，让我们绕过欧氏公理来研究几何图形，这是很重要的事情，让我们可以用坐标的想法来研究圆、研究直线的图形。它另外一个很重要的影响，是领导我们进入高维空间。假如没有坐标系统的想法，我们将很难想象高维空间是怎么回事，有了坐标系统，我们才晓得高维空间该怎么去想象它。

微积分的引进，刚才讲过是个很伟大的发明。发明的人有两个，一个是莱布尼兹（Leibniz, 1646-1716），一个是牛顿（Newton, 1643-1727），是差不多同时间的人。莱布尼兹也是个哲学家，他对微积分的引进是很骄傲的，他说 “As God calculates, so the world is made.”（上帝算，天地生。）他认为数字也就是微积分，能够决定天地、了解天地。

莱布尼兹的工作是既用代数也用分析的方法来表示的。他利用图像的办法、优秀的符号，为微积分创造了一个完整的数学架构。他在1677发表了自己的结果，事实上比牛顿发明微积分晚了十年。但是牛顿的工作，只在少数数学家跟科学家中流传。因此两派吵架吵了几十年，只为了这个谁先发明微积分的事情。

牛顿的微积分比莱布尼兹更重要的部分，也是最伟大的部分，就是他利用解析几何和微积分，对天文天体的运动进行了很仔细的计算。利用微积分，他由$frac{1}{r^2}$的定律推导到行星的运行。这一点可以展现微积分伟大的生命，因为从很基本的定律能够计算出星体很复杂的运行规律。天体的运行是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，而时间则独立于空间以外。

接着我们要讨论牛顿力学内容的意义。物理的真实性属于我们经验的范畴。我们看物理是因为我们感觉到它。而科学的目标是寻找这种真实的物理背后的规律跟合理性。牛顿将大量的物理现象用同一个理论框架统一起来。产生了牛顿的三大定律。牛顿的三大定律是有关运动的，像$F=ma$全部是关于运动的。可是运动在什么地方进行？那进行的地方便叫作空间。牛顿说：「我不想去定义时间、空间、地点跟运动，因为大家都跟它们熟识不过。」事实上，牛顿最迷惑的也就是空间。

牛顿引进的一个很重要的观念叫作绝对空间。牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的，它为整个宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。

"Absolute space, in its own nature and with regard to anything external, always remains similar and unmovable.” （对内对外而言，绝对空间都是相似及不动的。）

他认为有一个抽象的绝对空间，所有的运动都在这个绝对空间里去比较。他甚至利用一个旋转水桶的实验，来说明绝对空间的存在性，而惯性坐标便是在绝对空间里面静止的坐标。这是一个很伟大的观念，虽然现在来看是一个不正确的观念。

莱布尼兹是一个哲学家，他对牛顿绝对空间的观念提出异议，他不赞成。可是牛顿力学跟微积分实在是伟大的科学，因为这是一个新工具，它使得物理学家和数学家花很多功夫，利用这个新工具去发展新的学问，没有时间去重新讨论绝对空间的问题，直到十九世纪，对时空的看法才有新的基本改变。在这段时间里面对几何学有重大贡献的是数学家Euler（1707-1783），他是绝对空间概念的忠实信徒。在流体力学里面有两个不同的观点，一个是Lagrange观点，另一个Euler观点，这也是因为Euler相信绝对空间的缘故。

接下来，现代几何学或者现代时空观念的最大转折点是从高斯开始，这是因为高斯发觉到一个很重要的事实。古典的几何学者在讨论我们三维空间里面的曲面时，他们晓得曲面上每一点沿着两个不同的主要方向有两个不同的曲率。举例来讲，在一个圆柱上面，一个方向是沿圆来找的，一个方向是直线。圆方向的曲率就是$1/r$，直线方向则是0，它并没有曲率。高斯发觉这两个曲率乘起来的乘积有很重要的性质。就是将曲面在空间中变形时，只要没有拉长它或缩短它，这个乘积是不变的！这个乘积后来就叫作高斯曲率（Gaussian Curvature），是高斯一个很伟大的发明。

高斯认为这是他的数学生涯里面最重要的定理，写进他的书《曲面通论》里。他指出曲面所谓的内在性质。什么叫作曲面的内在性质？就是讲，假如我们在曲面上将自己看作很扁的小甲虫，当这个小甲虫在曲面上爬来爬去的时候，他体验到的空间，得出来的空间性质就叫作内在性质。为什么叫内在呢？因为这个小甲虫对曲面跟空间的关系并不在乎，也就是讲小甲虫只顾他旁边遇到的曲面上的几何，跟外面的空间无关。高斯认为这个内在性质才值得几何学家不停去研究，去上下求索（"most worthy of being diligently explored by geometers"）。这种几何就叫做intrinsic geometry，内蕴几何。

高斯把这件事看得很重要。我们现在解释一下内蕴几何的意思。假如我们在一个苹果削切了片皮，拿出来以后它的高斯曲率基本上是个正的常数；反过来讲，如果一个曲面的高斯曲率是正的常数，那它一定是球的一部分。基本上来讲，就是一个球面的内蕴几何是由高斯曲率来决定的。当高斯曲率都等于－1时，就是双曲几何，也就是刚才讨论欧氏第五公设的那种几何，也就是刚刚讲的高斯、Klein他们讨论的抽象几何。

高斯因为他的定理很兴奋。他花很多时间去提出跟讨论这个定理为什么这么重要，可是他遇到困扰。高斯说：

我愈来愈相信，人类的理性并不能证明或理解几何的必要性。希望后世能对几何空间的本质有新的洞见，但目前这却是不可能的事。

他还有一句话很有意思：

当下我们不能把几何与本质是先验的算术（也就是数论）相提并论，只适宜将它与力学并列。

高斯本身是一个伟大的数论学家，可是他认为这两种数学是不一样的，他认为几何应该跟力学，也就是物理，相提并论。我要强调，高斯并不是认为数论不重要，而是他认为这是两个完全不同的科学。

高斯很想研究高维空间的内蕴几何，可是他作不到。在黎曼（Riemann, 1826-1866）很年轻的时候要升教授，在德国当时要当教授以前要有一个就职的演说，他为这次演说提出三个不同的题目，结果高斯挑了第三个题目。黎曼没有料到高斯挑这个题目，题目就叫做《建构几何学的假设》，这是一个很有意思的问题，结果黎曼花了两个多礼拜去准备这一篇文章，他没想到高斯对这个问题有这么大的兴趣，原来这是因为高斯自己正在研究这个东西，在寻找答案。
　　
黎曼认为这个新的几何要用无限小的形式，引进了抽象空间。在那里高斯曲率有了很明显的涵义。当黎曼引入这个空间的时候，高斯听了很高兴，因为这是一个很有意思的文章、宣言。也因为自从有了黎曼空间之后，使我们终于摆脱了、完完全全摆脱了平坦的欧氏空间，成功的创造出自我生存的抽象的大域空间。

我们来看看黎曼在1852年演说提到的几句话，这几句话我原来不晓得，是最近这几个礼拜才看到他的演说的全部内容。他讲：

在无穷小区域内几何诸假设是否真确，与空间尺度关系的本质有关……。

他作了好几个解释，对我们现在来讲是很明显的，可是他当时的考虑，是要从空间来考虑。

回答这个问题，就必须从这些现象的有关概念入手。这些源于经验的概念，是先由牛顿所奠基…如此这般，我们便离开了几何，进入另一门科学，即物理的领域了。

我很惊讶看到这一段，因为我一开始以为黎曼引进黎曼几何和物理完全无关，事实上他是为了研究物理才来考虑这个问题的。当时困扰黎曼和高斯的，除了空间的问题以外，他们两个也都对电磁学和引力场有很大的兴趣，他们写了两篇文章完全是对电磁学的研究，他们是在同一段时间考虑同样的问题。

黎曼的新发现从根本上改变了数学家对几何的看法。这种抽象的几何后来由Christoffel(1829-1900)、Ricci(1853-1925)、Levi-Civita(1873-1941)和Beltrami(1835-1900)研究了流形上的微积分和张量分析。不过对大部分人来讲，他们都不大喜欢这个几何。

现在我们来看现代20世纪物理和几何的关系，等下黎曼几何会再进来。第一点先谈狭义相对论的背景。第一个对牛顿绝对空间提出具建设性质疑的是一个哲学家Mach(1838-1916)。他认为惯性坐标受到地球和其它天体的影响，这项假设被称为Mach原理。差不多同时，一个极重要的事实是Maxwell(1831-1879)发现光是电磁波，光的速度与惯性坐标无关，是一个常数，不管惯性坐标怎么取，得出来的都是一个常数。不久之后，又发现Maxwell电磁方程以Lorenz变换作为对称群。这是一个很伟大的发现，爱因斯坦(Einstein, 1879-1955)在他十六岁的时候对这件事情感到兴奋，很想讨论为什么会有这种事情。

终于在1905年爱因斯坦25岁的时候，他提出了狭义相对论。其中一个重要的环节是，空间和时间终于融合在一起。在1908年，Minkowski(1864-1909)这个伟大的数学家，也是对狭义相对论有很大贡献的一个物理学家，他说：

Henceforward, space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independence.　　

也就是说，空间跟时间再也不能够独立，所以时间和空间从此以后要融合在一起。狭义相对论很快受到物理学家的认同，但其中有一个很重要的问题，就是引力场。由牛顿力学来看的引力场和狭义相对论是矛盾的，因为狭义相对论认为，任何讯息的传递不能超过光速；可是牛顿力学里面是Action at a distance 它传递的速度是一瞬间、是无穷快的，这与狭义相对论提到的矛盾。牛顿的Action at a distance是因为它与时间无关。所以爱因斯坦要摆平这个问题，他想了很久，这问题他想了十年。他写信给Sommerfeld(1868-1951)说:

I am now working exclusively on the gravity problem… one thing is certain – that never in my life have I tormented myself anything like this.。

他花了很多工夫去考虑这个问题。
　　
当时爱因斯坦了解引力是力场的一种，它使物体加速，由于狭义相对论的要求，在速度平行的方向，速度加快很快很快的话，会使长度加长，因为我们手上的尺会变短，所以量出来的长度较长，在与速度垂直的方向，长度不变，没有影响。所以发现很重要的一点：长度会在不同的方向和点改变，就是我们用狭义相对论来量一个加速的物体时，长度会对应改变，这正是黎曼几何的特点；黎曼几何容许长度在不同方向改变。

在同一个时间，爱因斯坦提出了他出名的等价原理，就是讲在任何坐标里面，物理的引力场的理论是要成立的，他花了很多时间来加进等价原理才了解到它跟黎曼几何的关系。他的朋友Grossmann(1878-1936)指出黎曼几何的重要性，他才明白黎曼度量满足等价原理，同时黎曼曲率使得度量拉长或缩短，这正是他所需要的一个工具。这个黎曼曲率正的时候会使得度量收缩，负的时候使得长度会拉长。

黎曼曲率真正具有他需要的特色，就是引力场的特色。黎曼曲率张量的某种组合称为Ricci张量。他发现这个量正是他需要的量，因为他需要满足质量守恒定律，而这个质量守恒定律对Ricci张量是满足的，这是由Bianchi(1856-1928)发现的。爱因斯坦看到这个定律很高兴，因此将Ricci张量看作物质的分布，而黎曼曲率本身去描写引力场。所以最后我们看到引力场可以用黎曼度量来表示。

在1916年，爱因斯坦正式宣布广义相对论的理论，同时他提出两个计算，就是关于水星近日点的进动问题与光线偏移的计算。1919年英国一个天文学家Eddington(1882-1944)在英国皇家学会宣称爱因斯坦提出的光线偏移理论被证实，这是他当时在南非借着日蚀度量成功的。当时的London Times（伦敦时报）头条新闻说： Revolutions in Science - New theory of the universe - newtonian ideas overthrown. 这成为当时轰动全世界的事情，而爱因斯坦的广义相对论也被评为人类有史以来最伟大的发现。
　　
在整个架构来讲，我们晓得黎曼几何是广义相对论里面的框架，能够用时空来跟黎曼几何连在一起，就等于将几何与引力浑为一体，不能够再分开。而因为引力场驱动整个宇宙的改变，时间再也不是一潭静寂的死水。当天体变动的时候，时空的几何与拓朴以光的速度在变化，这也是广义相对论里重要的部份，也就解决了刚才牛顿力学跟狭义相对论的矛盾。

当时爱因斯坦除了受到Mach的影响以外，他还是第一个受到对称观念影响的人。Maxwell方程有Lorenz变换的对称群，他给爱因斯坦创造狭义相对论的灵感。他也用等价原理来看广义相对论，所以爱因斯坦是第一个看到对称群在物理学中最重要的物理学家。这影响了整个二十世纪的物理学，因为各种守恒定律都是由对称群来决定的。等价原理产生了大的对称群，导致爱因斯坦提出了广义相对论。

事实上数学家比爱因斯坦还要早，就提出了同样的理论。伟大的数学家Sophus Lie（1842-1899）跟Felix Klein，他们晓得对称性对几何基本结构的重要性。在1887年，Klein在德国一个很出名的地方叫Erlanger，他提出了他的教授就职论文，里面提到：不同的对称群会引出不同的几何。这点很有意思，德国的教授在就职前要提出新的纲领，我想在这个年代是做不到的。

没多久，Cartan就把Klein的观点和黎曼几何结合，创造了纤维丛的连络理论，关系到后来物理的gauge理论（规范场论）。这是Cartan在1895年的论文写的，这篇论文比物理学家早了至少五十年，他把Klein的整体对称群与黎曼几何连在一起，不但过了五十年对物理很重要，对整个几何也有很重要的开展。我们对时空的结构通过gauge理论，也就是从Cartan引进的gauge理论局部对称性，得到很长远的了解。

量子力学是对基本粒子很重要的了解，这些是自然界力量内的基本建构单位。要研究这些，要利用到electronic spinors（旋子）跟规范场论。这个概念其实从Cartan的群表示理论在几何里面就已经开展出来。但是有了Dirac（1902-1984）、有了Hermann Weyl（1885-1955）、有了杨-Mills之后，我们对整个几何的结构才得到了更丰富的直觉，这种直觉对几何起了很重要的贡献。Herman Weyl在1920几年的时候就研究可交换对称群的规范场，杨振宁跟Mills在1954年则引进非交换对称群的规范场。

整个量子力学对我们的影响很大，影响我们对时空几何的认识也很深远。例如Dirac的spinor跟Seiberg-Witten的理论，都是量子物理的部份。他成为我们研究几何结构的重要工具，到现在我还惊异于他们对几何结构的威力。所以我们晓得，量子力学虽然是研究很微观的工具，但是对大范围的几何有很重要的威力。至少五十年来，自从爱因斯坦对统一场论有兴趣以后，我们就了解到广义相对论与量子力学之间，最主要问题是它们互相矛盾。量子力学与光滑的时空不能兼容：当空间的尺度小于Plank scale的时候，我们对时空的结构不甚了了。将引力场量子化是很艰巨的任务，这五、六十年来物理学家建立了很多模型，爱因斯坦生前的梦想就是要将他们统一起来。我们只能讲，我们正向这个方向前进。

目前最成功的统一场论，引力场论与量子合起来的主要理论，就是弦理论。这个发现当时对物理学家是一个意外，六０年代意大利的物理学家Veneziano，发现某个Euler的函数跟强核力产生的一些现象，从表面上看有很密切的关系。不久以后，有三个物理学家发觉，假如我们假定基本粒子是一个弦，也就是一维而非一点的时候，我们从强粒子理论可以找到Euler函数。所以当时很兴奋，以为弦理论可以用来解释强核力，可是以后强作用力的实验发现，不循这个方向发展，而且标准模型（standard model）已经足以描述强作用力。所以弦理论不再重要，几乎销声灭迹。

可是再过了几年以后，两个物理学家Scherk跟Schwarz认为弦学应该包括强粒子和引力子。第一次在弦理论中提出引力场的是这两位物理学家，但是真正引起理论物理学家注意的，是Green和Schwarz在1984年的一个大发现。他们发觉当弦跟引力场相互作用时，在包括超对称的量子化过程内，时空的维数必定要是十维。同时在这个时候，由弦理论引起的量子场论，说明其至少在渐进的情形下是收敛的。这点是一个划时代的贡献，因为收敛是一个很困难的问题，所有想将引力量子化的尝试都在不收敛的情形下失败了。可是他们发觉这是收敛的。因此产生了很多物理学家对弦理论的欣赏与研究。

一个很重要的结果是，时空本身的某些奇异点，是可以用弦理论来解释的。举例来讲，黑洞是一种奇异点。我几个朋友Greene、Strominger、Morrison，他们找到其中黑洞的模型，发觉就算出现奇异点的时候，弦理论还是有意义的。

我们晓得，现实世界我们看到的时空应该是四维的。所以弦理论需要十维，好象是不大对的事情。我们需要有一个方法将十维的时空变成四维，这个方法是由数学家跟物理学家提出来的，一个叫Kaluza；第二个叫Klein，这是在广义相对论刚刚面世的时候提出来的方法。

因为当时爱因斯坦想将电磁场与引力场合并。他们两位科学家将四维时空加了一维，变成五维。将一条直线加厚成一个圆柱，当柱的横切面很小时，柱面就变回一条直线了。所以Kaluza、Klein讨论五维空间真空状态的爱因斯坦方程，他们发觉这个方程等价于某个四维时空的引力场与Maxwell方程的合并。这样子引力场与电磁场就由纯引力场统一起来了。爱因斯坦对这个事情很兴奋，他以后在考虑这个问题时，又多了一个数量场。但是这个多了的数量场，实验上无法找到，所以最后还是放弃了。可是这个多出来的数量场，在弦理论里面有解释。

在弦理论里面，时空是十维的。我们用同样的方法，将四维加入六维，加入的六维空间变得很小，简直可以将十维空间变为四维空间，这部分是用Kaluza和Klein的想法来作的。可是这个六维空间是什么东西呢？弦理论因为当能量很高的时候，玻色子与费米子是一一对应的，也就是所谓的超对称。时空里面希望能够具有超对称，假如有超对称的话，那内在的六维空间就要满足一些条件。

这是由四个物理学家，也是我的朋友所发现的。他们发现空间一定有复结构的真空方程，1984年的时候他们发觉，这个空间是我在1976年构造的流形，后来他们叫这个空间Calabi-丘空间。这个空间我们刚开始创造的时候，是为了做代数几何等其它方面的工作提出来的，也是为了微分几何。做这个空间的时候，我个人觉得它跟广义相对论有关，可是没想到满足了弦理论的要求。也因为弦学家对这个空间的要求，这二十多年来，我们在这个空间里有很多很有意思的成果，尤其是在数学上的成果。我们曾经研究过这个空间的许多模型，在弦理论来讲，这是一个基本的模型，可以用来计算粒子的重量、电荷，也可以藉这个空间的变化来考虑黑洞与宇宙的模型。

可是时空远比这个更复杂，从微观的观点这还不是最终极的形式，很多弦学家认为这是一个逼近的微观空间，在此空间上还有许多美妙的对偶性，对计算量子场论帮助很大，也因此为对偶性，微观的量子场和大空间的量子场是同构的，这个对称基本上和Heisenberg的不确定性原理是等价的。所以量子力学加上时空，我们不知道最后的时空会是什么样子，但是这已经在数学的代数几何上引入革命性的贡献，这一点我没办法多谈。

1984年到1995年之间，弦学家发现很多不同的弦学模型，例如Witten的M理论、Polchinski的膜理论，其中几何与时空不断的联系在一起，最近几年还有所谓的矩阵模式、Vafa的量子时空泡沫，现在相当多人认为时空概念将有革命性的变化，至于怎么变化，谁也不晓得。

物理和几何的关系，让我引Schwarz的一段话：

the mathematical structure of string theory was so beautiful and had so many miraculous properties that it had to be pointing toward something deep.

所有的几何学家和弦学家都是这样相信的。

由于时间的关系，我今天只介绍的这边，最后我引两段话

天地与我并生，万物与我为一。（庄子）
创思虽是漫漫长夜中的灵光一闪，但，这便是一切。（庞加莱）

我们在每一次进步的时刻都花了很多功夫，但生出理论之后，就有其重要性。