空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减，即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。

首先要认识到向量空间和仿射空间是不同的。
看一下wikipedia对向量空间的介绍：

”In mathematics, a vector space (or linear space) is a collection of objects (called vectors) that, informally speaking, may be scaled and added. More formally, a vector space is a set on which two operations, called (vector) addition and (scalar) multiplication, are defined and satisfy certain natural axioms which are listed below. Vector spaces are the basic objects of study in linear algebra, and are used throughout mathematics, science, and engineering.“

就像介绍里说的，向量空间的对象是向量（a collection of objects called vectors), 向量空间里的一切都是向量，这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。

再看一下仿射空间的介绍（张量分析及其应用，李开泰，黄艾香，科学出版社）：

”在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。
考察一个点和向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。....................(略）“

可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。

举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减，即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离是个不变量，独立于坐标系。

引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量代数和张量分析的基础。

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• 射影变化都是与向量的分解（如）相关的;复数理论是向量理论的前奏.如果把向量改成复数，则用另一个复数去乘它，就得到一个变换（映射） -marketreflections- ♂ (19778 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:26:41

• 长度一定是非负的，而坐标或数量射影则可正可非正.对于向量的数量积，符号表明是锐角或者钝角.对于例如轴上的两点，距离是，但坐标差可 -marketreflections- ♂ (11899 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:34:17

• 复数是在一种很特殊意义下的平面向量（用向量的语言，所谓纯虚数就是轴方向的向量，这个方向当然应该有长度为0的向量，即.所以硬说不是 -marketreflections- ♂ (9372 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:36:31

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• 泛函空间简单解释 Banach空间是完备的线性赋范向量空间 -marketreflections- ♂ (20 bytes) () 05/28/2010 postreply 05:48:16

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