向量一定是只有大小和方向而没有起点，但是解决题目，画起图形或者证明起定理来又总是有了起点：坐标原点.产生这个人们时常不经意的漏洞

读书笔记之看看人家是怎么做的──向量和向量空间以及其中的变换（一）
写这篇文章，是受到一篇科普文章（讲的是数学怎样进入了电影）的启发,这篇文章发表在由剑桥大学为了促进数学教学的现代化而创办的一份电子杂志PLUS 上.这个杂志是免费的，如果您能够阅读英文，很容易利用google去搜索它.这篇文章促使我去反思我国高中的实际教学，深感可资借鉴之处甚多.当然，我没有看见谁按这个方法教中学生，但是有机会看到一些大公司（如惠普和微软）培训有关技术人员的教材（在网上很多），特别是有些教材提到所需的准备知识，都不超过我国初中生的水平（这句话决无笔误.参看前面关于英国CGSE教学内容包括向量就知道这句话不是笑话）.再说美国的中学的一般水平大家也都知道，大概要美国高中生考我们高考的那些立体几何题，也有点勉为其难的.所以仿照这篇文章的深度和选材，看一看人家着重学些什么，然后把涉及的几何知识整理、选择和改写如下.



一、向量空间



我们打算在什么空间里面展开几何学？对于中学生，这个问题听起来几乎是无的放矢：我们不就是生活在现实的空间里吗？了不起就是初中只讨论平面上的事，高中还要讨论三维空间里的事.现在我们懂得更多的数学了，知道空间还有自己的代数结构.例如由向量组成的空间（老师们应该知道数学里研究的空间其实并不一定就是我们生活里人所共知的那个空间，而凡是一个集合具有我们的现实的空间的某些特性，这个集合就可以叫做空间），对于其中的向量，必有两种运算：加法和用实数去乘向量（现实的空间里也有这些运算吗？或者甚至更多一些？），向量的集合连同这些运算叫做向量空间.我所看到的材料，不但需要空间，还需要空间里的变换.对于现实空间的欧几里得几何，有一些变换中学生都知道，只不过不用这个名词罢了.这些变换最常见的是等度变换，就是不改变几何对象的大小方向的变换，例如平行移动（简称平移）和旋转(有时还要加上反射)都是.如果两个几何图形大小方向都一样，我们就说它们是全等的.全等图形我们都看成相同的.或者说，凡可以用等度变换来互变的图形我们都看成相同的.但是请不要急于说，凡可以用等度变换来互变的几何图形都有相同的形状.因为有一个常见的误解，以为欧几里得几何讨论的是在等度变换下不变的性质.那么，请问勾股定理的3，4，5是说的3尺，4尺，5尺还是3米，4米，5米？都可以.这两个直角三角形人们都认为具有相同的形状.克莱因明确指出：欧几里得几何讨论的是几何图形在等度和相似变换下不变的性质.所以我们应该把全等的和相似的几何图形都认为是具有相同的形状.



按照上一节说到的向量的巨大作用，似乎向量空间就是展开几何学最合适的空间了？错了！先不急于说明为什么错.首先来看一看向量空间里有些什么宝贝，又有哪些变换.从上一节看来，向量空间应该是阿里巴巴的宝库，只要你会唸咒语：“芝麻，开门.”就能富敌全球！但是，这个空间里只有一种宝贝──向量，咒语倒是有一些：向量的加法（连同交换律，结合律等），还有实数乘向量（包括分配律等）.总之，咒语就是向量空间的全部公理.但是向量空间里没有点，准确些说就是只有原点一个点.没有点怎么能用来展开几何学？



图15 向量只有大小和方向，而没有位置

为什么说向量空间里没有点？学生会问向量的两个端点难道不是点吗？请仔细看一下任何一本比较准确的教材，上面一定会说：向量有大小和方向.但是不会说向量有位置，而点恰好就是位置.请看图15.上面画了几个有方向的线段，它们都表示同样的向量.在数学上我们就说向量是这种有一定方向和一定大小的线段的等价类.我们想要研究的不只是某一个特定的有向线段,而是所有这些具有相同大小和方向的有向线段,也就是研究这个等价类.我们的研究方法就是“研究[这个等价类]/[起点]”.这里的记号/表示“抹去”，作为数学运算，记号是.这样做的好处下面再说，至少目前有了一个问题：这种互相等价的线段很多，具体应用起来我们又总是只需要一个这样的线段作为代表，那么取哪一个作为这个等价类的代表，即等价类的代表元？我们总是取起点在坐标原点处的那一个.所以现在的教材上凡讲向量一定是只有大小和方向而没有起点，但是解决题目，画起图形或者证明起定理来又总是有了起点：坐标原点.产生这个人们时常不经意的漏洞，原因就是没有强调，数学中凡是用到等价类时，时常总是选取一个适当的代表元，选得好，常能事半功倍.选原点为起点，最大的好处是现在有了坐标系，所以终点有了坐标，例如三维情况下的（请问究竟是点的坐标，还是向量的分量？下面我们会回答这个问题）.它的最大的优点是向量的运算由此而彻底代数化了，这样才好教好学.只是画图15那样的集合图形，倒是直观，可是解决其具体问题来就太不方便了.可见没有代数的几何是哑巴！暂时说到这里，现在转到向量空间里的变换.