向量空间并不是研究几何学的合适的空间.因为其中只有向量而没有点.准确地说，只有一个特定的点：坐标原点，而所有向量都画成从这个特定

来源: marketreflections 于 2010-05-28 05:14:26 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (10316 bytes)

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特权:

经常是眼下局部的，偏离了直线，一阶导不为零，心动

如果再出了希空间，心慌了


读书笔记之看看人家是怎么做的──仿射空间及其中的变换
　　前面的中学几何路线图里，专门为仿射几何留了一个方框，但是没有用彩色填满，意思是说它相当有用，但不必知道太多.它的后方的方框，更是附带地画了两笔：射影几何，更是意味着略知一二即可.



现在需要说明一下，为什么要写这一部分.它明显地属于“超纲”之列，所以不是为学生写的.学生不学，自然不会教，老师也就不必去管.问题就出在这里.过去我们习惯的做法是：上头想到按照某种“理念”，或者别的什么，规定了应该教什么，应该怎样教，应该怎样不让学生负担过重，高考成绩总要大家看得过去.就是有一点是不在考虑之列，那就是数学在怎样发展，社会对于学生，特别是对于中学生的数学水平，有什么新要求.中学的任务不仅是打开“大学之门”，而是打开“科学之门”.如果说打开“科学之门”是大学的任务，那么，中学的任务是什么呢？所以，必定引起一个怀疑：这样的说法对吗？正因为如此，我的出发点就是老师知道的必须要远远多于他实际上教给学生的.下面的一切是为了帮助老师知道一些──我认为──老师应该知道的.



什么是仿射空间？什么是仿射几何？我们在前面已经指出，向量空间并不是研究几何学的合适的空间.因为其中只有向量而没有点.准确地说，只有一个特定的点：坐标原点，而所有向量都画成从这个特定的点出发的有向线段. 因为何谓有向线段并无定义，所以这里我们有点滥用词语：我们暂时规定有向线段就是具有大小，方向和起点的线段，这样来和没有起点的向量区别开来（这纯粹是我的主观的讲法，别人可能有更好的讲法）.究竟用哪个特定的点作为原点，在解决具体几何问题的实践中，这是充满玄机的事情，但是从几何学作为一门科学来说，又不应该赋予任何特殊的点以这样的特权.从物理学来看，何以要这样说就更加清楚了.例如我们研究质点的运动时，总要指定一个参考系.参考系由原点和一副框架──常用的框架是3个互相正交的单位长向量（或表示，或者用黑体字表示，本文也不求一致）──但是质点运动的规律应该与参考系的选择无关（这个说法不准确，我们也不多说了），所以不应该有哪个点有特权.下面回到正题，我们限于讨论通常的三维空间.



仿射空间里包含了两类元素：点，就是通常的点，其集合记为（其实，在我们讨论的范围内就是（为什么要用另一个记号理由见下文）以及三维向量，它们构成通常的三维线性空间.这些向量我们记作或者黑体字母，本文不求统一，想来不会引起误会）.向量之间的关系前面讲线性空间是已经讲明白了，那么，点与点的关系，点与向量的关系是什么呢？它们可以通过平行移动（即平移）来建立“亲密”的关系.最早是欧拉研究了这种亲密关系的几何问题，所以欧拉称之为“亲密（affinis，德文，亲密）几何”后来就转化为affine几何，中文就译为仿射几何，而完全看不出欧拉的原意了.这种关系可以列成三点如下；

　　1.对于任意点必可找到唯一的向量，使得在这个向量所表示的平移下，可以变成任意指定的点记作

(1)

这样我们会得到一个有向线段：有起点，以及一个向量，从而有终点，我们记此有向线段为或

2.零平移下有向线段的起点与终点重合：

(2)

3.若经过平移变成了再经平移变成则将经过平移变成就是说

(3)



图 30　仿射空间里的点与向量的关系

以上三点是定义仿射空间的公理，正如前面定义线性空间是也是应用几条公理一样.公理是无需（也无法）证明的，但是公理需要说明，这样才能懂得它究竟想解决什么问题.所以我们来进一步说明这三条公理的直觉基础.先看第一条，前面在讲向量时，我们是从线段──它同时具有3个要素：起点，大小和方向.从其中抹去起点，就得到仅有大小和方向的向量.现在要反过来，把一个向量连接到点（起点）上就会先得到一个终点，从而也就得到一个有向线段（或记为）.



第二点没有太多可说.至于第三点，这是一个极重要的定理，常称为沙尔定理.如果应用上面线段的记号，它可以写为



所以第三点可以说是指出了向量间的加法对应于有向线段的“首尾相连”，而且仍用向量的加法记号“”来表示.这里有一点容易被忽略的地方：通常的教材里讲到向量加法的图形都用平行四边形法则来表示，但是平行四边形的两个相邻的边只是“同首而不同尾”，所以不能首尾相连.但是有向线段的关系式（）却是“首尾相连”的关系式，也就是我们通常说的三角形法则.可见从把一个向量连接到一个点以后，平行四边形法则，就应该代以三角形法则；从有向线段抹去起点后则相反，三角形法则就应该代以平行四边形法则.但是，在我们的教材中这两个概念总是混起来用的.这虽然不是什么了不起的事情，但是仍以弄清楚为好.



上面我们引入了一个记号“”，使我们想到加法.但是在点与向量的关系上，它不是加法，因为只有同类的对象可以相加，而点和向量却是不同类的对象.在有向线段的情况下，则是首尾相连.总之，在目前它只是一个形式记号，但是我们马上会看见，这种形式上的类同，会给我们带来极大的方便.不过，不弄清楚可能会出麻烦.



现在我们的问题是怎样把关于仿射空间的一套理论代数化，使得不但看得清，而且也算得明.向量用坐标来代数化，已经很明白了.表示一个点需要坐标，有了坐标才能计算.但是没有原点和一组坐标轴，就不能定义坐标.坐标轴的问题需要特别注意.因为我们要讨论平移，在我们现有的能力范围内，这个平移总是被分解在三个互相正交的坐标轴上.因此下面我们总是假设取一个任意点为原点，但总是取固定的三个互相正交的坐标轴.现在我们来讨论某一点的坐标表示：取一个任意点为原点，并且习惯地记它为，其坐标自然是，的坐标是于是，我们一方面有了一个点，而是的坐标；另一方面我们又有了一个向量这样就有了一个点和一个向量的对应关系，而且很显然，这种对应是一一对应.向量称为点的位置向量.有了位置向量的概念，上面的形式记号就几乎可以完全地变成了代数计算的对象.下面，我们既认为等代表点，也认为它们代表相应的位置向量；既是一个点的坐标，也是与此点相应的位置向量的分量.当然，这里有一个事先确定了的原点，因此，所有得到的结果都隐含了一个问题：它们究竟是一个几何对象的几何性质，还是仅仅反映了特定原点的选择，而不是这个几何对象的真正的内在的几何性质.这就是我们在第二部分里面引用过的斯科特关于笛卡儿的《几何学》一书的意义时讲到过的：必须要除去（由于坐标选择的）随意性而带来的（某坐标系的）称霸这句话的含义.例如在原点的第一种选择下设的坐标是，如果以为新的原点，则的坐标将是.所以通过位置向量而赋予一点的坐标不只反映了该点的位置，也反映了原点的位置.现在可以明白了，何以前面讲到点的集合时，说它几乎就是：中有一个特定的原点，它由于坐标选择的而称霸.而中则没有这种霸道的原点.这是一个非常本质的区别.于是，仿射空间由三个要素构成：1.点的集合；2.向量的集合；3.这些向量以平移的方式把点连接起来.但是，仿射空间基本仍然是作为点的集合出现的，所以，我们时常就用来记这个仿射空间；而说这三个要素给赋以仿射结构（仿射构造）.以平移方式把起点与终点连接起来的向量则不同.因为按照上面的，把改成原点，再适当改写，即得

（4）

因此的三个分量（或称坐标）就是的位置向量的分量（或称坐标）之差：

（5）

这里的符号意义自明.由此容易看到，如果换用另一个原点，则虽然两点的坐标会改变，它们的坐标差则不会改变.所以向量和点不同，它是与原点的选取方式无关的.这说明仿射空间中的两类对象，点与向量，确实是本质不同的.



至今我们就可以把前面说到的仿射空间的基本性质完全变成代数的运算了.先看（1）式.把点看成其位置向量，把线性空间里的向量加法换成“首尾相连”.则（1）可以写成

（）

而且认为此式定义了点的减法.如果用点或者向量的坐标来表示，则是



这个定义的本质是用位置向量来代替点，即使用（）式，而且上面说了，这样得到的结果与原点的选择无关，所以这个定义是合理的；减法这种说法只是一种用语上的方便，但是确实是很大的方便.因为自然会问，能不能仿此定义点的加法呢？不妨试一试.取一个原点，并用位置向量来代替点，用向量加法的平行四边形法则求出对角线，它是点的位置向量.那么，能不能用作为点之和呢？即定义？关键在于如果换一个原点，仍然能得到吗？不行，因为我们一方面有，另一方面，由首尾相连法则有

（）

这里多出了一个！可见点的加法是不能这样定义的.这样定义出来的东西没有几何意义！然而，有一个非常重要的几何问题又逼着我们这样来定义一个非常重要的几何实体，这就是有向线段的定比分点.



设有一个有向线段（图31上把它画在一条有向直线上，并在上标明了其方向）.再取其上一点，则因与有相同或相反方向，所以一定存在一个实数使得.这个就称为分割的定比.如果与有相同方向则





图 31 定比分点

而在方向相反时，则图25的三种情况分别是



注意当与重合时，而当与重合时我们现在的任务是把用和表示出来.为此我们任意地选取原点，并且把各点用相应的位置向量标示出来.于是，



如果换一个原点，本来也会得到上式，但是我们还是仿照前面说明点的“加法”与坐标原点选择有关的方法再来证明定比分点公式与原点选择无关.于是我们有



比较第二项与最后一项，消去，即得

（7）

与（6）式比较，那里多了一个，使得结果与坐标有关.现在则因有两个系数，其和为1：所以不会多出不需要的.可见，系数和为1是一个重要的情况.既然所得的结果和点的减法相似，我们也就可以把（7）写成

（8）

并且称之为定比分点的公式，其意义自然应该从位置向量来理解.



（8）式是一个非常重要的公式.前面我们讲到平面旋转时，曾经说旋转概念是数学里的一个交通枢纽.实际上，定比分点也与一个交通枢纽(可能不那么大)点系的平均位置相联系，可惜在目前的高中教材里，多数情况下只讲了（即中点）的情况.更使人感到遗憾的是只限于的情况，只限于内分点，即图31的第一种情况.而在另外两种情况，即外分点的情况都略去不提.总之，我们可以通过某个参数的符号来确定各种不同的情况.现在我们的教材似乎一概忽略的这个情况，这对于学生是很不利的：稍微花一点力气，今后就会得到很大的回报，这种事情何乐不为！



有了中点公式以后，自然要讲到重心定理的证明.这就更加接近我们说的交通枢纽了.什么是重心？下面我们会看到，重心可以说是一些质点的“平均”位置，而“平均”可是一个非常重要的概念.现在的许多教材(特别是教辅材料)多是利用例如中位线以及相似三角形来证明重心定理的.有一些刊物上也讲到其向量证法，可惜很少有真正抓住“平均”这个本质的思想的.很可能这是因为在八年级就要讲重心的缘故.但是，无论如何，重心从几何角度来看是一个仿射性质，所以应该尽可能地使用仿射几何的概念与方法.但是，从历史来看，重心问题的研究始自阿基米德，他是把重心作为一些质点的“平均”位置来看的.大家知道，阿基米德的名言是：给我一个支点，我能把地球举起来.这是讲的杠杆原理，而重心问题用杠杆来说明最为简便.所谓杠杆原理，也可以解释为：杠杆的支点就是其两端两个重物的平均位置.抓住了支点，也就抓住了整个杠杆.三角形的重心的求法归功于阿基米德，我没有能够找到他的原来的解法.他的原著到1906年才被发现，是写在一本羊皮书上的，人称“阿基米德羊皮书”.我想到网上去浏览一下原书，可惜没有成功，只是知道了阿基米德在这里用的也是“平均”位置的概念.所以我也试着从力学角度来看一看重心是什么意义，以便弄清上面的（8）式在力学上说明什么.总之，下面的讨论都是从两个方面来进行的，即几何的讨论和力学的讨论并行，并且随时注意二者的比较和关联.

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