算符Ĵ与Ψ组成的算式 Ψ是一个函数，那么ĴΨ可以有很多的取值（根据Ψ取值决定），那么，对应不同的Ψ，如果可以

65楼

现在我们看粒子在橙色（百度）区域内的运动情况：
这个区域内，力场势能U(r)=U≠0，于是：我们粒子的薛定谔方程（能量状态微分方程）必须老老实实写成：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+UΨ

解得波函数ψ=Ce^(-αx)+De^(αx)
其中α²=8ππm(U-E)/h²>0（读者不需要知道怎样求解，更不需要记住这个结果）

这里同样，Ce^(-αx)是沿着负方向运动的粒子的波函数，De^(αx)是沿着正方向运动的粒子的波函数。

现在我们主要看看α²=8ππm(U-E)/h²>0这部分。

我们知道U是粒子在力场内势能，也就是力场对粒子做功的累积，E是粒子进入力场前的动能。

我们看一个极端情况，假如U→∞（也就是力场势能趋近无穷大），那么，假如我们这个力场是阻碍粒子运动的，那么，粒子相当于受到近乎无穷大的阻力，假如这个情况在力场区域（橙色）边缘就成立，那么粒子将无法进入力场区域内部很深的位置。
这是经典力学的结论。

但是我们看我们得到的结果，ψ=Ce^(-αx)+De^(αx)，无论U怎样大，在力场区域内部任何坐标x位置，粒子波函数都不是0！！！
也就是说，由于粒子波函数的模方是几率密度，那么，说明粒子在力场内部任何位置的出现几率都不是0！！！
也就是说，粒子可以有一定概率进入力场内部的深处！！！

2009-8-21 13:03 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
66楼

那么，根据经典力学我们得到的结果只有上图左侧的力场把粒子反射的情况，而根据量子力学薛定谔方程计算得到的结果，还包含上图右侧粒子“神秘地”进入了超强阻力场内部的情况！！！

这种现象，在实验中也被观测到，量子力学很多实验发现，微观粒子的运动是很不守规矩的！！它们可以按照一定概率“跳跃”运动到不应该出现的位置。
这种跳变是严重违反经典力学的。

这就是量子世界的神奇风貌之一。

2009-8-21 13:07 回复

短命郭嘉
9位粉丝
67楼

量子力学的建立，就好像一群侦探在错综复杂的线索中，整理出真相来……

2009-8-21 13:12 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
68楼

我们说，所有的物质，之所以占居空间体积，不允许其他粒子穿越，原因就是物质本身有阻碍外部粒子进入物体内部的力场（通常是电磁场）。

那么，我们用具有强大阻力场的物体作为一道墙，来阻挡粒子，结果却是和铁板挡住乒乓球完全不同的，照样会有粒子大摇大摆地穿过墙壁前往墙壁的另一边。

有些科学家认为，粒子的穿墙本事才是王道，是这个宇宙中物质运动的基本规律，那么为什么乒乓球从来不能穿越铁板呢？

原因非常简单！！在统计学中，一个粒子发生某个情况的概率是a的话，两个粒子同时都发生这个情况的概率就是a²，三个粒子同时发生这个情况的概率就是a³.....n个粒子同时发生这个情况的概率就是aⁿ。

假如a=0.1(概率都是不超过1的)，那么像乒乓球这样由上万亿亿个粒子构成的物体，整个穿越铁板的概率就是0.1的万亿亿次方，也就是0.000000000000000000000000000000000.......0000001

也就是说，从宇宙出生到现在上百亿年也不可能发生一次乒乓球穿越铁板的事情。因为概率太低！！

2009-8-21 13:18 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
69楼

今天到此为止，下次继续

2009-8-21 13:19 回复

短命郭嘉
9位粉丝
70楼

从宇宙出生到现在上百亿年也不可能发生一次乒乓球穿越铁板的事情
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乒乓球和铁板共存的时间不过才几百年……

2009-8-21 13:22 回复

tyj518
3位粉丝
71楼

我觉得65楼的求解有一些问题。如果问题是一维的，势场是V=V0θ(x)的形式，那么e^(αx)项是不能出现在解里面的，因为它在无穷远处blow up。那么就剩下e^(-αx)这一项了，当V0->无穷大时它是趋向于零的。也就是说，当势场在x>0时是无穷大的话，粒子是不能出现在这个区域里的。

2009-8-21 14:09 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
72楼

很多书上把U(r)Ψ说成场势，但是实际上它是粒子在力场内的势能。
阻力场势再大，粒子还是有继续减速的过程（即使很短暂）。
但阻力势能只要超过粒子初动能，就表示粒子不能继续运动了。

方程求解过程不是严格的，我甚至没有声明是对一维情况求解，因为这对于我这个帖子所面向的读者来说根本不重要，我也不是要讲述数学过程，但即便如此，这个解仍然没有问题，它本身是对普通情况的求解，而不是极限情况，所以一定有那两个项Ce^(-αx)和De^(αx)同时存在。

至于U→∞，不是严格站在数学意义上这样说的，也不是求解薛定谔方程的初始条件（求解的初始条件是非极限的普通情况），之所以这里这样说，只是为了给出一个夸张的条件，让读者印象比较深刻，因为稍微有数学知识的都知道数学上严格要求U→∞时，必有ψ=0才能让薛定谔方程成立。

本贴的讨论中，只是强调在一个可以让粒子进入力场区域立刻停止运动的条件下（此时要求的阻力势能不需要真得很高，实际上更不需要非得是趋近无穷大），方程的解成立，且包含违反经典力学的项。

2009-8-21 15:35 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
73楼

本贴的所有内容都不作严格的数学推论，这在本贴最初已经说明了。本贴面向的主要是刚上大学，或者非理工专业的大学生，以及高中读者。

严格数学证明和推导请自己去看相关教材和专著。

2009-8-21 15:42 回复

tyj518
3位粉丝
74楼

我觉得即使对于普通情况，e^(αx)项也是不能存在的，如果这一项存在，那么它是不属于希尔伯特空间的，因为它无法做到平方可积，既然不属于希尔伯特空间，那么它就不是有意义的物理解。

不过显然，ψ=Ce^(-αx)这个解已经足以说明它与经典力学的不同之处了，即使我们不要求U->无穷大，因为这个解的适用条件就是U>E，即势能U大于粒子总能量E的情况。显然，即使势能大于粒子的总能量，粒子依然有非零的概率出现在V=U的区域，而这是经典力学不允许的（否则动能为负）。换句话说，论述这个情形是不需要假设U很大的。

2009-8-21 16:04 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
75楼

你说得没错，但是解确实是含有两项的（在数学上来说），至于是否都符合所谓希尔伯特空间，不是这个帖子的层次可以讨论的问题。
另外，这两项解可以看作是两个传播方向相反的波（各自具有实部和虚部），而且我们在讨论场势能大小前，是假定了一般情况的，所以我们的求解是需要涵盖一般情况的。

至于您所说的“不需要假设U很大的”我在72楼已经说过是这样的，我要假定U很大是个读者一个鲜明印象，OK?

2009-8-21 16:11 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
76楼

你说得没错，但是解确实是含有两项的（在数学上来说），至于是否都符合所谓希尔伯特空间，不是这个帖子的层次可以讨论的问题。
另外，这两项解可以看作是两个传播方向相反的波（各自具有实部和虚部），而且我们在讨论场势能大小前，是假定了一般情况的，所以我们的求解是需要涵盖一般情况的。

至于您所说的“不需要假设U很大的”我在72楼已经说过是这样的，我要假定U很大是给读者一个鲜明印象，OK?

2009-8-21 16:12 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
77楼

如果您的知识层次已经足以理解比本贴更深层的东西，那么请保持缄默，本贴仅提供给连量子力学基本印象都没有的同学看。
搞得太高深，就失去本来的意义了。

高手有问题可以另开贴讨论。

2009-8-21 16:14 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
78楼

我不希望高手们进来扯一些非“初级”的东西，因为你说的东西，初学者看不懂，而且会破坏我这个帖子的初级水平讨论模式。

2009-8-21 16:16 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
79楼

科普贴，谢绝专家

2009-8-21 16:17 回复

banshourenly
13位粉丝
80楼

71楼存在一定问题，这个形式的解只存在于U不为零的那个小区域中，所以e^(αx)项是可能出现在解里面的，因为不存在它在无穷远发散的问题，结合区域的边界条件，以及总体波函数的归一就能确定此系数

2009-8-21 16:26 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
81楼

回复：【仅供参考】图说量子力学
量子力学的建立，就好像一群侦探在错综复杂的线索中，整理出真相来……


作者：短命郭嘉2009-8-21 13:12 回复此发言
——————————————

切，就是盲人摸象，除了Dirac符号和Feynman路径积分外，没什么地方漂亮了。

2009-8-21 17:12 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
82楼

唉...现在这东西一定要萌化才有人看= =

2009-8-22 22:03 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
83楼

上次说到，由于薛定谔大虾给出了一个薛定谔方程，使得量子力学众师兄弟得以解释宏观物体的物理规律为什么和微观物体有那么大差异。

比如，微观粒子的运动都是跳变的，能量状态都是量子化（不连续取值，且只能取特定的离散值，读者可以把离散理解为取值是在数轴上的不相邻的一系列点）的，而在宏观世界，运动都是在时空内具有连续轨迹和过程的，能量状态可以取连续值。

根据薛大虾的方程，我们知道这些宏观性质不仅仅部分由粒子数量巨大“模拟”出的宏观连续性（所谓模拟，就是由于粒子数量太过巨大，每个粒子的状态改变对于宏观物体整体而言是极其微小的，所以近似可以看作宏观物体是连续变化的），还包括真正的宏观连续性，这个连续性来自于粒子间的相互作用形成的整体效果的贡献，这部分显然是独立于粒子的量子化性质之外的宏观性质部分。

2009-8-23 10:58 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
84楼

今天我们要请出另一位大神：不确定性原理。
在这之前我们要介绍量子力学中让众多人不敢靠近量子力学的大护法-----算符。
据说，由于这位大护法的存在，导致众多“民间科学妄想家”对量子力学避而远之，护法真是功不可没。

让我们来看看这位大护法到底是什么样子的吧。

2009-8-23 11:01 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
85楼

我们小学时代肯定都学过加减乘除四则运算，它们都有自己的运算符号＋－×÷。
说白了，算符就是运算符号。

不过，量子力学里面的算符，不是加减乘除乘方开方对数的算符，也不是三角函数算符，而是微分算符。

微分是微积分数学中的一种运算，不是对常数的运算，而是对变数的运算，运算效果就是把一个变数变成另一个变数。

简单来说，一个变数y如果是随着另一个变数x的改变而对应该变的，那么，y的改变量（改变量就是这个两变化前后的取值的差值）Δy与x的改变量Δx的比值叫做y变量的变化率Δy/Δx。

这个变化率Δy/Δx在Δx趋近于0的时候的极限值就叫变量y的导数y'。写作y'=dy/dx。由于Δy和Δx有很多取值，所以对应的dy/dx也有很多取值，所以导数y'=dy/dx也是一个变量。

实际上dx就是Δx的另一种写法。所以如果咱们知道y'，可以把dy表示成dy=y'dx（这里是导数y'和dx相乘）。这个dy就叫做y的微分，它也是变量。

简单来说，变量y的微分就是它对x的导数y'与x的改变量的乘积。就这么简单，没什么更复杂的。数学上的东西就是这样，规定一个算法，你就照着算就得了，这恭喜可能有其他的意义（比如几何意义或者物理意义），你不一定非得都知道。对你来说知道了也不一定有用。比如在我们这个帖子里，你知道那些东西也不会有什么用，你就算不知道，也不影响你继续看下去。
现在你只需要知道，dy就是通过d这个运算符号对y求微分运算。

微分算符也有好多种，例如全微分算符d，偏微分算符∂，偏微分实际上不存在，只是这么叫，存在的东西只有偏导数。
假设一个变量z随着另外两个变量x,y的变化而变化，那么，z就可以分别对x和y求导数：
∂z/∂x和∂z/∂y，这里之所以不用d，是因为z同时随着x,y变化，而不仅仅随着x或者y其中一个变化，可以说，z是同时受到x和y的共同影响的，不像前面的例子里y只受x影响。
而且，不存在偏微分∂z这么个东西。

所以呢，现在你大概只需要知道有这么两个运算符号d和∂就行了。
我们现在要请出算符大护法了。

2009-8-23 11:26 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
86楼

前面我们介绍过劈形算符∇，它实际上就是：
∇=(∂/∂x)i↑+(∂/∂y)j↑+(∂/∂z)k↑
这里i↑和j↑和k↑是x,y,z坐标轴上的单位矢量。

读者不需要记住这个算符的写法，因为它和咱们简单介绍量子力学的目的没有关系。我这里写出来就是让大家过过眼瘾而已。

它实际上是3个“算式（之所以加引号，是因为这个算式只有运算符号）”∂/∂x和∂/∂y和∂/∂z分别和i↑和j↑和k↑相乘再相加。

一般来说，如果有个波函数Ψ，把它和劈形算符放在一起，写成∇Ψ，就表示算符∇对Ψ运算，那就是三个算式∂/∂x和∂/∂y和∂/∂z分别要对Ψ进行运算，那就是：
∂Ψ/∂x和∂Ψ/∂y和∂Ψ/∂z，就是Ψ对x,y,z的三个偏导数。

∇Ψ=(∂Ψ/∂x)i↑+(∂Ψ/∂y)j↑+(∂Ψ/∂z)k↑

2009-8-23 11:40 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
87楼

那么，假如我随便给出一个算符Ĥ（通常管这个叫哈密顿算符），如果我写出ĤΨ，你就应该知道，这不是Ĥ和Ψ相乘，而是Ĥ算符和波函数（函数也是变量）写成一个求导数的算式的意思。

------------------------
本段仅作为题外话：量子力学中，
Ĥ=iħ∂/∂t=-0.5ħ²∇²/m+û(r)（这里û(r)也是个算符）
对应了粒子的能量，哈密顿算符也叫能量算符，有两种写法，正好可以和波函数Ψ组成薛定谔方程。
ĤΨ=iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+û(r)Ψ
这部分只是给大家过眼瘾，你可以看过就忘。
------------------------

2009-8-23 11:51 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
88楼

在量子力学里，只要我们有了一个粒子的波函数Ψ，就能通过量子力学中各个物理量对应的算符与这个Ψ写成算式计算对应的物理量。

比如上面的Ĥ是能量算符，ĤΨ就是计算能量的算式，它表示粒子的能量。单独的Ĥ不能表示能量，因为它只是个运算符号，还需要运算操作数Ψ来组成完整算式来表示能量。

量子力学中，每一个物理量都对应了自己的算符，例如：
1--坐标的算符是ř=r，与Ψ合写就是řΨ=rΨ，这里的r不是一个微分算符，而是一个变量，所以rΨ表示r和Ψ相乘。这是算符表示的一种特殊情况。
2--动量的算符是Ρ=-iħ∇，与Ψ合写就是ΡΨ=-iħ∇Ψ=-iħ(∂Ψ/∂x)i↑-iħ(∂Ψ/∂y)j↑-iħ(∂Ψ/∂z)k↑
3--能量算符Ĥ详见上面。
4--角动量算符Ľ=ř×Ρ=-iħř×∇
其他略（其实敝人也记不起来了，哇哈哈哈）

2009-8-23 12:07 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
89楼

4--角动量算符Ľ=ř×Ρ=-iħř×∇，与Ψ合写就是ĽΨ=(ř×Ρ)Ψ=-iħř×∇Ψ==-iħr×(∂Ψ/∂x)i↑-iħr×(∂Ψ/∂y)j↑-iħr×(∂Ψ/∂z)k↑

2009-8-23 12:12 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
90楼

我们看到řΨ=rΨ，ΡΨ=-iħ∇Ψ是两种典型情况，前者虽然是算符与波函数写成的算式，但却只是一个量值与波函数的乘积，而后者才是真正意义的求导算式。

这就提示我们，有些情况下，总可以找到常数λ满足：
ĴΨ=λΨ
也就是一个求导算符Ĵ与波函数Ψ组成的算式可以等效于一个常数λ与波函数Ψ的乘积。
这样的常数λ叫做算符Ĵ的一个本征值。

显然，|Ψ|²是几率密度，我们在计算几率时，虽然要把几率密度乘以空间体积，但那时的体积是作为纯数量处理的（没有体积的物理量纲），得到的几率是个纯数量，说明|Ψ|²是纯数量，则Ψ也就是纯数量（其实在前面我们介绍“归一化”，也就是40楼也说过把Ψ从一个振幅函数变成一个纯数量函数）。

那么，既然一个物理量算符Ĵ与Ψ组成的算式可以表示一个物理量，那么就说明算式ĴΨ整个具有对应物理量的量纲。例如ΡΨ具有动量的量纲。

那么，假如能找到常数λ满足ĴΨ=λΨ，就说明λΨ也具有ĴΨ所表示的物理量的量纲，而Ψ是纯数量，则说明λ本身是具有ĴΨ所表示的物理量的量纲的常数。
所以，λ本身是ĴΨ所表示的物理量的一个取值。

2009-8-23 12:27 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
91楼

由于我们知道Ψ是一个函数，那么ĴΨ可以有很多的取值（根据Ψ取值决定），那么，对应不同的Ψ，如果可以找到不同的λ分别保证ĴΨ=λΨ的成立，那么就是：
ĴΨ₁=λ₁Ψ₁
ĴΨ₂=λ₂Ψ₂
ĴΨ₃=λ₃Ψ₃
ĴΨ₄=λ₄Ψ₄
。。。
ĴΨø=λøΨø
Ø为正整数序号。
我们对应得到一系列几率密度和对应的物理量值：
ĴΨ₁=λ₁Ψ₁时几率密度|Ψ₁|²对应的物理量值λ₁
ĴΨ₂=λ₂Ψ₂时几率密度|Ψ₂|²对应的物理量值λ₂
ĴΨ₃=λ₃Ψ₃时几率密度|Ψ₃|²对应的物理量值λ₃
ĴΨ₄=λ₄Ψ₄时几率密度|Ψ₄|²对应的物理量值λ₄

这表明，通过ĴΨ这种数学操作，我们已经可以把粒子某一物理量的每一个可能量值与该量值在空间中出现的概率直接联系起来！！！


（本段在一般物理书中很难找到，请大家引起重视，这段是量子力学中的最关键内容）

2009-8-23 12:36 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
92楼

也就是说，量子力学的数学方法可以直接把物理量的取值和该取值得发生概率直接对应起来。

所以，我们在研究量子力学问题时，可以直接通过量子力学的算符与波函数结构同时研究物理量取值和发生概率的对应。这是量子物理学家们的伟大智慧的体现之一。

之前我们说过，量子力学主要是从概率统计角度来研究事物，而这种数学方法刚好可以满足需要。

2009-8-23 12:40 回复

吃碰杠听胡
96位粉丝
93楼

量子力学的算符Ĵ都是厄秘算符，满足：
∫Ψ*ĴΦdx=∫(ĴΨ)*Φdx

说明：Ψ和Φ是两个波函数（复变的），Ψ*表示Ψ的共轭函数，
(ĴΨ)*表示Ĵ和Ψ组成的函数ĴΨ的共轭函数。

对于厄秘算符Ĵ，假如能找到一系列λ都满足ĴΨ=λΨ，那么每个λ都一定满足：
λ*=λ
即λ的共轭复数等于λ自身，学过复数知识的朋友就会知道，λ一定是实数。

这表明，量子力学中任何物理量的取值都是实数值。