希尔伯特空间 维数与自由度

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希尔伯特空间 维数与自由度(2006-07-10 15:01:17)
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希尔伯特空间是人为构造的抽象空间，其基矢为不同本征值的本征矢构成（不考虑简并的情况），对于厄密算符（物理量的算符皆为厄密算符），其不同的本征值的本征矢皆正交。所以厄密算符的所有不同的本征值的本征矢可以构成一组基矢，并且这组基矢是完备的，便构成一个空间，即希尔伯特空间。所以空间的维数等于本征值的个数。
在自由单粒子的一维运动中，坐标的本征值是连续的，因而是无穷的，其本征矢也是无穷的，由坐标本征矢构成的希尔伯特空间的维数也是无穷的。此空间中任一态矢量都是基矢，所以此空间中坐标态矢量的函数形式为δ（x-x')的形式，即任一状态的矢量都与对应的基矢重合，在其他基矢上投影为0，而且此空间基矢归一化为δ函数，而不能归一化为1。
对于任何本征值为连续的算符的表象空间中皆如此！
对于本征值为间断且有限的算符的表象空间的维数是有限的。
对象的自由度指在对象的运动过程中相互独立变量的个数（如在三维空间中运动粒子的三个方向矢量）这些独立变量中任一变量（如x方向矢量）的本征矢皆可构成一个希尔伯特空间，空间的维数取决于此变量的本征值个数（非简并）。但所有独立变量构成的希尔伯特空间可构成一直积空间（大的希尔伯特空间Ix>Iy>Iz>),此直积空间便是所谓算符完备组的基矢Ixyz>构成的空间。所以对象的自由度即算符完备组算符个数。
（^_^，高手表笑我，这些基本概念弄了很久才搞清楚。）