量子力学中的对称与守恒 即任何一个不显含时间的力学量L，其算符与哈密顿算符对易，它便是一个运动积分，

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第7卷第2期
2002年4月
株洲师范高等专科学校学报
JoU RN A L 0F ZH U ZH o U T EA CH ERS COLI EG E
V0L 7 No．2
ADr 2002
量子力学中的对称与守恒
李中奇
(株洲师范高等专科学校，湖南株洲412007)
摘 要：从力学t平均位随时间的变化入手，得到量子力学中守恒t的两个重要特点和几个重
要的守恒t ．说明对称与守恒问的密切联系是在量子力学发展以后才更显著的．
美键字：力学量平均位；对称；守恒
中国分类号：043．1 文献标识符：A 文章编号：1009．1432【2002)O2一O028一O4
Symmetry and Conservation in Quantum Mechanics
L1 Zhong qi
(Department of Adult EducationtZhuzhou Teachecs College，Zhuzhou，Hunan 412007．China)
Al~'lradjTwo major characteristics and some conservatlon values ale concluded from the fact that the r—
age value of force varies with time．It is illustrated that the close relation between symmetry and conseFvation
became mole obvious only after the developement of quantum mechanics
．
Keyword：the average va／ue of force；symmetry；conservation
引言
杨振宁教授说过：“这些守恒定律的重要性虽然早已得到人们的充分了解，但它们同对
称定律间的密切关系似乎直到20世纪初才被清楚认识． 量子力学发展起来以后，物理学
的语汇中才开始大量使用对称观念．描述物理系统的状态的量子数常常就是表示这系统对
称性的量．对称原理在量子力学中所起的作用如此之大，是无法过分强调的．”[
在经典力学中，一个体系的力学量在运动过程中保持不变，这种力学量称为守恒量，或
者叫运动积分．守恒定律与体系对称性之问有着密切的联系，早为物理学家所重视，然而这
种紧密联系被广泛运用，是在量子力学发展以后才开始的．
本文就量子力学中的力学量平均值随时间的变化来探讨早期量子力学中的对称与守恒
关系．
收稿日期：2001—12-21
作者简介：辛中奇(1947一)，男，山东淄博^ ．株刊师专副教授，从事量子力学和电动力学教学与研究
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李中奇：量子力学中的对称与守恒
1 力学量平均值随时间的变化
龊幽甄 ( ￡)所硒还写的弑悉中，力学量L的半均值为：
(f)= ( ) 'f)
则面d( )=』 恤+』 妇+』 ￡ d ． 由薛定谔方程
一 自 ，等一一 (疗 )以及月的厄密算符性质，有
警一 3 L"dz+ (L／：／一HL)~dz (1)
= L~ aL
十
1 L-
，厅)]灿 (2)
简记为等一 + ( )． (3)
引入力学量L对时间导数的算符警，并定义警= dL 出； dE．
比较(2)式，{；~．_d
出
L O L
￡ z
1
n
-L，冉]． (4)
上述定义表明 一个力学量的平均值对时间的导数等于这个力学量对时间的导数的平
均值．(4)式给出了算符随时间变化的规律．即算符运动古稃．
2 量子力学中守恒量的两个特点
量子力学中的运动积分，与经典力学中的相似，由(4)式应有
dL aL+~EL，自]=o 、
即任何一个不显含时间的力学量L，其算符与哈密顿算符对易，它便是一个运动积分，
或者说，它是一个守恒量．
考虑到 dE一面dL
一
dL
若力学量L不显含时间，且[￡，月]=o，则有 ( )一0． (5)
(5)式表明，力学量L在体系的任何态下，平均值不随时间变化．这是量子力学中守恒
量的一个特点．
考虑到力学量L为守恒量，算符￡与月对易，它们有共同的本征函数 ( )
￡ ( )=L ( )， ( )一E ( )．
任意波函数 ( ， )可按本征函数 ( )展开， ( ，￡)=Σc ( ) ( )，
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栋洲师范高等专科学校学报 2002年第2期(总第2j期)
其中 ( )一l (z) (z． )dx．利用薛定谔方程及 的厄米性．有 杀型=鲁c，．(z)．
解上述方程，得 (f)=C ( ) n ，则有：c (￡) 一 (口)I：一恒量 (6)
(6)式表明，若力学量L是守恒量．则力学量L在体系的任何态下，其几率分布不随时间变
化．这是量子学中守恒量的第二个特点．
由此可推出以下两个结论：
(1)当t=O时，体系处在守恒量L的一个本征态， 有确定值，则以后任何时刻它都有
确定值；体系保持￡的同一个本征态．
(2)若￡一0时，体系并非处在￡的一个本征态，体系的态可按￡的本征态展开，力学量
L不具有确定值，则以后也不会具有确定值．
3 量子力学中的几个守恒量
综上论述，可得出结论：凡满足[￡，自]一O的不显含时间t的力学量称为体系的一个守
恒量，或称力学量￡在运动中守恒．
下面是量子力学中几个守恒量的具体例子．
3．1 自由粒子的动■守恒
自由粒子哈密顿算符为冉= r．显然，[p，启]一0，且P不显含时问t，所以自由粒子的
动量是守恒量．
3．2 有心力场中，角动■守恒
在有心力场中，势能【，仅是矢径r的函数：U U(r)，哈密顿量矗可写成：
1I= (， + 一U(r)
角动量平方箅符 及角动量的三个投影箅符￡ 、￡ 、￡：仅与日和 有关．与r无关．因
此．这四个箅符均可与H 相对易．且不含时问t．故在有心力场中．角动量平方和角动量分量
(P 、￡ 、￡，、￡ )都是守恒量．
3．3 哈密顿■不显含时间的体系．能■守恒
体系哈密顿箅符自不显含时问￡·则： dH= [j厕三。
在这种情况下，哈密顿量与总能量箅符是一致的，这表明：在与时间无关的力场中，总能
量是一个运动恒量．这就是量子力学量中的能量守恒定律．
3．4 哈密顿算符冉空间反演不变时，字称守恒
空间反演是把一个函数的所有坐标宗量改变符号的运算．用户表示这种运算：
P ( ，y， ，￡)= (-38， Y，一2． )，我们称p为宇称箅符．显然，宇称箅符为线性厄
密箅符，且不显含时间t．
若体系的哈密顿算符矗空间反演不变：
H ( ．Y， ，￡)= H (一z，一Y，一 ， )
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李中奇：量子力学中的对称与守恒
定律
对于任意波函数 (r，￡)，有：
户只(，) (r，￡)一舟(-r) (一r，￡)一只(一r)户 (r，￡)一冉(，)户 (，， )．
所以户冉一只户，即[户，H3=0，这表明宇称是运动恒量，这就是量子力学中的宇称守恒
4 对称与守恒
德国数学家魏尔1951年给出了关于对称性的严格定义：对一个事物进行一次变动或操
作，如果经此操作后，该事物完全复原，则称该事物对所经历的操作是对称的 j．在量子力学
中，一次变动或操作，可看成变换Q作用于渡函数 上，使其变为∥． 一∥一Q
这种操作的对称性表现为 和 满足相同的运动方程，即：m 一冉 ；m 一冉 ．
将 一Q 代人，得： h Q 一只Q 运用逆变换Q_。，可得：ih 一QI1ROe．比较以上各
‘ 口L
式，得：Q R0=舟，Q官=月Q，即有：[Q，只]：o．
这种对称性操作，总可以找到相对应的力学量F ，使[F，冉]一o，即F是一个守恒量．
它与体系在变换(操作)Q下的对称性相联系．由此，关于物理定律的对称性有一条重要定
律：对应于每一种对称性都有一条守恒定律．这在量子力学中，体现得更为明确．例如：空间
的均匀性对应于动量守恒；空间的各向同性对应于角动量守恒；空间的反演对称对应于宇称
守恒}量子力学中的相移对称对应于粒子数(量子数、轻子数、电荷等)守恒；时间的均匀性对
应于能量守恒．
参考文献：
[1]插掘宁．基本牲子及其相互作用[M]．长涉 湖南教育出版社，1999．4—5
[2]张三慧．力学[M]．北京：清华大学出版社、1999．240-243．
[33曾谨言．量子力学[M]．北京；科学出版社、1982．176．
(责任编辑：曾广慈英文译校：文爱军)
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