波函数所在的希尔伯特空间，假如是位置表象，则是每一个空间点对应一个维度，而不像相空间那样一个自由度就对应一个维度。只有位置算符的

来源: marketreflections 于 2010-05-27 09:19:33 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (13536 bytes)

http://www.fxkz.net/viewthread.php?action=printable&tid=1975

牛顿第二定律作为力的定义是恒成立的，作为可预测物体行为的方程是给出力场的具体形式的动力学方程。但是当考察物体的运动线度可以和该物体的德布罗意波长相比拟时，由于测不准原理，物体的动量和位置已经是不能同时准确获知的量了，因而牛顿动力学方程缺少准确的初始条件无法求解。也就是说经典的描述方法由于测不准原理已经失效或者需要修改。量子力学用希尔伯特空间中的态矢概念代替位置和动量（或速度）的概念来描述物体的状态，用薛定谔方程代替牛顿动力学方程（即含有力场具体形式的牛顿第二定律）。
用态矢代替位置和动量的原因是由于测不准原理我们无法同时知道位置和动量的准确信息，但是我们可以知道位置和动量的概率分布，测不准原理对测量精度的限制就在于两者的概率分布上有一个确定的关系。

[ 本帖最后由 philics 于 2009-3-19 23:02 编辑 ]
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-19 14:34

[[波矢]]是有定义的。
维基百科上的波矢http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E7%9F%A2
波矢k的数量是波数(|k|=2π/λ),它的方向表示波传播的方向.
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-19 14:43

XiErBote空间里面的矢量在量子力学里面叫态矢，态矢量是确定的。
引用:
用波矢代替位置和动量的原因是由于测不准原理我们无法同时知道位置和动量的准确信息，
测不准原理反映我们不可能同时知道位置和动量的准确信息，但是不是用波矢代替位置和动量。
态矢表示状态，态矢的空间上的动量算符和位置算符代替动量和位置。

波函数只是态矢量的那啥，量子力学里面波不是特别的东西。

[ 本帖最后由无语问长天于 2009-3-19 15:27 编辑 ]
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作者: sage 时间: 2009-3-19 14:55

We want to use wave-function because it makes sense, not because we cannot measure position and momentum.

Wave-function + measurement theory of quantum mechanics -> uncertainty principle, not the other way around.
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-19 15:43

引用:
用薛定谔方程代替经典力学的动力学方程后
动力学变量从位置和动量变成了和力学变量概率分布相关的波函数。波函数的模方即是该力学量的概率分布函数。
虽然表示动力学的变量确实变成了波函数，而且通过测量理论和力学量的概率联系了起来，但是位置和动量直接变成的不是状态函数，是位置算符和动量算符，况且HaiSenBao绘景的动力学变量也还是动力学量...算符。

[ 本帖最后由无语问长天于 2009-3-19 16:57 编辑 ]
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作者: philics 时间: 2009-3-19 16:12

引用:
原帖由 sage 于 2009-3-19 14:55 发表
We want to use wave-function because it makes sense, not because we cannot measure position and momentum.

Wave-function + measurement theory of quantum mechanics -> uncertainty principle, not the ot ...
测不准原理是可以用经典的语言来描述的，是一种实际的效应。态矢在薛定谔方程中的作用不是就相当于哈密顿方程的位置和动量么？
从历史的角度讲当然不是按我说的那样，但是反思下为什么要从经典力学过度到量子力学应该就是我说的那个原因吧，即主要是由于测不准原理导致的效应。否则无法描述电子在原子核附近中的行为，因为一般电子在被原子核束缚时其得布罗意波长是与电子运动的尺度差不多的。通常理解的量子力学是适用在微观世界的说法是不太科学的，只有当该物体物质波尺度与我们要考察的物体的运动的尺度差不多时量子效应才体现出来。

[ 本帖最后由 philics 于 2009-3-19 16:40 编辑 ]
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作者: philics 时间: 2009-3-20 21:28 标题: 回复 3# 的帖子

经典力学动力学方程的相空间是正则动量和正则坐标的空间，
薛定谔方程的相空间是希尔伯特空间。
从这个角度讲正则动量+正则坐标就对应了态矢。
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-20 23:26

相空间的概念很惭愧我确实不懂
不过当时修改#5帖子的时候大概已经理解到你的意思了，描写动力学的时间演化的变量在XueDingE方程里边就是含时间参数的态矢，这个角度上说肯定是正确的。
关键，再将态矢写成位置(或者动量)表象上的波函数，由波函数的力学量统计概率含义，和经典力学方程中出现的可以取定的同一力学量对比，确实构得成量子力学和经典力学之间你要表达那种对照与关联。

[ 本帖最后由无语问长天于 2009-3-20 23:53 编辑 ]
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-21 00:10

但是，换一个意义来说
经典HaMiDun正则运动方程，经过一次正则量子化之后，直接得到的是量子力学的HaiSenBao方程，正则动量和正则坐标直接对应HaiSenBao方程的动量算符和位置算符，它们随时间变化，方程由他们的对易式表出。

这样来比照，我个人感觉更顺畅、不别扭，个人感觉更要紧的是这样的对照对经典力学更不那么依赖。
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作者: 季候风时间: 2009-3-21 06:35 标题: 回复 7# 的帖子

态矢没有经典对应，如果非要牵强附会，其经典类似物应该是 Hamilton 主函数 S(q,q',t). 它生成的一族正则变换恰好是系统的时间演化，同时它也是定点真实运动的作用量。它满足 Hamilton-Jacobi 方程。而量子力学里的波包，其 Schrodinger 方程在经典近似下正是波包的相函数满足的 Hamilton-Jacobi 方程。

Heisenberg 运动方程显然是完美的经典类比，它具有同 Hamilton 正则方程完全一样的形式。在量子力学里，坐标和动量仍然具有意义。
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作者: 星空浩淼时间: 2009-3-22 11:21 标题: 回复 7# 的帖子

你这个说法不对。
Hilbert空间是状态矢量所构成的完备的内积空间，而相空间就是相空间，从经典力学到量子力学只有一个相空间概念。
魏格拉通过引入准分布函数而建立量子力学的相空间表示（准分布函数具有概率分布函数的特征但不是正定的，所以只是“准”的），如果一定要把量子力学中的Hilbert空间与相空间联系起来，那么用一个不怎么准确的说法那就是：相空间相当于底空间，而张成Hilbert空间的状态矢量，相当于底空间上的纤维。（准确的描述我忘了，记得Hilbert空间整体好像对应一个截面）
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作者: 星空浩淼时间: 2009-3-22 11:28

波矢k的数量是波数(|k|=2π/λ),它的方向表示波传播的方向.
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准确地说，只有当一个波包中所有频率成份的波数矢量平行时，波数矢量才表示波包的传播方向。通常它对应不同频率成份波数矢量的平均方向。特别地，例如在真空的电磁波导内，电磁波沿波导方向传播，而波数矢量在垂直于电磁波导方向上有着固定大小的分量（大小取决于波导横截面尺寸）
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作者: philics 时间: 2009-3-22 15:04

星空兄，可能我所学太少，你说的我不是很明白。我理解的相空间是一个微分动力学方程的解曲线所在的空间，这样理解的话，态矢所在的希尔伯特空间不是薛定谔方程的相空间么？
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作者: 星空浩淼时间: 2009-3-22 18:27 标题: 回复 13# 的帖子

关于相空间，以前在繁星客栈谈论得比较多（我忘了是在新客栈还是在老客栈），由它引起了客栈关于直积概念与直和概念谈论（在物理教材与数学教材中这两个概念在使用上有些不同）。
用一个最简单的例子，描述一个粒子的三维坐标矢量x和三维动量矢量p可以张成一个六维的相空间(x,p)，即
三维坐标空间(x)＋三维动量空间(p)＝六维相空间(x,p)
这种相空间概念无论在经典力学还是在量子力学中都是一样的。当然，与经典力学中的相空间有所不同的是，由于坐标和动量测不准原理，在量子力学中，这个相空间不是由几何点构成的，而是离散成一个个单元构成，每一个单元的相空间体积是Planck常数的立方（如果相空间由一维坐标空间与一维动量空间构成，则相空间是二维的，每个离散单元的面积为一个Planck常数），在每一个离散单元中对应同一个量子力学状态。当然，如果要考虑内部自由度，例如考虑的粒子是光子，它有两种极化方向，则每一个离散单元可对应两个量子力学状态。
该粒子的量子力学状态用Hilbert空间中的状态矢量|φ>来描述。设|x>和|p>分别表示坐标算符与动量算符的本征态，则
和

分别是状态矢量在坐标空间和动量空间中的表示（即坐标空间中的波函数与动量空间中的波函数）——这些估计你都知道。
你看，在量子力学中，相空间仍然是(x,p)，而Hilbert空间有状态矢量张成{|φ>}.
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作者: 无语问长天时间: 2009-3-22 23:14

薛定谔方程和态矢量希尔伯特空间的关系，
相当于关于在R上取值的函数f(x)的某个微分方程 Af''(x)+Bf'(x)+f(x)=C和实数集R的关系。
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作者: philics 时间: 2009-3-23 12:10

看来我吧相空间的概念搞错了
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作者: philics 时间: 2009-3-23 15:24 标题: 回复 14# 的帖子

看来我对相空间理解错了，另外我的表述看来也很容易引起误解
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作者: 星空浩淼时间: 2009-3-23 17:29 标题: 回复 17# 的帖子

我突然意识到你也许不完全错，因为你大致提到过“形成正则共轭对的广义坐标与广义动量构成相空间”。一方面，在量子场论中，以基本场量作为广义坐标，再用场的拉格朗日量（密度）对广义坐标的时间导数求变分，得到与广义坐标共轭的广义动量（密度）；另一方面，量子场论中的场算符（广义坐标），在量子力学中对应位置空间中的波函数，该波函数是Hilbert空间中的状态矢量在位置算符本征态上的投影——即是状态矢量在位置空间中的表示（我前面的帖子里采用“坐标”，这里用“位置”，是为了不跟广义坐标混淆）。因此，波函数可以直接看作是Hilbert空间中的状态矢量（量子力学中在引入Dirac符号表示之前，就是这样做的）。

因此，对于一个粒子而言，在四维时空中，它的三维空间位置矢量和三维动量矢量，可构成六维相空间；而该粒子满足薛定谔方程的波函数（态矢量的位置空间表示）则对应一个广义坐标，这个广义坐标与它的共轭广义动量一起，共同构成一个广义相空间。因此，你说得不够准确的地方是：不是你说的“波函数构成相空间”，而是波函数与它的共轭动量一起共同构成（广义）相空间。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2009-3-23 17:31 编辑 ]
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作者: blackhole 时间: 2009-3-23 19:16

不能苟同。

一方面，在量子场论中，以基本场量作为广义坐标，再用场的拉格朗日量（密度）对广义坐标的时间导数求变分，得到与广义坐标共轭的广义动量（密度）；
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这不是在量子场论中，而是在经典场论中。

另一方面，量子场论中的场算符（广义坐标），在量子力学中对应位置空间中的波函数，
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又是这种基于“二次量子化”的理解，，sage多次指出过其问题。原则上“量子化”只有“一次”，即把正则坐标和动量量子化为算符。不同之处在于是有限自由度系统（粒子系统）还是无限自由度系统（场）的量子化。按照这种观点，量子场论中的场算符（广义坐标）在量子力学中只能对应坐标算符。
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作者: 星空浩淼时间: 2009-3-23 20:40 标题: 回复 19# 的帖子

1）因为我这里要谈到从量子场论中的场算符到量子力学中的波函数之间的对应，所以我直接谈到量子场论中如何如何，不必谈论经典场论如何如何。

2）我觉得你可能没有正确地理解sage兄所说的东西。无论称作“场量子化”也好，称作“二次量子化”也好，即使“二次量子化”这个叫法有问题，也不能改变存在“把经典场量变成场算符”这样的一个处理过程，怎么我一提到“把经典场量（或波函数——这里的波函数不一定有几率幅的含义）变成场算符”，你就觉得有错呢？这跟“二次量子化”的叫法是否有问题，完全是两件事情。

关于二次量子化，sage兄谈到过这个术语应该抛弃，我理解他所说的意思是，借用广义坐标和广义动量概念的拉格朗日力学描述，可以把场量子化统一地纳入一次量子化的理论框架之下，因此二次量子化的叫法是有问题的。基于这种理解，我怀疑你可能没有明白sage兄所说的意思，所以你才会有上面的回帖，因为我前面所说的跟sage兄所提醒的东西不矛盾。历史上之所以有二次量子化这个概念的存在，就是因为人们认为有进一步地把经典场量（或波函数——这里的波函数不一定有几率幅的含义）换成算符的做法。即当时的人们把粒子的位置矢量与动量矢量换成算符叫做一次量子化，而把场量进一步地换成场算符的过程，就叫做二次量子化。由于场量可以看作广义坐标，因此场量变成算符的过程，跟把粒子的位置矢量换成算符的过程，在广义的意义上是一回事，因此把场量换成算符的过程称作二次量子化，是没有必要的。但是这里只是一个术语的问题，没有原则性的对错问题。因为你可以坚持要把广义坐标——而不是通常意义下的粒子的空间位置坐标——换成算符的过程，称作二次量子化，并且把它看作是“场量子化”的别称。除非“场量子化”这个概念也应该抛弃，也是多余的，否则有没有“二次量子化”这个称呼，可以视为一个约定成俗的东西。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2009-3-24 02:41 编辑 ]
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作者: philics 时间: 2009-3-23 23:33 标题: 回复星空浩淼

"量子场论中的场算符（广义坐标），在量子力学中对应位置空间中的波函数"
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似乎应该是因为=exp(ip*x)，我理解你似乎是想用量子场论的观点来理解量子力学和经典力学的对应关系，但正如blackhole讲的，场算符应该是对应于位置算符的。
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而该粒子满足薛定谔方程的波函数（态矢量的位置空间表示）则对应一个广义坐标，这个广义坐标与它的共轭广义动量一起，共同构成一个广义相空间。
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波函数所在的希尔伯特空间，假如是位置表象，则是每一个空间点对应一个维度，而不像相空间那样一个自由度就对应一个维度。只有位置算符的平均值才对应于相空间广义坐标的值，所以你这句估计也是不正确的。
另外，对于量子力学来说，只需要知道位置表象下的波函数就可以通过傅里叶变换直接得到动量表象下的波函数。而不像经典力学那样需要同时知道动量和位置。我想说的就是这种表述物体运动状态方法的转变，即为什么要从动量+位置的描述方法变到使用波函数来描述状态的方法。不小心错误的使用了相空间的概念。