怎么由运动方程导出拉格朗日量?
2011-03-28 22:29:49来自: rupt(但曾相见便相知,相见何如不见时)
我看的是沈惠川的经典力学,带电粒子的拉格朗日量似乎是毫无目的地刚好碰巧凑出来的.电磁场更过分,直接就从不变量猜出来了。。有没有一些普遍一点的方法?
好吧,给个具体问题:
F_i =q ε_ijk β_j ∂_k φ
其中β = v/c
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![[;e^{i\pi}+1;]](http://img3.douban.com/icon/u9659224-31.jpg)
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作用量
维基百科，自由的百科全书在物理學裏，作用量（英语：action）是一個很特別，很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，我們也可以用作用量來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態。然後，經過求解作用量的平穩值，我們可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。
目录
[隐藏][编辑] 歷史
費馬於 1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。
戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。
1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文 《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》 中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值； 他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文 《On the laws of motion and of rest》 中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。
萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文 《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是
。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。
[编辑] 概念
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。
作用量方法是一種全然不同的方法．它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，我們可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。
哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。
用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值）,可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。
[编辑] 作用量形式
在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。
[编辑] 作用量 (泛函)
最常見的作用量是一個泛函
，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點 
，
之間廣義坐標 
的演變。作用量
定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量 
隨時間的積分：![\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/614acf83f5c192ef6efcfbc17fd46bc4.png)
。
根據哈密頓原理，正確的演化
要求平穩的作用量 （最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。[编辑] 簡略作用量 (泛函)
簡略作用量也是一個泛涵，通常標記為
。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都不相依於粒子的移動的速度。簡略作用量 定義為廣義動量 
延著路徑的積分：
；
其中，
是廣義坐標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量 是平穩的。[编辑] 哈密頓主函數
- 主條目：哈密頓主函數。
哈密頓主函數是由哈密頓-亞可比方程式定義的。哈密頓-亞可比方程式是經典力學地另一種表述。哈密頓主函數
與泛涵 有密切的關係。固定住初始時間 和其對應的坐標點 
；而准許時間上限 和其對應的坐標點 
的改變。取 和 為函數 的參數。換句話說，作用量函數 是拉格朗日量隨時間的不定積分：![S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) = \int L[\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t]\, \mathrm{d}t\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/8/7/0/8700dd38453f5de36bd88ebd593b6c87.png)
。
更加地，我們可以證明
是某常數向量 
。所以，
。
[编辑] 哈密頓特徵函數
- 主條目：哈密頓特徵函數。
假若，哈密頓量
是守恆的；
；
其中，
是常數。設定哈密頓特徵函數
為
。
則哈密頓特徵函數
是一個作用量。更加地，
。
隨時間積分：
。
這正是簡略作用量的方程式。
[编辑] 哈密頓-亞可比方程式解答
- 主條目：哈密頓-亞可比方程式。
哈密頓-亞可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-亞可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數
分出的每一個項目 
也稱為"作用量"。[编辑] 作用量-角度坐標
- 主條目：作用量-角度坐標。
思考一個作用量-角度坐標的廣義動量變數
，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：
。
這變數
稱為廣義坐標 
的作用量；相應的正則坐標是角度 
。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數 被用來積分。作用量 等於， 隨著 沿著閉路徑，
的改變。應用於幾個有趣的物理系統， 或者是常數，或者改變非常地慢。因此， 時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。[编辑] 哈密頓流作用量
參閱 重言1形式。
[编辑] 數學導引
哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點
、 的運動是正確運動，則作用量泛函 的一次變分 
為零。用數學方程式表示，定義作用量為
。
假若，
乃系統的正確運動，則 
。從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設
是系統的正確運動，讓 
成為一個微擾 
；微擾在軌道兩個端點的值是零：
。
取至
的一階微擾，作用量泛函的一次變分為![\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol{\varepsilon},\ \dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol{\varepsilon}) - L(\mathbf{q},\ \dot\mathbf{q}) \right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + \dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/3/a/e/3aed570a73889b52030d09fd7bd9b7ce.png)
。
這裏，我們將拉格朗日量
展開至 的一階微擾。應用分部積分法於最右邊項目，
![\delta \mathcal{S} = \left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/e/a/3/ea3ad757c86fd4d543ba3e016811727f.png)
。
邊界條件
使第一個項目歸零。所以，
。
要求作用量泛函
平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾 ，一次變分 必須等於零：
。
請注意，我們還沒有對廣義坐標
做任何要求。現在，我們要求所有的廣義坐標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：
。
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。
。
當
不顯性地相依於廣義坐標 時，
，
則廣義動量
是常數。在此種狀況，坐標 稱為循環坐標。舉例而言，如果我們用極坐標系
來描述一個粒子的平面運動，而 與 
無關，則廣義動量是守恆的角動量。[编辑] 參閱
[编辑] 外部連結
[编辑] 參考文獻
是系統的
是時間的函數。
，又稱為共軛動量，定義為
