math01 在一维时􀁬 开集无非是􀀒 至多可数个两两不相交的开区间的并;商空间;积空间

介绍完一般集合论后

 

􀁯需要介绍一点拓扑知识􀁯即所谓领域􀁯开集􀁯闭集等概念􀁱其

中最重要的是

 

􀀒 开集􀀓 这个概念􀁱但学生对开区间是早就熟悉的􀁱所以除了证明外􀁯要反复

强调

 

􀁫在一维时􀁬 开集无非是􀀒 至多可数个两两不相交的开区间的并􀀓∀这不仅能使学生加

深对开集的认识

 

􀁯而且在实变函数的不少理论和习题中用到了这个结论􀁱

商空间 设x 是拓扑空间，将x 划分为两两不相交的子集, 把每个子集看作一个点, 就得到一个新的集H。H的每个点可以看作是由x 的某个相应子集中的点重叠而成。

积空间 任意两个集 A₁和 A₂的笛卡儿积定义为集

􀁶

 

􀀔 测度概念引进前􀁯可以和学生一起分析􀁯有了区间长度这个已知的概念􀁯如何定义

由有限个

 

􀁫然后是可数个􀁬 两两不相交开区间的并所构成的集合的􀀒 长度􀀓􀁱这样就比较自

然地引导到开集的

 

􀀒 长度􀀓􀁫一维􀁬􀁱然后就能引导到一个一般实数集的􀀒 外测度􀀓 这个概

念

 

􀁱

􀁷

 

􀀔 一旦有了可测集的概念􀁯除了证明􀁯应该强调在两个可测集之差的测度很小的意

义下

 

􀁯可测集和开集与闭集是􀀒 差不多􀀓 的􀁯或者说可测集可以用开集和闭集来􀀒 逼近􀀓􀁱这

一点不仅在概念上十分重要

 

􀁯也是处理许多实变问题的基本方法􀁱

 

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• math01 商空间01 积空间01 -marketreflections- ♂ (1275 bytes) () 11/04/2011 postreply 09:19:14