外积01 ：正交风险（Orthogonal risk）和. 相关风险: in hd space, risk high! 外乘积的

http://www.mathchina.net/dvbbs/dispbbs.asp?boardid=4&Id=1869

陆元鸿老师的《数学中国》园地 → 《微积分》（包括数学分析、微分方程、积分方程、实变函数、复变函数、泛函分析等） → 外乘积的问题

新的主题 投票帖 交易帖 小字报

下一主题 >> << 上一主题

2 v 2  正交, can be hit in any noment 共有192人关注过本帖树形打印复制链接 主题：外乘积的问题

admin	小大 1楼 | 信息 | 搜索 | 邮箱 | 主页 | UC
加好友 发短信 版主   等级：管理员 帖子：3522 积分：31604 威望：0 精华：0 注册：2003-12-30 16:34:32	外乘积的问题 Post By：2011-4-4 21:21:43 [只看该作者] 最近，我看了一本书《高观点下的初等数学（第二卷）几何》（菲利克斯·克莱因著）。   在这本书的61页上，克莱因说到：“两极性矢量的外积常被简单地定义为一个矢量，…，并得到下面的法则：   矢量 1 和矢量 2 的外积是一个长为 r1 r2│sinφ│的矢量 3 ，它垂直于矢量 1 和矢量 2 所在的平面，   其正向使矢量 1，2，3 的相互位置对应于正 X，Y，Z 轴的相互位置。”   这是目前数学教科书中常见的对两个向量（矢量）外积的定义，但是，克莱因显然并不赞成这种定义。   克莱因说到，这个问题，已经在数学界引起了很大的争论：“为什么这样牢牢地使用这种矢量分析的语言，   我不能充分理解，…，无论如何，这些矢量运算的名称因普遍容忍而一直使用至今。但是，在选择这些运算，   特别是各种乘法运算的确定符号上，已产生了很大的意见分歧。…，尽管做了一切努力，仍然存在很大的不一致。   在最近的罗马数学大会上已成立了一个国际委员会，要求它提出统一的符号，至于委员会成员之间能否取得任何一致，   大量的数学家是否能接受委员会的建议，只能由时间来证明。”   克莱因还说到：“罗马建立的矢量符号统一委员会正如预料没有取得丝毫成功。在随后的剑桥大会（1912年）上，   委员会成员不得不对没有完成的任务作出解释，并要求将时间延长到下一次大会。那一次大会本应于1916年在   斯德哥尔摩召开，但因战争而取消。单位及符号委员会也遭受了同样的命运。它在1921年公布了矢量建议符号，   立刻招致各方面的最强烈的反对。”   可见，这是一个在数学界争论已久的老问题，这个问题到现在仍然没有得到解决。   克莱因本人的看法，显然是不赞成把两个向量（矢量）的外积，看作是一个与它们垂直的向量（矢量）的，   因为这种定义，无法推广到多个向量（矢量）的外乘积。   我觉得他的这种看法，还是很有道理的。所以，我现在的想法是：   两个向量的外乘积，可以看作是一个“有方向的面积元”，它的模，就是由这两个向量张成的平行四边形的面积。   三个向量的外乘积，可以看作是一个“有方向的体积元”，它的模，就是由这三个向量张成的平行六面体的体积。   这种定义，可以推广到任何 n 个向量的外乘积，不会产生矛盾，应该说是比较妥当的。   但是，这种“有方向的 n 维积元”到底是什么意思？ 肯定又会引起争论，它能否被人接受，我就不知道了。

admin	小大 2楼 | 信息 | 搜索 | 邮箱 | 主页 | UC
加好友 发短信 版主   等级：管理员 帖子：3522 积分：31604 威望：0 精华：0 注册：2003-12-30 16:34:32	Post By：2011-4-4 21:24:32 [只看该作者] 在下列《数学中国》帖子的第 9 楼中：   “引入‘外乘积’，‘外微分’等概念后，会引起一些积分表达式的混乱。”   http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4212&replynum=9   我引用了菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学（第二卷）几何》一书中所说的几段话。   从这些话中，我们可以看出，这个问题，其实是一个在数学界中争论已久、至今仍未解决的老问题。   按照现在数学中的定义：向量 a 与向量 b 的“向量积”或“叉积” a×b ，是一个与 a,b 都垂直的向量，   这个向量的模，等于 a,b 所张成的平行四边形的面积，这个向量的方向，是一个由右手法则确定的垂直方向。   我们发现，这个定义，其实只适用于三维空间中的三维向量，对于其他维空间中的其他维向量，都是不适用的。   比如说，在二维空间（即平面）中，想要按照上述方法来定义两个二维向量的向量积 a×b ，显然是不可能的。   对于四维空间中的四维向量、五维空间中的五维向量、…，想要按照上述方法来定义向量积，也都是不可能的。   但是，微分向量的“外乘积”运算，就不一样了，不管对几维空间中的几维向量，外乘积都是有定义的。   两个微分向量的“外乘积” dx∧dy ，可以看作是一个“有方向的面积元” （克莱因称为“自由平面度量”）。   这个“有方向的面积元” dx∧dy 的模 │dx∧dy│，等于 dx,dy 所张成的平行四边形的面积。   这个“有方向的面积元” dx∧dy 的方向，就是 dx,dy 所张成的平面的方向，但要注意：这个平面有“正反面”，   如果 dx∧dy 的方向是“正面的方向”，那么交换相乘次序后，dy∧dx 的方向就正好相反，是“反面的方向”。   在三维空间里，我们很自然地会感觉到，这种“有方向的面积元”，与 dx,dy 所张成的平面的法向量，非常相像：   它们都是由张成平面的两个向量唯一确定的；都要考虑“正反面”；“面积元”的模，可以看作就是法向量的模。   正因为如此，所以很多人就认为：“外乘积” dx∧dy 就是“向量积”或“叉积” dx×dy ，我过去也是这样想的。   但是，这种想法是有问题的。   在三维空间里，一个（有正反面的）平面，只有唯一的一个法向量，所以，平面的方向，可以等同于法向量的方向。   但是，在四维空间里，一个平面，可以有无穷多个不同的法向量，所以，平面的方向，不可能用一个法向量来确定，   这时，再要想按照三维空间的办法，把“外乘积” dx∧dy 定义为一个与 dx,dy 都垂直的法向量，显然是不行的。   在五维空间里、六维空间里、… 、更高维空间里，这样的做法，就更不行了。   另外，如果把“外乘积”看作是“向量积”或“叉积”，遇到多个向量连乘时，也会发生问题。   例如，设 dx,dy,dz 是三个互相垂直的微分向量，对它们作外乘积运算 dx∧dy∧dz ，是有意义的，不会等于 0 。   外乘积 dx∧dy∧dz 可以看作是一个“有方向的体积元”，它的模，等于 dx,dy,dz 所张成的平行六面体的体积。   dx∧dy∧dz 的方向，就是 dx,dy,dz 所张成的三维空间的方向，这个三维空间，从高维空间来看，也有“正反”。   如果我们认为“外乘积”就是“向量积”或“叉积”，认为 dx∧dy∧dz 等于 dx×dy×dz ，那就会发生问题：   因为向量积 dx×dy 是一个与 dx,dy 都垂直的向量，在三维空间里，这个向量 dx×dy 与 dz 的方向相同或相反，   这样，再作向量积 dx×dy×dz ，就会得到一个 0 向量，这与 dx∧dy∧dz 原来的意义，显然是矛盾的。   总之，为了避免发生矛盾，我认为：应该把“外乘积”的定义，与“向量积”或“叉积”的定义区分开来。   “向量积”或“叉积”，只适用于三维空间，两个三维向量作“向量积”或“叉积”，得到的还是一个三维向量。   “外乘积”，适用于任何维空间的任何维向量，n 个向量连续作外乘积，得到的是一个“有方向的 n 维积元”。   这个“有方向的 n 维积元”的模，等于 n 个向量所张成的 n 维平行体的 n 维积。   这个“有方向的 n 维积元”的方向，就是 n 个向量所张成的（有“正反”的）n 维空间的方向。   [此贴子已经被作者于2011-4-4 21:29:00编辑过]

admin	小大 3楼 | 信息 | 搜索 | 邮箱 | 主页 | UC
加好友 发短信 版主   等级：管理员 帖子：3522 积分：31604 威望：0 精华：0 注册：2003-12-30 16:34:32	Post By：2011-4-4 21:27:27 [只看该作者] 不考虑方向的面积元 dxdy ，可以认为是“有方向的面积元” dx∧dy 的模 │dx∧dy│ 。

admin	小大 4楼 | 信息 | 搜索 | 邮箱 | 主页 | UC
加好友 发短信 版主   等级：管理员 帖子：3522 积分：31604 威望：0 精华：0 注册：2003-12-30 16:34:32	Post By：2011-4-4 21:28:21 [只看该作者] 我是在几十年以前，当我还是一个大学生的时候，学习过关于“外乘积”的知识。   记得那时候，我主要是看了一本名为《微分形式导论》的书。时间隔了几十年，我想，现在这本书你恐怕很难找到了。   但是，现在网络很发达，你可以到网上去搜寻有关“外乘积”的资料。 我刚才用 google 在网上搜寻了一下，就找到了两篇关于“外乘积”的介绍： http://166.111.121.20:9080/mathjournal/XUSJ200001/xusj200001000.caj.pdf http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30202.pdf

所有跟帖： 

• 在三维空间里，一个（有正反面的）平面，只有唯一的一个法向量，所以，平面的方向，可以等同于法向量的方向。，在四维空间里，一个平面， -marketreflections- ♂ (825 bytes) () 10/07/2011 postreply 21:03:17

• 一个n个数的序列可以被理解为一个n维空间中的位置;一个图形的维数可以认为是一个人要想达到这个图形中所有的点，需要运动的所有不同方 -marketreflections- ♂ (173 bytes) () 10/07/2011 postreply 21:21:19

• N维就是N条直线两两垂直所形成的空间:在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度），南北（纬度），东西（经度）。这三对方 -marketreflections- ♂ (1175 bytes) () 10/07/2011 postreply 21:32:02

• 分形、流形、波动 -marketreflections- ♂ (17425 bytes) () 10/07/2011 postreply 23:10:09

• 正交性 纯空间性的四维空间另有一对垂直于其他三个主要方向的主要方向 这一对方向处在另一条同时垂直于x、y、z轴的坐标轴上，通常 -marketreflections- ♂ (4449 bytes) () 10/08/2011 postreply 10:06:02

• 人眼的视网膜也是由一层二维的感受器构成的，但是人脑能够察知三维物体的真实形状；这是根据阴影、近大远小、双眼视觉等间接信息推断得来 -marketreflections- ♂ (1609 bytes) () 10/08/2011 postreply 10:12:19

• 正交性 空间理解成许多平行平面的堆积 -marketreflections- ♂ (1331 bytes) () 10/08/2011 postreply 10:28:04