一个动力学系统的相轨道决定于两个因素:一个因素是系统状态演化的规律,它是确定的.另一个因素是系统的初始条件.
在运动方程确定后,相轨道惟一地取决于初始条件.一组确定的初始值,有一条确定的相轨道,说明了系统状态对初始状态的依赖性.从这个意义上讲,拉普拉斯确定论思想,是没有问题的,这里不存在系统未来状态的随机性.但是初始值是通过测量获得的,而任何测量都是有误差的.实验给出的初始值不是一个数,而是随机地出现在测量的误差范围之内.这种误差可以减小,却不能使它消失.一个初始“真值”,可用实数集中的一个数表示.而实数集有两个子集:有理数与无理数.在实数集中,有理数基数与无理数基数相比,不过是“沧海一粟”,“真值”出现在有理数集的概率几乎为零.但初始测量值,只能用有理数表示,它与“真值”之间的误差是不可避免的.
问题在于这个误差对动力学系统未来的状态有什么影响?
关键在于动力学系统的相轨道对初值误差是否敏感.如果不敏感,系统的状态变化有一种收敛性,初始值任意小的差值,在状态变化过程中不会放大成为任意大.在这种情况下,拉普拉斯确定论思想与实际情况一致.如果敏感,则初始值任意小的差值会在状态变化过程中放大.系统从误差范围内每一个可能值出发的无限多的轨道,相互排斥,并永远分道扬镳,最终使系统的末态随机地处在上述无限多轨道中的任一条.
这一点,庞加莱早在1908年在《天体力学新方法》中就指出了:“如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态,那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态.不过,即使自然定律对我们已无秘密可言,我们也只能近似地知道初始状态.如果情况允许我们以同样的近似程度预见后继状态,这就是我们所要求的一切,那我们便说该现象被预言到了,它受规律支配.但是,情况并非总是如此.可以发生这样的情况:初始条件的微小差别在最后现象中产生了极大差别,前者的微小误差促成了后者的巨大误差,预言变得不可能了,我们有的是偶然发生的现象”