先局部平均，再整体平均;在曲线内的范围操作，从长远来看，会不赚不赔，因为数学期望为0,无论交易者觉得自己有多聪明，找出来的规律有

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条件数学期望

分类： 概率论与随机过程2010-04-28 18:50588人阅读评论(0)收藏举报

中秋之际，得留下点东西纪念一下才行。主要说一下条件数学期望（Conditional Expectation）吧。以前本科的时候学过这玩意儿，但是当时理解太肤浅。今天看了一遍别的书，颇有心得。理科生讲究定义明确，概念清晰，下面就从定义开始。

Definition：
The conditional expectation of X given Y=y is:
①E(X|Y=y) = ∑xf(x|y) for discrete case
②E(X|Y=y) = ∫xf(x|y)dx for continuous case
需要注意的一个问题是，EX是一个数值，而E(X|Y=y)是一个关于y的函数。

比较：
EX是对所有ω∈Ω，X(ω)取值全体的加权平均；而E(X|Y=y)是局限在ω∈{ω:Y(ω)=y}时，X(ω)取值局部的加权平均。按照Y的不同取值，整个样本空间Ω被划分为n个互不相容的事件（Ω=∑B(j)）。因此E(X|Y=y)是在某一个{B(j)，j∈N}上X(ω)的局部加权平均.

E(X|Y)引入
显然E(X|Y=y(1)),E(X|Y=y(2)),....(不能打下标太不方便了，小括号里面的“1”，“2”都是下标，诸君凑合着看吧)，依赖于Y=y(j),即依赖于全局样本空间的划分。这样，从样本空间Ω及对ω∈Ω可以变化的观点看，有必要引进一个新的随机变量，记为E(X|Y)。对于这个随机变量E(X|Y)，当Y=y时它的取值为E(X|Y=y)，称随机变量E(X|Y)为随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望。这里借用一本教材上的说法：Before we observe Y,we don't know the value of E(X|Y=y) so it is a random varible which we denote E(X|Y). 随机变量E(X|Y)是随机变量Y的函数，事实上，它只是局部平均{E(X|Y=y(j)),j∈N}的统一表达式。

到这里便很容易想到，EX和E(X|Y)在数学上的关系。由于E(X|Y=y)是一种依赖于Y的分割的局部平均，而EX是全体的平均，那么把E(X|Y)再平均一次，会得到什么呢？由此得到著了名的一个定理,The Rule of Iterated Expectations:
For random variables X and Y, assuming the expectations exist,we have that
E(E(X|Y))=EX;
More generally,for any function r(x,y) we have
E(E(r(X,Y)|X))=E(r(X,Y))

其实这个伟大的定理的背景是极其常见的，真理往往来源于生活。举个例子，如果我们要计算某个年级学生的平均分，有两种方法：
1.可以把该年级每个学生的成绩∑起来，然后再除以总人数，这是极为常规的方法。该方法对应于计算EX；
2.我们还可以先计算每个班级的平均分（第一次平均），然后在把每个班级的平均分加起来除以班级数（第二次平均）。这便是E(E(X|Y))。这个例子里面，每个班级相当于Y，计算每个班级的平均分相当于固定一个Y=y去求E(X|Y=y)，最后再对班级做平均。
很显然，用1和2的方法得到的结果是一致的。即E(E(X|Y))=EX！这就是伟大的定理隐含的思想：先局部平均，再整体平均。何等的大众化！这才是伟大的智慧！想起初中班主任的一句话：什么叫公理？就是鸡，狗都知道的东西，比如两点之间直线最短！当然，有了思想之后还必须付诸于公式，必须要以数学的形式表示出来，那就perfect了！

个人认为，只要理解了条件期望局部平均的本质，那一大堆的公式推导就没有任何问题了。无非就是以条件概率密度函数为核心的一堆积分而已。

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在这上面写数学的东西太费力了，大汗都打出来了，强烈呼吁弄点什么word插件之类的东西在这上面。今天主要是因为得知某君在考研数学得了135分后还不知道什么是条件期望（我想这估计就是没得满分的主要原因，哈哈），所以才准备给她上一课。否则，这简直是找罪受啊！【 · 原创: 一目 只看该作者(-1) 2009-04-03 17:27】 原帖由yhmyws在2009-04-01 17:37发表
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最有希望做中国西蒙斯就是我
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有志气！不过，要达到目标，可不是喊句口号那么简单。。。。。
西蒙斯现在的成功，是有其理论依据的。
“通过数千次快速的日内短线交易来捕捉稍纵即逝的市场机会，交易量之大甚至有时能占到整个NASDAQ交易量的10%。当交易开始，交易模型决定买卖品种和时机，但在某些特定情况下，比如市场处在极端波动的时候，交易会切换到手工状态。”。。。。
这这种交易方法，可以用混沌理论容错后的概率论来解释：
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科学家们以前曾认为理所当然的确定性,仅仅是概率而已.
在数理统计中出现的随机小概率事件,通常被忽视或忽略.
认为“市场就是一个概率游戏”。市场博弈就是赌“概率”。-----是传统概率论对市场的认识，是错误的。
传统概率论假设所有的价格变化的分布服从标准钟形曲线这一模式。[正态分布]。
钟形的宽度(用它的σ值即所谓标准差来量度)描述了价格变化偏离平均值有多远。
极端情况的事件被认为是极其罕见的。。
事实是，市场价格随着时间变动的走势图中有相当多的突然的剧烈变化
------在走势图上呈现为急升急降的尖头，在市场的混乱加剧时，
价格的急升急降就变得越来越常见，在走势图上呈现为密集分布的形态。
传统概率论，这些大的价格波动的概率为亿亿亿分之几(波动大于10个标准偏差)。
事实上，人们经常观察到尖头——频繁到每个月都会出现——而它们的概率高达百分之几。它们不服从正态分布。
理论上，如果价格服从正态分布，完全随机的情况，所有钟型曲线内部的范围，都是数学期望为0的，
在曲线内的范围操作，无论交易者觉得自己有多聪明，找出来的规律有多么可靠，
从长远来看，会不赚不赔，因为数学期望为0。如果算上手续费，结果必然是亏损，
这种情况，市场等同于赌场。也就是说，在市场里，《稳定获利》从理论上就不可能存在。那人们何苦在市场里玩？

值得注意的是,实际市场能量法则分布中的”尖峰”和“胖尾”,与传统线性的概率分布,在实质上有本质的区别。[见图]