勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。结果是一样。但对于一些“坏”函数，结果是不一样。比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：

Y=1，当X是无理数；

Y=0，当X是有理数。

求该函数覆盖的面积。

黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。

用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。

[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，

证明1

有理数)的长度(测度)是0。而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。

所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。这就解释了上述计算结果。

由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。

很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。

编辑本段背景知识

黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。

19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体

证明2

重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

编辑本段勒贝格

（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon

法国数学家。1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。

勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。在定义积分时他也采取划分值域而不是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。另外,他在维数论方面也有贡献。晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。他的论文收集在《勒贝格全集》。^[