布朗运动 有理数是漂浮于无理数汪洋大海上的小小岛屿 无理数 non linear 奇点

数形哲学残句---一种民科视角

（2010年）

数，是人类认识自然、理解物理的工具，是人类理性思维演化的结晶。数学发展的目的是刻画自然界的各种运动，为提高运算效率而不断抽象化、形式化、几何化。数学的最大野心就是将一切几何形式化，并将一切形式的运动数量化！

 

毕达哥拉斯说万物皆数，周公更感叹道大哉言数！

合理即存在还是有用即存在？注意，合理的和有用的不一定都是实在物质，实在都是要消逝的，不消逝的恰恰是形式之本质。

无理数最初不是发明的，正如其它数类一样，是被发现的！自然永远是我们灵感的渊泉。

加减-乘除-乘方开方-微分积分-…，形式运算的改进史；正整数-分数-零-负数-有理数-无理数-虚数-复数-…，数的诞生史，发明史，也是数的发现史。代数和方程使得人类从具体运算中解放出来，从而完全实现形式运算，即通过数学符号对自然运动的一种定量模拟和穷尽推演。

 

其中微积分的出现，标志着辩证逻辑开始真正获得它的数学符号形式；量子论的出现，暗示着传统辩证逻辑不是绝对普适的，需要玄易逻辑来弥补其缺陷。玄易逻辑三原理：对立、互补、统一；玄易逻辑三规律：数生律、形构律、象进律。显然，互补原理和形构律为传统观念所忽视，二者不过是全息原理的另一种表述而已。

注意，形构律的提出是基于宇宙物理世界的几何本质提出的，如果还像传统哲学只从离散的量子数角度来理解世界，那是不完备而缺乏真正统一性基础的，那终不过是分析哲学，因此引入连续的几何形来完善哲学的基础，那将进入整体哲学之境。

那么何谓形构律？就是：无论普朗克量子还是哈勃宇宙尺度，任何物质存在都是以一定几何形式构成的，高级物质运动总是表现为低级物质系统的几何构形变化，后者我们常称之为所谓的时空。

为何几何形式构成如此重要？时空也是物质存在的形式，“形式”比所谓的“物质”概念更少歧义更显明。在极端条件下---普朗克量子世界，形式即本质（几何形式等价于物理本质）。

 

0生1，1生2，2生3，3生无穷。

狭义数：自然数，正整数，负整数，有理数（分数，可数），无理数（不可数），实数，虚数。。。

广义数（几何数）：标量，向量，张量，扭量。。。

而矩阵是介于二者之间，或者说是广义数的平面展开表达形式。

 

数学与物理的大致对应关系：

运算---运动：量的增加减少产生数学上的加减，为提高运算效率，简化加法，产生乘法，进而产生乘方。简化减法，产生除法，进而产生开方；勾股定理也是产生开方的一个途径。可见，数学运算形式的自对偶。规定某些代数运算封闭的数系，应有某种几何形态与之对应，分别可称之为域、环（弦结、膜层、流体的代数表达形式了？）。将对称引入数系中，则产生各类群，群表达的是对称关系。

 

扭结有琼斯多项式表达，膜层有矩阵表达，流体？

 

对复数的几何化解释，找到了虚数的物理用途：i可用来描述粒子自旋运动，因此可描述隐潜的微观世界运动。为求不可能有实解的方程，人类创造（发现？）了虚数；将“不可能”的东西引入数学中，极大的扩展了数学运算的范围，增强了数学与几何的融合，提高了数学对物理运动的刻画能力。近代对虚数的发现，类似于古代对“不可数”的无理数（这是勾股定理的必然结果）的发现一样，具有重大的历史意义。可见，人类每次认识的飞跃都是对传统理念的突破，而每次突破都开辟出一片暂新而广阔的数学天地。

 

突破禁忌，才能发现新数。还有什么数隐藏于自然秘境，作为大一统论的关键工具？如果数已足够了，那么还有何种结构的场数学作为大一统论的基础？

 

数形不分家。数积形中，形变数里。数是离散的，形是连续的，二者辩证互涵。

 

0像希格斯子，整数像量子，正整数像正粒子，负整数像负粒子，有理数像量子衍生的粒子或物质波，无理数像弥散的热辐射物质。实数像宏观物体，复数象自旋粒子。复数的实部像（静止）质量，复数的虚部像电荷。

 

数学中最重要、最基本的问题是将微积分置于集合的基础之上。点集在数学中的地位，类似量子场论在物理学中的地位！科学在于量化，量化必先离散化。连续微分而离散，离散积分而连续。

 

含义范围：L可测>连续>可微。L测度、L测度函数，拓展了积分学应用范围。

 

虚数的奇幻性。i ⁱ=i？但也可在0点等于任意数？可根据高斯方程，取特值推算可等于实数。但可以等于复数吗？猜测可以。对此，哪种运算法则仍适用于纯虚域？

 

有理数是可数而离散的，有理数集的测度为零，其任意子集的测度也为零。无理数是不可数的，非离散亦非连续，在一定分辨率上，是表观连续的，即伪连续。

不论有理数，还是无理数，在实数轴上是处处稠密的，即：在任意两个有理数之间，分布着无穷多个无理数；反之，在任何两个无理数之间也分布着无穷多个有理数。人们曾放心地推断，实数轴上一定均匀地分布着两个基本相等的巨大的有理数族与无理数族，但实际上并非如此！有理数是漂浮于无理数汪洋大海上的小小岛屿。

在每一个有理点不存在连续函数，在每一个无理点存在连续函数，即在有理数族与无理数族之间是不对称的。从某种根本意义上说，有理数与无理数是不可交换的两大数族。虽然有理数个数是无穷的，无理数个数更是无穷的，但无理数比有理数个数更多，即无理数分布密度大于有理数！打个比喻，无理数像海洋，有理数像海洋上的岛屿；无理数像云雾，有理数像云雾中的雨滴；无理数像量子场，有理数像量子粒子。如何定义测度二者的分布密度？

无理数理论一直为人忽视，它与量子场论、数论的关系如何？势必要牵涉众多数学领域。

 

从哲学上看，无理数显然具有更丰富的数学内涵，甚至具有某种深层数学结构。某种意义上，有理数是无理数海洋的“孤子”、“奇点”。在某一分辨率条件下，任何有理数之间的有理数个数是有限的，任何有理数之间的无理数个数是无限的。如果无限提高分辨率，发现有理数之间无限可分，且出现的有理数个数无限增多，而出现的无理数也无限增多，且后者出现概率密度是前者的无穷^无穷倍？！

显然这不具物理意义，如果我们给数学放大镜设置一个分辨率极限（粒度下限），那只能是普朗克尺度。注意，传统微积分未考虑这点，故在点状粒子物理学中必然产生奇性，即在量子尺度，微分方程失效了。为了避免奇性，就要求改革传统的点状粒子模型，改造方案之一是弦，之二是膜，或其它。

量子元胞是易汰场的混沌泡沫，但超越人类探测能力极限，但又假设或推测一定存在比量子更精微的物质流体，它是产生量子的基本场所，至于易汰由何种物质微粒组成，我们不可能知晓，但可以从现实世界推测易汰的某些基本参数或常数。易汰就是作混沌膨胀的“实连续”的虚空，从这个意义上讲，宇宙是无限可分的！而量子相对于易汰，则是离散的，它是现实世界的基本组构单元。

弦论方案是膜论方案的极限。膜论意味着点内存在AdS真空，即膜内卷曲空间，而点外存在dS真空，即膜外延展空间。两个宏微观世界通过弦丛相互联络耦合。

 

混沌易汰场论假说：混沌虚空膨胀，超引力是易汰全体对称性的产物，分布整个膜上及其体空间内。宇宙膜半径R越大，引力常数G减小，粒子物质质量越大，E=mc²，故？？。当宇宙膜内高激发态的真空斥力（与普朗克常数有关）大于量子宇宙膜（第一代宇宙膜）张力时，发生暴胀（第二代宇宙膜），直到大爆炸，在能量更为弥散的真空中凝聚为更小的基本粒子，并形成各具手性的宇宙畴壁，在宇宙边界形成第三代宇宙膜（宇宙辐射背景是量子宇宙的波纹）。大爆炸之后的宇宙真空处于更低的激发态，故所产生宇宙膨胀加速度开始逐渐降低（宇宙常数衰减，宇宙愈加透明），直到零加速度（宇宙常数衰减为零，暗物质涌泉停息，宇宙恒速膨胀）。而后两种情况：致使宇宙膜内外真空斥力差小于宇宙膜张力，宇宙开始全体收缩，黑洞逐渐增加、归并，物质开始吸纳入暗物质深渊，直至宇宙大坍塌；或宇宙继续恒速膨胀，完全弥散于外部真空中。

 

著名的德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。数论蕴藏着量子场论某些不变性的起源。研究整数有数论，整分整数=有理数=带周期性小数尾巴；而对于无理数，我们需要何种新数学理论？注意级数！

级数哲学（含臆测）。某些级数可将无理数展开表达为（含阶乘n！），某种单元型式构造（即有理数，整数为其特例）的收敛于零的无限序列。收敛有两类渐近类型：单调逼近或摆动渐近。一个无理数的级数展示形式是唯一的吗？单调渐近型生成的无理数与摆动渐近生成的无理数存在某种数学本质的不同吗？单调衰减收型敛级数对应某含自然函数的函数吗？摆动衰减收敛型级数对应某含三角函数的函数吗？不管如何，周期性运动（三角函数）与耗散产生的波动衰减趋势，是从纷繁复杂的自然界运动形式中抽象提取出来的两类典型方式，二者存在必然联系，统一于单位圆周的高斯方程。取左手向（顺时针）为正，横轴x为实轴，y为虚轴，随对象点在单位圆上作顺时针太极运动，则Cos(x)与Sin(x)的绝对值互相消长，但二者之和Cos(x)+iSin(x)=eix，从而与自然指数函数联系起来。自然常数e带有阶乘导数之和的全部骨架。

关于级数，泰勒定理（迈克劳林级数，即零点级数）和高斯方程，起着奠基作用。

无理数猜想：如果通过某种单元型式生成的级数单调收敛，那么这个级数一定对应某个无理数。若摆动收敛，则不一定对应。

无理数的有理数次方？有理数的无理数次方？无理数的无理数次方=何种数？注意纯粹从数学角度构造出的数，不一定具有现实意义。自然数才是最现实的，其次有理数，最后才是无理数。无理数必然与虚数i联系在一起！有理数相对于无理数，代数数相对于超越数。

涡子与奇点、扭结有关。

 

实数=代数数+超越数=有理数+无理数

康托证明，任何区间内的超越数的个数都一定远大于代数数的个数！即代数数集合是可数的，而超越数集合是不可数的！然而至今人们只发现和证明了极其稀少的几个超越数，如π。埃里克·坦普尔·贝尔以充满诗意的语言说：“点缀在平面上的代数数，犹如夜空里的繁星；而沉沉夜空则由超越数构成。”

因此，实数集>超越数集>无理数集、代数数集>有理数集，但无理数集>代数数集吗？

 

注意，无限与无穷、有界与有限、实无穷大与潜无穷大、实无穷小与潜无穷小等数学概念的内涵差别。

 

微分求导的物理解释：若对象在1+1维复空间运动，位移对时间的导数，即速率，dl(t)/dt=v。其次，对象在2+1维复空间的位移导数，即速率v；在2维空间上的偏速率（影子速率）之比，v₁(t)/v₂(t)，即平面曲线的斜率，通过系统内禀时间t而联系在一起；且v、v₁、v₂满足平行四边形法则。同样，可推广到3+1维空间、乃至n+1维空间。广义的平行四边形法则？勾股定律是平行四边形法则的特例。可见，通过引入时间t，而将dl₁/dl₂的分子、分母变化几何化地理解为在二维空间内趋于零极限的运动速率之比，即dv₁/dv₂，从而给分子分母赋予了某种不变性结构，故即使当分子分母量分别到达0极限时，dl₁/dl₂的数量形式蜕变为o/o，而微分求导dv₁/dv₂的速率结构形式仍然成立，因此防止了芝诺佯谬，证明了可进行微分求导，奇性问题片面了，物理定律同样在零点成立。同时，可见无穷小o可相消，微分d起到放大作用。

自牛顿、莱布尼兹以来，人们都关注于基于“无穷小的元”（微元dx）的微积分，研究视角是从大到小进行的；而忽视了“无穷大的元”（宏元Dx），基于“宏元”的宏积分，研究视角是从小到大进行的。

无穷小可通过同一对象运动的偏速率相比而相消，无穷大了？正如o/o，无穷/无穷也可以等于任何数值，即一般情况下看，其数值不确定。具体等于多少，这取决于分子分母趋向无穷大的速率。但是与前面不同的是，这里分子分母在变化过程中不存在0极限。如果冒然以¥为极限，这对于存在上限速度（光速c）的宇宙来说，则需要无穷久的时间；反之，则需要超光速。如果不考虑物理因素，趋向无穷大的速率就难以理解。除非我们设想宇宙是无穷而有界的这种情况！在无穷而有界的宇宙空间（如球面）中，分子、分母分别在趋向无穷大的过程中，必然因空间卷曲而产生某种周期性循环（缠绕），表现为研究对象的影子在低维超平面（如三维膜）上作某种“有限运动”（振动、扭缠等）。由此，可通过对膜上影子运动规律的研究，而可测度对象在全体空间及其在额外维空间内的运动。总之，无穷大问题实际上可几何化处理。无穷/无穷可理解为对象在低维膜面上的影子振动速率之比。如果分母对应三维欧氏空间内的影子运动，分子对应在其他卷曲膜上的影子运动，则可根据对前者的观察测量以及系统的某些守恒约束，而推测卷曲膜上的影子运动信息。并且，两类空间满足对偶原理和全息原理。基于现实3+1维空间内运动的观测，可推测高维空间内的运动，即延展空间与卷曲空间之间存在的对偶关系是高能物理实验研究的必要前提。

 

康托的集合等价定义：如果能够根据某一法则，使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系……那么，集合M与集合N等价。集合 M 与集合 N“等势”，或具有“相同基数”（等基）。该定义的重要性在于它并未限定集合M与集合N必须包含有限个元素，因此它同样适用于那些包含无限多个元素的集合。据此，康托进入了一片未开垦的处女地。他认为无穷可是为一个自足而完整的实体，而且“无穷”是一个应予以高度重视的实在概念，值得我们进行严格的理性论证。这样，乔治·康托仅仅依据这两个基本前提（即可以通过一一对应的方法来确定相同基数，实无穷是一个确实的概念），创立了最令人兴奋和意义十分深远的无穷数学理论，使我们进入了一个难以捉摸的奇特世界。虽遭一些数学权威时时嘲笑，但康托没气馁，而凭着天才和勇气，以完全前所未有的方式探讨无穷。

实际上，无穷是可以超越的，当超越潜无穷之后，潜无穷就确实化了。实无穷就是潜无穷的超越。认识不到这点，是产生芝诺佯谬的根源。康托迈出了勇敢的一步。任何能够与集合N构成一一对应关系的集合都是可列或可数无穷集。特别是，他引进了“超限基数”的新概念，用以表示可数集中的元素个数。

在任何两个整数之间（比如在0与1之间），都有无限多的有理数。因此一般人都会猜想，有理数的个数远远超过自然数。但康托证明，有理数集是可列的，而且与自然数集之间构成一一对应关系。按康托的列举方案，每一个自然数必与一个、且仅与一个有理数相对应；反之，每一个有理数也将被一个、且仅被一个自然数所指定。因此，有理数与自然数一样多。

对于任何实数区间，不论长度多么小，自然数集都与之不能构成一一对应关系，这就是连续统的不可数性定理。由此可进入分析领域。连续统不可数，意味着从自然数集到连续统的存在“分岔关系”，可能与混沌理论有关。

康托证明了，无理数集的基数与全部实数集的基数是相同的。而且正方形中的点并不比区间内的点多，两集合的基数皆是c。同样，一维线段上的点数与n维空间内的点数是相同的。该定理若成立，也应是全息论的数学原理之一。无穷基数c是最高一级的级数。

若进一步，无穷短的一维线段退化为一个点，奇点=宇宙？

康托定理：A的任意子集的基数小于A的幂集（子集之集）P[A]的基数。笔者认为可推广到物理上，系统内的局部熵总小于全局熵。

如果我们构造一个一切集合的集合，并称之为 U（即“泛集”或宇宙集）。但把康托定理应用于此，于是得出P[U]远远大于U本身。因此，康托集合论的核心出现了灾难性的矛盾。1895年，康托发现了这一悖论；其后几十年间，数学界一直在寻求一种方法，以弥补这一悖论所造成的逻辑缺陷。

问题的最终解决看来需要建立集合论的形式公理系统（正如欧几里得建立了几何学的公理系统），通过精心地选择公理而剔除理论上的佯谬。但是，将集合论“公理化”的目的基数谨慎而明确规定了“何谓集合”。因此通过公理化集合的正名，而把一切集合的集合（“泛集”）排除在有意义的集合概念之外。康托集合论称为“朴素集合论”，以区别于公理化集合论。

为此，康托在晚年提出的连续统假设认为：在超基数N₀与无穷基数c之间不存在别的超基数。因此，二者的关系很像在0和1之间不可能存在其他整数一样。换言之，连续统假设表明，实数的任何无穷子集，要么是可数集（超基数N₀），要么不可数集（与(0,1)构成一一对应关系，无穷基数c），没有别的可能性。

哥德尔证明连续统假设在逻辑上与集合论公理系统彼此相容，即不可能用集合论公理系统证明连续统假设不成立。康托的连续统假设如当年将平行公设引入非欧几何一样，因此，可称之为连续统公设！必然地，连续统公设应带领我们进入更高的数学境界！那是什么样的境界了，我们拭目以待。。。希尔伯特曾说“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”

但是，我认为解决康托集合论中的佯谬，他某些结论确实是有违常识或直觉的，有点谈天衍，如果正方形内的点与边长上的点一样多，那么边长上的点内结构一定不同于正方形内的点内结构。所以或许应该引入一种新的度量来测度集合---元素内在结构、元素分布密度。正如引入速度解决芝诺的饶舌，引入密度解决康托的迷惑。

哲学、纯数学中的某些悖论，是忽视了某些时空有关的量而产生的，尤其是点，因为传统数学中的点是没有结构的。数学上最基本的简化是所谓的“点”，试图轻装简从地深入自然，而恰恰是忽视这“点”成为许多佯谬的深刻根源。

 

0⁰、i ⁱ、无穷^无穷，如何计算和解释？

 

分形是某方程不断自我迭代所生成的图像，相当于某种运动方式不断自相作用所产生的轨迹，遍历空间或时空。

分形，复分形，扭结。2维分形，3维分形，4维分形，n维分形。其中四维复分形最为有趣，值得探索！

 

算子，刻画时空流形，或描述物理运动。生灭符算子作用于真空，产生0-1量子场；易汰场算子作用于量子场，产生旋涡流形；流形产生粒子、万物、宇宙。大爆炸是极限条件下的流形裂变，热力学熵称之为太初相变。

 

许多物理学家遗忘了一个关键问题：不同尺度层级的物质，对应各自的本体几何形式和场方程。要想用某一个几何本体及其对应的某一方程（定理）来概括尽宇宙万物规律，那是不可能的。如果可能存在这种万有理论，那么它一定是唯象的，而非实证的。

数学中有哥德尔代数体系不完备定理，那么以上可称为物理本体不完备定理。

如果成立，并不使人绝望，因为关键问题在于如何将不同层级的定律联系起来，---混沌之道。

 

奇点大爆炸？源于奇点，后又证明奇点总藏于黑洞内，即奇点不裸。黑洞蒸发与奇点爆炸的区别。宇宙奇点佯谬暗示当代物理认识存在一个重大漏洞，那就是对宇宙本体物质的传统刻画形式存在问题，点状粒子应为其它物理刻画形式代替---超弦？超膜？超流？或许，需要一个内涵丰富的元素量，来统一点线面体建造的宇宙。基于弦还是膜？还是管？管可收缩为点，拉伸为线，膨胀为膜（球），充实为体！还可以扭结纠缠、分化组合，粘接撕裂、碰撞振动。能量管，物质壁，开管、闭管。。。

 

虽然如此，但若一开始物理研究对象太复杂，考虑因素或参数太多，也不利于物理研究。长期以来，原子论、点粒子是经典物理学描述宇宙本体的基本形式，这源于宇宙天体到微观粒子有去耦成球状质心点的趋势（能量体的表面积总趋于相对最小以达到相对稳定，膜张力，极小曲面数学）。当然，我们已认识到点状粒子不可避免奇性或无穷大，为此超弦论登上舞台，但又显得太唯象，进而膜论又登台了，越来越复杂。物质单元的简化程度与系统流形的复杂程度。

彷佛暗示人类对物质本体形式的开始从当初有用的简单化开始复杂化了。但这种复杂化可能走入深刻，也可能误入歧途。为此，需要额外维空间来测度、刻画物质运动。额外维到底最高可达多少是必要的？十维、十一维？六维的卡丘流形元子是如何与全体宇宙易汰流形相联络的？这需要对紊流结构的弦论研究、膜论研究来试图取得突破。

 

人类对宇宙物理的认识，像自然界生物进化史一样精彩，从表象到深刻，从简单到复杂。

 

高斯方程：0，1，π，e，i五先生的对话。其实，太极图中有4个重要数字：0，1，i，π，并对应一种手性规范场