在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t)，不能确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这一时刻位矢的导数 ，而这

五、相空间

定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；

由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。

在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t)，不能

确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这

一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻

的r(t)。






要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，

将3个坐标分量 和3个动量分量

合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相

空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质

点的运动。


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第六章 低速宏观运动规律的正则形式

运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、

哈密顿形式、泊松括号

对于拉格朗日形式：

1.力学系统的描述：


2.拉格朗日方程：






3. 缺点：方程中 地位不平等

力学系统的描述改为： (广义坐标)、 (广

义动量) 。

：有共轭关系。用 这一对变量深刻

反映了运动本质，且可得到更为对称的运

动方程 —— 正则方程。


§1.6.1 哈密顿方程

一、勒让德变换 （将 ）






设：f = f (x,y)——两变量

则


又

两式相减：


——关于x,Q变量的全微分

(勒让德变换)








变换后的函数：

Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：从Q=Q(x,y)解出y=y(x,Q)

f = f (x,y) f = f (x,Q)

因此：

g=f – Qy=g(x,Q)


说明：

1．(1)、(2)两式相减的另外一种结果：


(本质上与前面无差别)








2．若要将变量x变为P ，则



上两式相减：



这样













3.对于

用Q取代y，则将df中的dy前的Q乘以被取代的y，

再减去原函数 f；用P取代x，则将df中的dx前的P乘以

被取代的x，再减去原函数 f。


4. f = f (x,y,z)——三个变量 (可推广到N个变量)

要将 ，采用与前面一样的方法，

有：






二、哈密顿函数

设： ，t ——固定参量

则：







又广义动量：


拉格朗日方程：




而


(上式中 不对称)









目的：

作变换：

——哈密顿函数


得：




又











与 比较得：H就是系统的能量E。


在 中，H只是 的函数。


一般情况：


三、哈密顿方程

由 H=H(q, p)得到：






比较


于是有：






——哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程)






说明：

1．数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2s个)，而

拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算；

2．哈密顿方程中， 地位平等——相互共轭的正

则变量；

3．哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力

学的过渡。






四、最小作用量原理

已学：由最小作用量原理导出拉格朗日方程

现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程


因为 ， 所以 。


将L代入作用量 ，得：






而






极值条件：


又 互相独立，所以







即

——哈密顿方程


五、相空间

定义：仅由广义坐标 形成的空间叫位形空间；

由 这一对共轭变量形成的空间叫相空间。

在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t)，不能

确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这

一时刻位矢的导数 ，而这意味着需要知道相邻时刻

的r(t)。






要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，

将3个坐标分量 和3个动量分量

合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相

空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质

点的运动。

质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的

曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭

合曲线。






§1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket)

一、力学量对时间的导数

哈密顿形式下， ——力学系统的状态。

力学量用 来表示的例子：

一维线性谐振子：



2. 粒子的能量、角动量







设：f ——力学系统的任意力学量。

一般情况：f = f (p,q,t)，则





哈密顿方程：






定义：H和f 的泊松括号





——用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程







说明：

1．用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方

程表述得非常简洁；

2．泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松

括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见

曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材

p464：






二、用泊松括号表示出的运动方程

因为


1.

——f中不显含时间，只含

则


2.

——f中不显含时间，只含










则


即



——用泊松括号表示的运动方程


实际上：







三、能量守恒与动量守恒

设： f = f (p,q)不显含时间t，即

则：


又若

f 守恒

——不显含时间t的力学量守恒的充分必要

条件是它和H的泊松括号等于零






若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒


循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标。

1.设：H不包含某一广义坐标 ，则





——与循环坐标 对应的广义动量 守恒







2.设：H不包含 ，则





因此，广义动量也称为循环坐标。


这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，

地位相等，广义动量也可视为广义坐标。






四、泊松括号的性质

设：任意两个函数 f, g：f = f (q, p, t), g = g(q, p, t)

定义：f 和 g的泊松括号为



泊松括号的重要性质：

1．基本的泊松括号(由正则变量组成)








2．反对易性


3．分配律


4．结合律


5．若c为常量，则



6．求导运算







x：时间、广义坐标、广义动量等变量


7．线性


8．雅可比关系


对于哈密顿正则方程的说明：

1．提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分

方程；






2．并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因

为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗

日方程。


§1.6.3 正则变换

一、正则变换的涵义

广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即






决定 ，即决定了系统中所有质点的位置

也是广义坐标

是 之间的变换

例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系




就是这种变换。












都是广义坐标。


笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。

变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈

密顿表述都如此

但：在哈密顿表述中， 地位平等，坐标和动量已

失去其原有的意义。

寻找更广泛的变换











在变换中， 中同时包含

当 时，哈密顿函数



使得：


此时称： 为正则变换。

变换的结果：










问题的关键：寻找正则变换


二、正则变换的生成函数

由变分原理，有




类似地：






由前面变分原理的两个表达式可得：两个被积函

数相差一个任意函数F对时间的全导数，即



事实上：


而在端点处：






(1)式中的F称为正则变换的生成函数，即


——4s+1个变量


其中： ——2 s个方程


除去时间变量外， 有2s个独立变量。


F有四种形式：






选 ，则





比较：







即：




若给定 ，则











因为：



恒等式：






所以



令


中的 ：






又


而





比较得：









若：给定


则：






同理：











三、正则变换举例

1．由 生成的变换

设：


因


所以











——恒等变换


2．由 生成的变换

设：


因


所以







结论：老的广义动量 新的广义动量

老的广义坐标 新的广义动量 (相差一负号)

——坐标、动量平等



哈密顿—雅可比理论 生成函数 正则变换

所有跟帖： 

• 拉格朗日 把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，引入了势和等势面的概念,改变为以能量为基本概念的分析力学形式 -marketreflections- ♂ (574 bytes) () 04/22/2010 postreply 15:57:34

• 在经典理论中，电磁场矢量的运动方程是Maxwell方程；在量子理论中，场矢量是作为算子来对待并受Maxwell方程支配。物理系统 -marketreflections- ♂ (3791 bytes) () 05/03/2010 postreply 11:54:42

• 氢原子的经典电磁辐射及稳定态 -marketreflections- ♂ (3575 bytes) () 05/03/2010 postreply 12:02:38

• 薛定谔方程 能量算符作用于某粒子的波动方程结果等于该粒子的能量与其波函数的积，简单的说就是粒子的运动状态函数由该粒子的动能和所处 -marketreflections- ♂ (1921 bytes) () 05/03/2010 postreply 12:09:40

• 牛顿粒子在某位置上的动量，动能是清楚确定的，对称地，基本粒子在某位置上的动量，动能是模糊不定的，是围绕本征动量与本征能量上下浮动 -marketreflections- ♂ (4048 bytes) () 10/23/2010 postreply 17:43:54

• 运动方程，都是时间演化规律的一般性反映，若要通过求解运动方程得到对某个具体问题的认识,要附加初始条件’,量子化条件具体表现为它必 -marketreflections- ♂ (21745 bytes) () 10/23/2010 postreply 17:54:02

• 单值，连续，可积，3不合格保守系统波函数图形 -marketreflections- ♂ (412 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:03:10

• 索罗斯 均衡概念是非常有用的，它容许我们将注意力集中于最终的结果而不必考虑形成这一结果的过程 -marketreflections- ♂ (1732 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:17:13

• 每一个系统都必需要对系统进行全面分析。任何系统的动力学都由一量子哈密顿算符，H，所描述。系统中有一量子数对应能量，即哈密顿算符的 -marketreflections- ♂ (9550 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:39:16

• 基本粒子包含不少量子数，一般来说它们都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理学上标准模型的量子态，所以这些粒子量子数间 -marketreflections- ♂ (244 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:40:13

• 每一个量子数代表问题的一个对称性。这在场论中有着更大的用处，被用于识别时空及内对称 -marketreflections- ♂ (82 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:41:58

• 一级微商也是连续函数 -marketreflections- ♂ (13374 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:50:22

• 波函数及其一阶微商的连续性：势能函数 在其空间变量变化的全部范围内连续 -marketreflections- ♂ (11321 bytes) () 10/24/2010 postreply 07:58:18

• 我看狄拉克方程、薛定諤方程、與海森堡不確定原理 -marketreflections- ♂ (25171 bytes) () 10/24/2010 postreply 08:03:00

• 谈谈G20财长会议联合公报 -marketreflections- ♂ (60 bytes) () 10/24/2010 postreply 08:36:54

• 在牛顿的绝对空间、绝对时间以及伽利略的旧的相对性原理框架中，只有以无限速度运动的物体，在相对匀速运动的坐标系中才具有相同的速度， -marketreflections- ♂ (7116 bytes) () 10/24/2010 postreply 08:54:24

• 而电磁波是以有限速度传播的，在旧的相对论框架中，它的速度会因坐标系的选取而改变，这样他的方程只能在一个特定的坐标系中成立，这个坐 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 10/24/2010 postreply 08:55:29

• 引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程 -marketreflections- ♂ (506 bytes) () 10/24/2010 postreply 08:57:14

• 空间如果不存在物质，时空是平直的，用欧氏几何就足够了。比如在狭义相对论中应用的，就是四维伪欧几里得空间,一种运动 -marketreflections- ♂ (6153 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:04:02

• 当空间存在物质时，物质与时空相互作用，使时空发生了弯曲,多种运动 -marketreflections- ♂ (61 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:05:59

• 回所有参考系在描述自然定律时都是等效的。这与狭义相对性原理有很大区别。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别 -marketreflections- ♂ (200 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:06:59

• 第二个原理是光速不变原理：光速在任意参考系内都是不变的。它等效于在四维时空中光的时空点是不动的。当时空是平直的，在三维空间中光以 -marketreflections- ♂ (250 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:08:43

• 第三个原理是最著名的等效原理,非惯性系与引力之间也建立了联系, pricing -marketreflections- ♂ (696 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:10:22

• 爱因斯坦：狭义相对论不能解释惯性系的特殊、优越性问题 -marketreflections- ♂ (13636 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:14:41

• 以惯性质量与引力质量相等这一事实出发：：“引力场同参照系相当的加速度在物理上完全等价。” -marketreflections- ♂ (716 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:17:02

• “广义协变原理”的建立,把洛仑兹变换推广为非线性变换。爱因斯坦在谈到当时的认识情况时曾写道：“接受了等效原理所要求的非线性变换， -marketreflections- ♂ (1047 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:19:20

• 实际的引力场并不是均匀的，当将等效原理加以推广时，人们只能将局部点的引力场等效于不变的加速度，而这个加速度的大小从一点到另一点却 -marketreflections- ♂ (340 bytes) () 10/24/2010 postreply 09:21:31

• 德西特 (Willem de Sitter) 在 1917 年提出爱因斯坦方程的另一个解时， 他小心地采用了使度规张量与时间无关 -marketreflections- ♂ (12415 bytes) () 10/24/2010 postreply 10:39:03

• 在麦克斯韦对场方程的表述中就只包含了最少的时空导数。 我们如今知道， 统治电动力学的方程包含有带任意阶时空导数的项， 但那些项就 -marketreflections- ♂ (888 bytes) () 10/24/2010 postreply 10:41:59

• 侯的《物》里说了一段话，使我顿悟微几的关键所在。 他告诉我们，微分几何的概念结论等等都是在一个原则下展开的： 所讨论的东西都要与 -marketreflections- ♂ (6594 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:04:46

• 爱因斯坦的时空处于封闭空间中的观察者无论采用什么测量方法（可以想象成带电小球洛伦滋力的作用）都无法区分自己是处于引力场还是加速参 -marketreflections- ♂ (4604 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:15:14

• Maxwell方程中含有源，反过来，源的方程（Dirac方程）中也含有电磁场，总之，电磁场与源所满足的两个方程是“你中有我，我中 -marketreflections- ♂ (204 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:20:26

• 在有质量存在的空间中就不同了。以地球为例，重力场指向地心，因此不是均匀的。不同的局部惯性系之间有无法消除掉的相对加速度（亦即潮汐 -marketreflections- ♂ (9579 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:25:06

• 广义相对论的发展表明，真正严格的惯性系只能是一些局部惯性系（爱因斯坦电梯）。现在各个点上的局部惯性系之间是可以有相对加速度的。那 -marketreflections- ♂ (9866 bytes) () 10/24/2010 postreply 15:49:18

• 科网每位实名博客是准粒子，不能也不该是牛顿粒子。我们相互关联，耦合在一起 -marketreflections- ♂ (1254 bytes) () 10/24/2010 postreply 15:51:51

• 相对论的重力场方程序就相当于描述电磁场如何于时空中变化的麦克斯威尔方程 -marketreflections- ♂ (425 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:27:10

• 爱因斯坦的相对论首次提出了时空的概念，它认为时间和空间各自都不是绝对的，而绝对的是一个它们的整体——时空，在时空中运动的观者可以 -marketreflections- ♂ (8203 bytes) () 10/24/2010 postreply 11:30:15

• 爱因斯坦在谈到当时的认识情况时曾写道：“接受了等效原理所要求的非线性变换，对于坐标的简单的物理解释无可避免是致命的——那就是说， -marketreflections- ♂ (1491 bytes) () 10/24/2010 postreply 16:21:05

• “度规”就是决定空间的一切度量性质（内禀）的量。广相的问题就是找出物质分布时空间的度规; 度规，是给定坐标的选择后，由坐标系性质 -marketreflections- ♂ (2668 bytes) () 10/24/2010 postreply 16:39:09

• 度规张量有10个独立的分量。当弱场近似时其中某个分量恰恰是牛顿的引力势。这意味着度规张量既决定空间又对应引力势，根据牛顿引力势满 -marketreflections- ♂ (270 bytes) () 10/24/2010 postreply 16:43:04

• 研究广义相对论所需数学工具贴子汇总 -marketreflections- ♂ (37 bytes) () 10/24/2010 postreply 16:46:12

• 在宇宙膨胀时暗能量的密度没有随时间而快速变化， 如果它果真与时间无关， 那它就正好是宇宙学常数所预期的效应。 无论这方面的结果如 -marketreflections- ♂ (318 bytes) () 10/24/2010 postreply 10:44:18

• 物理好图 量子力學是由投影的方式進行左向量 與右向量的內積 結果去估算機率, 所以你要說他錯也無不可, 但她還是基礎穩固站的住腳 -marketreflections- ♂ (16997 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:07:49

• 由其數學特性, 其解無限多組解. 由邊界條件可以把解的形式固定下來. 稱為特徵(本证)函數. -marketreflections- ♂ (158 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:12:33

• 态函数及其演化方程 测不准原理,能量本证态界定“后”，平面波已经在全空间料 -marketreflections- ♂ (412 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:20:30

• google "能量算符作用于波动方程结果等于该粒子的能量与其波函数积内积外积" -marketreflections- ♂ (4505 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:22:04

• "粒子运动状态函数动能所处势场" -marketreflections- ♂ (4266 bytes) () 05/03/2010 postreply 12:17:39

• 形象的说,算子是操作,泛函是被操作的对象. -marketreflections- ♂ (272 bytes) () 05/03/2010 postreply 14:51:25

• 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物 -marketreflections- ♂ (2551 bytes) () 05/03/2010 postreply 15:09:05

• 映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图 -marketreflections- ♂ (229 bytes) () 05/03/2010 postreply 15:09:56

• 范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数 -marketreflections- ♂ (288 bytes) () 05/03/2010 postreply 15:12:49

• 型算子,收敛速度,收敛性质,收敛定理,迭代,二阶光滑模,向量范数,向量表示,收敛极限,若干问题,论文,矩阵范数,保单调性,正方形 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 05/03/2010 postreply 15:18:12

• 黄鹏辉 克莱因-戈登方程和狄拉克方程的背景知识 -marketreflections- ♂ (16131 bytes) () 05/04/2010 postreply 08:17:11

• 物理学史背景知识, wiki -marketreflections- ♂ (66 bytes) () 05/04/2010 postreply 08:54:39

• 克莱因-戈登方程是基于二次能量动量关系，而薛定谔方程基于一次能量动量关系 -marketreflections- ♂ (15835 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:02:41

• 在K点附近，能量线性地依赖于波数，非常像相对论粒子;在低能区，电子可以用狄拉克方程来描述 -marketreflections- ♂ (7479 bytes) () 05/05/2010 postreply 04:14:18

• 回转系统的模态分析 -marketreflections- ♂ (3839 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:09:11

• 模态分析微分几何矩阵 -marketreflections- ♂ (529 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:21:48

• 典弹性理论和微分几何、矩阵方法等数学理论,基于空间自然坐标系和随体坐标系,通过求解应变与位移之间关系的微分方程,得到了一种能完全 -marketreflections- ♂ (229 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:25:49

• 光波是矢量波（电磁波）电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢 (图) -marketreflections- ♂ (7049 bytes) () 05/04/2010 postreply 17:02:51

• 定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中。定态部分即与时间无关部分为 ,即为复振幅。 -marketreflections- ♂ (243 bytes) () 05/16/2010 postreply 16:48:07

• 复振幅的引入,会使很多计算简化。例如波的迭加和微积分运算。 -marketreflections- ♂ (496 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:04:13

• 对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 -marketreflections- ♂ (514 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:14:27

• 空间频率与某一物理量在空间区域内所具有的周期性分布有关 -marketreflections- ♂ (849 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:19:49

• 阿贝成像原理: 物是一系列不同空间频率的集合 -marketreflections- ♂ (539 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:35:44

• 一维、二维和三维光子晶体中的  k的关系或者能带图:波矢k平行于二维周期平面 -marketreflections- ♂ (751 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:58:12

• 原子置放到雷射光,形成的週期位能中，即可排列形成光晶格 -marketreflections- ♂ (14024 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:03:44

• 會出現一些因為內部自由度而產生的額外振盪行為 -marketreflections- ♂ (172 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:27:08

• 我們可以利用一道雷射光和其反射光來產生單一方向的周期性位能，配合垂直於（一維）方向的束縛，即可形成一維光晶格 -marketreflections- ♂ (372 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:30:13

• 此時原子團本身的物理行為 [例如集體共振模 (collective modes)]就要考慮到。簡單來說，在這樣的系統下，聲子模不 -marketreflections- ♂ (815 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:33:17

• 黄鹏辉 定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中。定态部分即与时间无关部分为 ,即为复振幅。 -marketreflections- ♂ (525 bytes) () 05/17/2010 postreply 12:23:01

• 磁场所在平面为X平面，那么电场所在平面就是Y平面，而传播方向就是Z轴:永远只能在Z轴上看到光子 (图) -marketreflections- ♂ (11218 bytes) () 05/17/2010 postreply 12:50:59

• 分数维度的理论，认为真实世界的空间，是连续结构系统，而不是离散的整数维的三维结构 -marketreflections- ♂ (3263 bytes) () 05/18/2010 postreply 13:48:08

• 连续维度的三维空间，当我们在迷宫里的时候，实际上是处在相当于2.0…01维的状态；当我们在山顶上的时候，相当于处在2.9…99维 -marketreflections- ♂ (3368 bytes) () 05/18/2010 postreply 13:51:38

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