黄鹏辉 克莱因-戈登方程和狄拉克方程的背景知识

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关于克莱因-戈登方程和狄拉克方程的背景知识和个人观点2010-04-17 23:42:55
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这些内容是我在写作《克莱因-戈登方程和狄拉克方程——量子力学基础问题研究(二)》论文时，边写边记录的一些随意性的想法，我做了简单整理，可能缺少逻辑和系统性，供大家参考吧。
1、本文的主要特色有这么几点：一，利用能量动量算符代换方法得到所有光波和物质波方程。二，得到“一次光波方程”和相对论近似方程。三，能量动量算符都是正负号成对出现。四，给出一种清晰和流畅的狄拉克方程推导方法。五，给出克莱因-戈登方程和狄拉克方程的相对论四维时空表示形式。其中“一次光波方程”的物理意义还有待于探索，它是不是代表着一种新的粒子存在呢？或者说它是否就是中微子的波动方程呢？这还有待于物理实验和理论的深入验证。我们要考虑到的是，现在每一种波动方程都代表着一种粒子存在，即使是声波方程，现在也创造了一个声子模型。我也期待相对论近似方程能够得到应用。凭直觉，我认为负能量算符方程应该就是描述象正电子这样的反粒子的，只是还有许多理论工作要做。而狄拉克方程的相对论四维时空简化表示形式，我一直无法查到一种最简单、清晰、方便的推导方法，最后我自己发现了现在论文中的这种推导方法，这应该也是一种物理数学方法创新。
2、一般认为薛定谔方程至少有三个局限：第一，与侠义相对论不符合；第二，不适合静止质量为0的粒子，因为薛定谔方程中质量不能为0。第三，不能描述原子光谱的精细结构。因此，发展相对论量子力学就是必然要求，也就是要把侠义相对论与量子力学融合统一起来，就这个课题来说，克莱因-戈登方程和狄拉克方程只是两种现在被人认可的尝试。其实“侠义相对论与量子力学融合”的课题未必就只有这两种尝试，我们应该追求更多的尝试。
3、狄拉克方程的重要意义在于它能够很好地描述原子光谱的精细结构，并且能够推导出电子的自旋量子数，狄拉克甚至基于这个方程提出了负电子海、空穴等概念，还预言了正电子的存在。但是狄拉克方程后来在量子电动力学中也面临一些困难，比如无穷大困难，狄拉克在他的《量子力学原理》最后部分也做了简短说明。一般认为，这些困难后来都被量子电动力学解决了，但是，量子电动力学的发展是进行过度复杂的数学处理，而不是从物理的简单化或公理化本质入手，这一直是作者不太满意的地方。
4、狄拉克预言正电子和反粒子存在、瑞利与拉姆塞发现惰性气体元素家族、汤川秀树预言介子存在，这是三个重大的“家族”发现。现在一般认为粒子世界的大综合是盖尔曼的夸克理论，作者略表怀疑，因为夸克理论似乎没有显示出一种类似于门捷列夫元素周期表这样简单、清晰的物理或数学图像。当然，也许是作者孤陋寡闻。
5、薛定谔方程、克莱因-戈登方程和狄拉克方程这三个方程在量子力学和原子光谱的应用效果等方面，还应该做出更为详细对比和总结，包括理论和实验数据方面的详细对比。这方面我从牛顿的《原理》一书中得到许多灵感，因为牛顿在书中引用了大量的天文数据作为他的论据。但是，在中国，实验是一个极大的弱项，我们写论文都很难找到国内可以引用的实验数据，而有些做了实验的，又只想把论文发表在国外，另外许多产品开发实验可能只注重应用，而很少关注学术和科学发现。中国的物理教育应该以实验为主，实验是工业发展的技术基础。多开发一些新的实验、军事技术储备时多兼顾民用和教育、学术方面，这些应该是美国发展的优秀经验。
6、狄拉克方程在形式上完全是基于薛定谔方程而推导出来的，这两个方程构成了量子力学的核心基础。只是这两个方程的推导方法更多的是依靠数学类比和算符代换，而不是通过底层的公理基础完成的。如果仔细核对光学和电磁学的麦克斯韦方程组，其实也是这种情况。因此，光学和量子力学都存在深层次的基础问题。相比较而言，经典热力学就要完善得多，它完全是基于几条可靠的公理和微观统计力学模型、来完成各种复杂的数学计算的。也正因为如此，当100多年前，物理学遭遇重大危机的时候，普朗克和爱因斯坦都坚信，物理学中最牢固的大厦一定是经典统计力学。即使到今天，我也仍然相信并且愿意重申这一点。 现在，物理学界基本能够认可量子力学是对微观粒子系统的统计描述，但是，对照经典热力学成熟的公理体系，量子力学的公理化过程还有很远的路要走。我更希望这条路能够走向统计热力学、光学和量子力学的大融合，这将是中国物理学发展的重大机遇，各位物理和数学爱好者切勿错过！
7、在推导狄拉克方程的过程中，其系数方程是没有实数和复数解的，但是狄拉克巧妙地想到了矩阵解。这种待定系数的数学求解方法绝对是一种重要的创新思路，我们现在可以看到，一维洛伦兹变换、薛定谔方程和狄拉克方程的推导过程，这些在物理历史上具有里程碑意义的重大突破，都是采用待定系数法求解的。这充分显示了待定系数法的重要创新价值。
每当我们碰到没有解的情况时，我们一定要想到，这很可能是一个重要的创新机遇。我曾经在与学生交流时，问他们会不会解微分方程，有的人会说，并不是所有的微分方程都能够求解的。然而，狄拉克的思维方式启发我们：每一个看起来不能求解的微分方程，很可能都是摆在你面前的一次物理或数学创新机会，一定不要轻易放弃。
8、在我写作本篇论文时，我参考现在国内能够找到的几乎所有的优秀量子力学教材，我在论文的参考文献中都列出来了，这些教材显示出中国的量子力学教学已经有了相当的基础了。但是，能够完整和清晰推导狄拉克方程的，却不太多，这也显示出国内对量子力学的研究还是很不深入的。因为狄拉克方程可以算是量子电动力学的起点之一，国内没有几个人能够推导狄拉克方程，那国内对量子电动力学有深入研究的人就更加少了，现在除了有几本翻译的书以外，我至今还没有查到一本国内学者写的量子电动力学书，也许是我孤陋寡闻。
9、在写作本篇论文时，我也发现，狄拉克方程所涉及的内容太博大精深了，一钻进去，没有半年难以理清头绪。本文其实是我花了好几个月的功夫修炼出来的，希望能够奉献给广大的物理和数学爱好者。理清了狄拉克方程，一般来说应该就站在了量子力学的半山腰上了，但还没有到一览众山小的山顶，因此，还须努力。我的另外一种感觉是：虽然狄拉克方程是量子力学和量子电动力学的重要基础，但它很难理解和学习，就象一座大山一样挡在学习者的面前。当你翻过这座山时，就象是过了喜马拉雅山，可以看到一望无际的平原地带了。
10、象狄拉克方程这样的复杂论文写作之艰难，超出我的想象。要探究其物理意义、要排除错误、到处都可能出问题、到处有不明白的知识要查资料、有的甚至根本就没有资料可查、或者资料之间有矛盾和冲突，须仔细鉴别。论文写作持续时间如果太长，心情将会变得极其郁闷和烦躁，身体不好的人绝对承受不了——现在有人还以为霍金能够做出重要成就来，那简直是说外行话。完成一篇优秀的论文是要忍受非人的折磨的、其困难程度足可以让人崩溃。我不知道中国这么多学物理的人，有几个有我这样的经历，如果没有这样的经历，那么想在物理研究中做出大的成就，恐怕还没有谁有这么幸运。
11、在刘希明的《高等量子力学》和苏汝铿的《量子力学》中，都给出了在远小于光速的低速情况下，克莱因-戈登方程过渡为自由粒子薛定谔方程的推导过程，不过我认为这种过渡方式是不自然的。一方面因为克莱因-戈登方程是基于二次能量动量关系，而薛定谔方程基于一次能量动量关系，这种过渡的物理基础是个问题。另一方面克莱因-戈登方程能够很自然地过渡为二次光波方程，那么其他牵强的过渡有什么物理意义呢？第三，狄拉克方程应该能够自然地过渡为薛定谔方程，因为都是基于一次能量动量关系，不过现在好象也没有找到一种很好的过渡方法，其深层次的原因值得探讨。
12、我曾经从薛定谔方程反推出其能量动量关系。我相信从狄拉克方程应该也可以反推出其能量动量关系，只是我现在没有时间做，感兴趣的学生不妨试试。
13、在狄拉克方程的推导过程中，有两个地方体现了狄拉克的独特创造性：一个是采用了一种相当巧妙的去掉根号的方法，实际上是一种待定系数法，这种思路可以说是数学求解方法的典范。另一个是在确定系数时，很巧妙地应用到了泡利矩阵，这不是常规思维方式所能够想象出来的。做创新性的学术研究一定要采用非常规的思维方式。然而，中国教育的一个巨大问题就是：考试只会把人局限在常规思维方式的框架内，这是作者要反复强调的一点。一个不争的事实是，中国有那么多通过考试选拔出来的硕士、博士生，但是几乎没有一个能够在物理方面做出重大成绩，这足够警醒我们。从这个角度来看，我也庆幸自己没有考研究生、没有进入研究机构，虽然这样也导致了自己生存的艰难，不过我相信的一点是，任何重大成就都是在艰难条件下取得的。
14、在狄拉克方程的验算过程中，(4.36)式和(4.31)式大矩阵平方后，所得新矩阵的对角本征值确实符合(4.39)式。这里，“矩阵的对角本征值”就是薛定谔波动方程与海森伯矩阵力学的等价性所在。通过学习这样的内容，我们对薛定谔波动方程与海森伯矩阵力学就都会有一些了解了。不过作者仍然有一个疑问，就是为什么只有对角本征值符合(4.39)式，新矩阵的其他元素究竟有什么物理、数学方面的价值和意义呢？这个问题深入追究下去应该是很有价值的。另外，何纯挺在与我交流的时候，还提到一点：“那个对角本征值我不是很明白是什么？”，这也还有待于消化。
15、物理学大综合之一。仔细分析狄拉克方程，它其实是综合了爱因斯坦侠义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动力学三方理论而得到的一个方程，这显然是实现了物理学上的一次大综合。物理学上凡是能够实现大综合的人都能够进入伟大物理学家的行列。但是，狄拉克的这种大综合是不是唯一的解决方案呢？我看未必，尤其是后来量子电动力学发现了一些与狄拉克方程不符合的现象，而且量子电动力学本身又没有实现另外一次更好的大综合。因此，实现比狄拉克方程更好的大综合应该是我们的追求目标，我希望量子电动力学公理化课题能够完成这一任务。但我也希望还有其他合理的方案出来。
16、物理学大综合之二。历史上实现了大综合的有这么一些人：牛顿的力学、麦克斯韦的电磁学和光学、多人的热力学、普朗克的黑体辐射、爱因斯坦的相对论、玻尔的氢原子光谱、狄拉克的量子力学，等等。其实，我们现在回过头来仔细分析和总结这些大综合，应该会有更深的体会和发现。如果我们带着怀疑的眼光来审视这些大综合，或许能够发现更多的问题，比如，我怀疑这些大综合是不是唯一的解决方案。我目前从直觉上怀疑的至少有四点：
一、热力学的公理体系是否合理？
二、狄拉克方程未必是最合理、或唯一的方案。
三、侠义相对论中的一维洛伦兹变换是不是唯一解？
四、广义相对论是不是最合理、或唯一的方案，时空弯曲是不是真实的假设。
当然可能还有其他一些问题。这些问题值得深究。
17、物理学大综合之三。现在有两个物理分支必须要追求形式统一，一个是波动方程、一个是光电散射或叫电磁散射。我费劲地研究薛定谔方程和狄拉克方程的推导过程，就是瞄准的波动方程统一形式。而康普顿-吴有训效应的最新理论解释则是瞄准的光电散射统一形式。当初爱因斯坦研究统一场论，也是要追求各种场的形式统一。不过，据说费曼提出了与爱因斯坦相反的观点，就是说我们为什么要追求形式统一呢？也许世界的本源本身就是不统一的。或许他们两人说的都有道理。如果从公理化的角度来看，那么费曼的观点就远不如爱因斯坦的观点看得深远，因为爱因斯坦追求场的形式统一，其实可以说是在寻找一种最底层的物理或数学基础，或者说，是在寻找一种最简单的公理假设。
18、物理学大综合之四。现在还有一个大的综合没有完成，那就是广义相对论与量子力学的融合。虽然现在一些引力量子化的理论有些尝试，但是我觉得一个很大的问题是数学太复杂，广义相对论本身数学偏复杂就是个问题。虽然我们不能说，数学太复杂就一定不行，但是我从物理学的简单性要求出发，趋向于认可这么一个定律：如果一个物理基础理论数学太复杂，那一定有某种问题。
因此，寻找广义相对论与量子电动力学、以及整个物理学的最简数学描述，永远是我们追求的目标。在这个追求过程中，通常都能够做出重要的物理新发现，或者发明新的数学方法。
19、海森伯、薛定谔和狄拉克是普朗克、爱因斯坦和玻尔之后的“新量子力学三杰”，他们三人各自建立了量子力学的不同形式，而海森伯、泡利和狄拉克三人是量子力学中的“矩阵三杰”。泡利不止在一个场合评论过几位新量子力学创立者的地位。他的评论大意是：如果把量子力学比喻成一位绝美的姑娘，海森伯是她的第一个男人、薛定谔是她的最爱，最后狄拉克成了她的老公。泡利的这个评论确实精彩，引用自张文卓的科学网博客《我，海森堡》第四章，其链接地址是： 《我，海森堡》第一章：http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=303647 。我觉得这是一份不错的物理学史资料。
20、曾经有人说，如果历史上量子力学是先有薛定谔方程，那么海森伯的矩阵力学可能就不会问世了，而基于矩阵力学的狄拉克方程的问世肯定也会受到影响。这种说法是很有道理的。但是，这种说法同时也提醒我们，现有的物理或数学知识中，很可能就有这样类似的案例：因为某个物理或数学问题有了解决方法，人们就不再去寻找其他解决方法了，结果失去了许多重大科学发现的机会。我想这种可能性相当大。
21、矩阵运算的艰难程度，超过我的想象，因此，我能够理解在薛定谔波动方程问世后，为什么马上就受到物理学界的热捧，而冷落了海森伯的矩阵力学。这让海森伯及其合作者、数学家帕斯卡.约丹倍感沮丧，尤其是帕斯卡.约丹认为他的工作被人忽视了而感觉愤怒。后来帕斯卡.约丹加入了纳粹组织。德国还有一个很有名的、也总是感觉自己的工作被人忽视了而感觉愤怒的物理学家是获得1905年诺贝尔物理奖的勒纳德，勒纳德后来也加入了纳粹组织。 正是因为矩阵运算太过艰难，我们继续寻求符合相对论能量动量关系的、更好的代数波动方程还是很有必要的，虽然狄拉克方程已经非常成功了。
22、对于量子力学的困惑，让我们来看几位重要物理学家的描述。玻尔说：“如果谁没被量子力学搞得头晕，那他就一定是不理解量子力学”。爱因斯坦说：“我思考量子力学的时间百倍于广义相对论，但依然不明白。”费曼说：“我们知道它如何计算，但不知道它为何要这样去计算，然而只有这样去计算，才能得出既有趣又有意义的结果”。
23、关于量子力学发展路线。现在如果我们系统地总结和分析量子力学的发展过程，至少应该能够看到已经存在的三条非常清晰的路线：
第一条路线：汤姆生→卢瑟福→玻尔→海森伯——从汤姆生发现电子并提出蛋糕原子模型，到卢瑟福发现蛋糕原子模型与实验部符而提出太阳系原子模型，再到玻尔发现太阳系原子模型存在稳定问题而提出玻尔原子模型，最后海森伯发现玻尔原子模型不能解决多电子问题二提出矩阵力学。
第二条路线：普朗克→爱因斯坦→德布罗意→薛定谔——从普朗克研究黑体辐射而提出辐射能量子，到爱因斯坦推广为光量子和光的波粒两象性，德布罗意把光的波粒两象性推广到电子而提出物质波，薛定谔实现物质波的精确计算。
第三条路线：狄拉克→费曼等人——从狄拉克融合三方理论而提出狄拉克方程，到费曼等人发展量子电动力学。
我希望我的研究成就能够成为第四条路线，或者是第三条路线的总结：我发现光子的产生和湮灭与侠义相对论不符合，从而提出量子电动力学公理化、光子数守恒定律、光子气体以太理论、麦克斯韦方程组与量子力学融合，等等。
24、我曾经有个观点，认为在物理学中，某些数学表示形式只是好看，并没有什么实质价值，比如狭义相对论中的矩阵表现形式。物理学的实质内容还是现象的描述、数学方程求解、实验预测/验证/总结。参见：二维洛伦兹变换矩阵表现形式（与《二维狭义相对论》相关） http://blog.ifeng.com/article/2934684.html 。从狄拉克方程的推导过程来看，狄拉克引入克朗内克δ函数其实也是一种形式主义，然而这种形式主义启发了后来的狄拉克δ函数。因此，物理或数学上的形式主义并不是没有价值的，我的观点必须要发生变化，狭义相对论中引入矩阵和四维时空表示还是有必要的，因为更加能够表现出一种对称性。
25、关于论文《机械波、光波、物质波(薛定谔)方程比较——量子力学基础问题研究(一)》（http://blog.ifeng.com/article/4240827.html）的补充声明：该文中薛定谔方程的合理推导方法主要是参照孙念台的《近代物理学》258–268页介绍的方法，虽然我已经在参考资料中列出来了，不过我仍然觉得应该对孙念台表示特别的敬意，因为他创造的这种新的推导方法确实具有启发性。类似这种具有启发性的推导方法还有邓乃平推导一维洛伦兹变换的方法、方励之推导质量公式的方法，在此也一并对他们表达敬意。同时也提醒各位物理爱好者：创造一种新的物理、数学推导方法也是重要的科研创新内容之一。历史上，普朗克推导出黑体辐射公式后，爱因斯坦和玻色都分别用不同方法也推导出来了，并且各自都创建了以他们名字命名的重要物理理论。
因此，在这里我也要再次提醒与我交流的那位清华的学生：如果你自己想到用静止参考系转一个角度的方法得出任意方向的lorenz公式，那么你一定要想办法做出来，很可能你创造的新方法能够启发很多人。比如，泡利完成的动电子微分散射截面计算公式就是用的参考系转换方法，结果他的论文只用了5页纸，这就是一种方法上的创造。（参见http://blog.ifeng.com/article/3859718.html）。
当初该文我也发给中山大学的何纯挺看过，他提过关于“波函数的态叠加原理”和薛定谔方程中为何出现复数的问题，在此我也要向他表示感谢。一个优秀的物理学家一定会认真听取别人的建议、并深刻反省自己的研究情况的。
另外我在论文《应用普朗克公式计算宇宙背景辐射的光子数密度》（http://blog.ifeng.com/article/3192691.html）中的推导过程主要是参照王正行的《近代物理学》286-295页内容，我也在参考资料中列出来了，在此也向王正行表达我的敬意。因为这些人的努力，中国的理论物理研究已经有个一个坚实的基础，我们应该感谢他们。
26、虽然狄拉克自己写的《量子力学原理》相当权威，但是这本书异常费解却也是事实。狄拉克过多、过滥地使用符号，而且对有些符号的说明不详细是一个重要原因。过多使用质量不高的符号，反而会导致数学复杂和理解困难，混淆和掩盖物理本质，这违背物理学的简单化发展方向。现在的量子力学、量子电动力学、量子场论、广义相对论等，似乎都有数学过份复杂化的趋势。
狄拉克是在海森伯的启发下开始研究量子力学的，但是狄拉克肯定不是一个好的老师，他的书写得太难懂了，当时连海森伯也对狄拉克的深奥理论感到头疼。完整地消化狄拉克的理论一直是我的主要梦想之一。我希望我对量子力学的研究能够启发很多国内的学生对量子力学的了解。我写论文的一个原则是力求数学简单，而且我也一直以为我的论文中的数学是通俗易懂的。然而，最近与一个网友的交流却让我认识到，要想把一个高深的物理理论做到通俗易懂，何其艰难！下面就是我与这位网友的简短交流：
振南 21:42:07
我看过你的博客，你是一个很明白的人，让我感觉很震撼
黄鹏辉-物理 21:42:24
我的论文你能够看明白吗？
振南 21:42:37
看不明白呵呵。不过看你的关于物理知识的博文，收益颇多
黄鹏辉-物理 21:43:59
啊，看不明白啊，那我得跟你好好聊聊，这是我第一次了解反馈。我以为数学已经足够简洁明了呢。那你提醒了我
振南 21:45:39
嗯，有时间一定和你好好聊聊，不过我马上就要回宿舍了
27、中国古代做诗文讲究的是“语不惊人死不休”，我感觉做学术研究讲究的则是“观点不新死不休”，就以此诗句作为本文的结尾并与各位学者共勉吧。

所有跟帖： 

• 物理学史背景知识, wiki -marketreflections- ♂ (66 bytes) () 05/04/2010 postreply 08:54:39

• 克莱因-戈登方程是基于二次能量动量关系，而薛定谔方程基于一次能量动量关系 -marketreflections- ♂ (15835 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:02:41

• 在K点附近，能量线性地依赖于波数，非常像相对论粒子;在低能区，电子可以用狄拉克方程来描述 -marketreflections- ♂ (7479 bytes) () 05/05/2010 postreply 04:14:18

• 回转系统的模态分析 -marketreflections- ♂ (3839 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:09:11

• 模态分析微分几何矩阵 -marketreflections- ♂ (529 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:21:48

• 典弹性理论和微分几何、矩阵方法等数学理论,基于空间自然坐标系和随体坐标系,通过求解应变与位移之间关系的微分方程,得到了一种能完全 -marketreflections- ♂ (229 bytes) () 05/04/2010 postreply 14:25:49

• 光波是矢量波（电磁波）电场分量、磁场分量、波的传播方向即波矢 (图) -marketreflections- ♂ (7049 bytes) () 05/04/2010 postreply 17:02:51

• 定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中。定态部分即与时间无关部分为 ,即为复振幅。 -marketreflections- ♂ (243 bytes) () 05/16/2010 postreply 16:48:07

• 复振幅的引入,会使很多计算简化。例如波的迭加和微积分运算。 -marketreflections- ♂ (496 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:04:13

• 对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 -marketreflections- ♂ (514 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:14:27

• 空间频率与某一物理量在空间区域内所具有的周期性分布有关 -marketreflections- ♂ (849 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:19:49

• 阿贝成像原理: 物是一系列不同空间频率的集合 -marketreflections- ♂ (539 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:35:44

• 一维、二维和三维光子晶体中的  k的关系或者能带图:波矢k平行于二维周期平面 -marketreflections- ♂ (751 bytes) () 05/17/2010 postreply 09:58:12

• 原子置放到雷射光,形成的週期位能中，即可排列形成光晶格 -marketreflections- ♂ (14024 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:03:44

• 會出現一些因為內部自由度而產生的額外振盪行為 -marketreflections- ♂ (172 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:27:08

• 我們可以利用一道雷射光和其反射光來產生單一方向的周期性位能，配合垂直於（一維）方向的束縛，即可形成一維光晶格 -marketreflections- ♂ (372 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:30:13

• 此時原子團本身的物理行為 [例如集體共振模 (collective modes)]就要考慮到。簡單來說，在這樣的系統下，聲子模不 -marketreflections- ♂ (815 bytes) () 05/17/2010 postreply 10:33:17

• 黄鹏辉 定态光波的频率都是相等的,可以不写在表达式中。定态部分即与时间无关部分为 ,即为复振幅。 -marketreflections- ♂ (525 bytes) () 05/17/2010 postreply 12:23:01

• 磁场所在平面为X平面，那么电场所在平面就是Y平面，而传播方向就是Z轴:永远只能在Z轴上看到光子 (图) -marketreflections- ♂ (11218 bytes) () 05/17/2010 postreply 12:50:59

• 分数维度的理论，认为真实世界的空间，是连续结构系统，而不是离散的整数维的三维结构 -marketreflections- ♂ (3263 bytes) () 05/18/2010 postreply 13:48:08

• 连续维度的三维空间，当我们在迷宫里的时候，实际上是处在相当于2.0…01维的状态；当我们在山顶上的时候，相当于处在2.9…99维 -marketreflections- ♂ (3368 bytes) () 05/18/2010 postreply 13:51:38

• 我们在走迷宫时不用动脑筋，只要用一只手（譬如右手），摸着一边（右边）的墙壁，确保行进中该面墙壁是始终连续的，我们就一定能在不走任 -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 05/19/2010 postreply 13:05:30

• 所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法 -marketreflections- ♂ (21235 bytes) () 05/19/2010 postreply 13:15:27

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