原子置放到雷射光,形成的週期位能中，即可排列形成光晶格

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間平均值具有（空間）週期性，致使原子感受到週期. 性的位能，這就是光晶格的原理。 ... 周期性位能，配合垂直於（一維）方向的束縛，即可. 形成一維光晶格。所以二維光晶格的形成就是利用四 ... 在xy 平面方向，同樣利用磁位能井把原子束縛，如此 ...
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物理雙月刊（廿七卷二期）2005 年4 月
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波色凝結子在一維光晶格中的聲子行為
文/黃超群、吳文欽
摘要
波色－愛因斯坦凝結在光晶格中的行為，是近年來一個重要的研究課題。在本文中，我們簡介光晶格形成
的原理，進一步說明如何建立一維光晶格及其可變性，最後探討一維光晶格中玻色凝結子的聲子與動力學的行
為。
一、前言
自從低溫雷射冷卻及捕捉原子技術的發展以來，
冷原子的研究就積極展開，冷原子的研究在1995 年達
到一個高潮，亦即懸宕超過70 年由波色（Bose）及愛
因斯坦（ Einstein ） 提出的波色- 愛因斯坦凝結
(Bose-Einstein condensation，簡稱BEC) 現象[1,2]，終於
在那年由Eric Cornell、Carl Wieman、及Wolfgang Ketterle
率先在鹼金族氣體原子觀察到[3,4]。今年（2005）恰巧
正逢觀察到BEC 的十週年。過去這十年，BEC 相關的
實驗和理論研究蓬勃發展，研究方向觸角極廣，最近
的一個研究重點更是用雷射冷卻捕捉費米原子，利用
Feshbach resonance[5,6,7] 的效應，改變外加磁場的大小，
藉以調整兩個費米原子之間的散射長度（scattering
length）的值（可正可負），進而研究凝態物理中的一
個重要課題，亦即BEC-BCS 交叉 （crossover）現象[8,9,10]。
冷原子研究的另一個重要系統，即是把原子置放
到雷射光形成的週期位能中，形成所謂的光晶格
(optical lattice)。這種系統的優點是，利用雷射光的各
式排列組合，可以產生各種維度和形狀的光晶格，再
佐以捕捉各式原子（bosons、 fermions、or mixtures[11,12]）
或離子（ions），如此可容易地模擬各種固態晶格的
環境，把原分子光學（Atomic & Molecular Optics）及
凝態物理（Condensed-Matter Physics）的跨領域研究推
到一個極高的境界。在這樣的原子光晶格系統中，有
哪些研究值得進行呢？舉凡和晶格相關的課題都有其
發揮的空間， 例如量子自旋磁學（ quantum spin
magnetism ） 、量子傳輸（ quantum transport and
tunneling）、晶格能帶[13,14,15]（lattice band structures）、
甚至量子資訊學（quantum Informatics）[16,17]等等。
二、何謂光晶格？
什麼是光晶格呢？先前提到把原子置放到雷射光
形成的週期位能中，即可排列形成光晶格，底下就光
晶格的形成原理做一基本的介紹。其最基本的原理就
是斯塔克效應（Stark effect），當原子在外加電場下，
會有極化發生，利用微擾理論，取到第一階近似，可
發現原子感受到的位能和電場大小平方的時間平均值
成正比；因此利用雷射光產生干涉，使電場平方的時
間平均值具有（空間）週期性，致使原子感受到週期
性的位能，這就是光晶格的原理。所以簡單的說，我
們可以利用一道雷射光和其反射光來產生單一方向的
周期性位能，配合垂直於（一維）方向的束縛，即可
形成一維光晶格。所以二維光晶格的形成就是利用四
道雷射光，而三維光晶格就是利用六道雷射光，也可
以利用三道雷射光形成特殊三角光晶格。由於本文後
半段將探討一維光晶格的哂茫?酉聛砦覀冊敿毥榻B
一維光晶格如何形成，以及其可變性。
三、一維光晶格
首先考慮一道平行於z 軸的雷射光和其反射光作
干涉，合成電場即為
E(z,t)=Acos(kz)eiwt+c.c. (1)
其中c.c.代表共軛複數，也就是反射光。而原子感受
到的位能，利用斯塔克效應計算得
( ) ( ) ( ) U z ∝E z,t 2~A2cos2 kz (2)
上式就是原子在z 方向所感受到的週期性位能。由於
在xy 平面方向，原子尚未被束縛，所以一般還需外加
一磁位能井（基本原理是原子帶有hyperfine 自旋，在
磁場下帶有磁位能），使原子在xy 平面上能被束縛
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住。利用外加磁場形成的位能井形式有許多類型，其
中最常見的是圓柱對稱，其行為為
( ) 1 2(2 2) 2 2
2 m z V m x y z ρr= ω + +ω  (3)
如果磁位能井設計成z
ω 極小，則相對於xy 方向，z 方
向的磁位能幾乎是可忽略的，如此一來實際空間上的
原子密度分布就如圖一，形成所謂的一維（z 方向）
光晶格。實際上系統還是三維的，只是晶格的方向只
出現在一維。
圖一：原子在空間上分布情形，愈黑代表原子密度愈多。橫
軸代表z 方向，縱軸代表xy 平面。
除了上述介紹最簡單的一維的光晶格外，還可考
慮許多的變化，像可建立帶有基底（basis）的一維光
晶格，這個名稱是沿用固態晶格的說法，另一種稱呼
即是所謂的超晶格（superlattice）。在一維光晶格的系
統下，如果單位晶格長度內，有兩個以上的位能井，
即是一帶有基底的一維光晶格的例子。如何建立這樣
的系統呢？可利用二道頻率相差n 倍的雷射光（無相
差並照射在同方向）和其反射光相互干涉下，此時合
成電場為
( ) ( ) ( ) 1 2 E z,t=Acosnkz einwt+Acoskz eiwt + c.c. (4)
而原子感受的位能為
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2
1 2 U z∝ E z,t ~A cos nkz+A cos kz (5)
在xy 平面方向，同樣利用磁位能井把原子束縛，如此
即可形成一帶有n 點基底的一維光晶格。
圖二就是n=2 和n=3 的實例，其中J 常數是約瑟
夫偶合係數( Josephson coupling) ，代表BEC 原子穿隧
於鄰近晶格點間的機率大小，這在下一節會探討到。
鄰近晶格點間的位能疊愈低，代表J 愈大，亦即愈容
易穿隧，所以可以利用調整雷射光振幅（A1和A1）的
大小及其頻率來形成各式具有基底的光晶格，當然你
也可以發揮想像力，來製造各式各樣的光晶格囉。
圖二：上方是帶有二點（n= 2）基底一維光晶格的位能，其
中c 代表晶格常數，d 是鄰近極大值和極小值的距離；下方
則是帶有三點（n= 3）基底一維光晶格的位能。
一維光晶格的物理行為是極豐富有趣的，之前提
到可以在光晶格系統中研究的課題當然都可以應用在
一維光晶格。底下我們探討一維光晶格中，BEC 原子
其動力學（dynamics）與聲子（phonon）的相關問題。
四、一維光晶格：BEC 與聲子
因為在光晶格系統中原子的密度等有週期性，由
固態物理的知識，可直觀判斷會有聲子模（phonon
modes）的邉印ｋm然機制類似，這裡的聲子模和固態
晶格的聲子模的本質是有很多不同的地方。首先，在
固態晶格中聲子模指的是離子在原地振盪的量子化行
為，但BEC 光晶格的聲子模指的是原子透過量子穿隧
效應（J），使得位能井中原子總數增減的振盪行為。
另外一個不同點是，在固態系統中晶格點對應到的是
單一或少數幾個原子，而（平衡時）原子固定在晶格
點某處。而在BEC 光晶格中，晶格點對應到的不再是
單一或少數幾個原子，而是一團原子，此時原子團本
身的物理行為 [例如集體共振模 (collective modes)]就
要考慮到。簡單來說，在這樣的系統下，聲子模不再
是獨立的，而是會耦合（coupled）到集體共振模，兩
者必須同時考慮。
考慮一團BEC 原子在一維光晶格中聲子模和集
體共振模的交互作這方面的研究，在近一兩年裡已有
文獻刊出，例如Martikainen 和Stoof [18]探討單純一維
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光晶中BEC 原子縱向聲子（longitudinal phonon）和橫
向呼吸模（transverse breathing mode）相互影響下的物
理行為，發現彼此的影響極為重要，可由實驗觀察到
[19]。我們接下來直接考慮帶有2 點基底的一維光晶格
中，BEC 原子的聲子模和共振呼吸模的行為，其結果
除了涵蓋Martikainen 和Stoof [16]的結果，也會出現一
些因為內部自由度而產生的額外振盪行為。
在溫度極低時，一個密度稀薄（dilute）的波色原
子系統，其行為主要由Gross-Pitaveskii 方程[20] (簡稱
GP equation)來主導，寫成
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0
,
- , , ,
2
r
trap
r t
i V r t U r t r t
t m
∂Ψ∂ = ∇+ + Ψ Ψ
􀀽 􀀽
(6)
GP equation 可視為一非線性薛丁格方程，其非線性項
來自原子間的二體作用力(two-body interaction)。因溫度
很低，二體作用力可利用s-波 (s-wave)近似求得（即
上式）。其中Ψ =Ψ(r,t)是和時間有關的波函數，
2
0 U= 4π 􀀽am， a 是s-波的散射長度（正比於粒子間
的作用力大小）， ( , ) trap V rt 為外加位能。對應到一維光
晶格， ( , ) trap V rt 分別有磁場和雷射光造成的兩項，其
中磁場所造成的位能，為之前所提的（3）式，而雷射
光所造成的位能，端看你要考慮什麼樣的形式。這裡
我們直接考慮有二基底（n=2）的光晶格位能
( ) 2 2
0 1 2
V z V cos 4z V cos 2z
c c
= π + π 
   
(7)
其中c = π/k = λ/2 是晶格常數（看圖二）。
利用變分法（Variational Method）來研究，則要得
知拉格朗日方程式 (Lagrange equation)：
L=T−E (8)
其中
(* / */)
2
T=∫dr i􀀽Ψ∂Ψ∂t−Ψ∂Ψ∂t
(9)
而E 是GP 能量函數(GP energy functional)，可從(6)式
得到為
( )
]
2
* 3 * 2
0 2 2
,
2
2
trap E dr V
m
U
μ

Ψ Ψ= − Ψ∇ Ψ+

 + Ψ − Ψ

∫ 􀀽 r
(10)
其中μ 是化學勢能。有了能量函數後，接下來就是要
選擇波函數的形式，並且設定變分參數，來決定你要
探討的物理行為。當然做變分法，計算上會較複雜，
因此可以依據你所要研究的內容做合理的近似。譬如
我們研究的系統是具有二基底的一維光晶格，假設光
晶格中的單一原子團是緊束縛（tight-binding）在位能
井中（實際上是可以利用雷射光達到此需求，只要主
要的光位能不要太小，也就是粒子穿隧機率要低），則
可利用緊束縛近似法（tight-binding approximation），把
波函數寫成沃尼埃函數形式 (Wannier function)：
( ) { [ ] ( )
( ) ( )}
1 1
2 2
, ,, ;
+ 1 , , ;
t wz c d xy t
w z c d x y t
Ψ = − − Φ
 − − + Φ
r Σ
􀁁
􀁁 􀁁
􀁁 􀁁
(11)
其中加總􀁁 代表包括所有晶格點，有兩項是因為有二
基底， 1
ω 和2
ω 代表沿著z 方向不同位能井（1 或2，
參考圖二）對應的波函數， 1 Φ 和2 Φ 代表沿著xy 平面
上不同位能井（1 或2）對應的波函數，之所以z 方向
和xy 平面的波函數能分離，主要是因為位能也是分離
的，像以上這樣的近似法，在計算上就會方便很多。
選定波函數代入拉格朗日方程後，對變數做變
分，以求得歐拉－拉格朗日邉臃匠

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