波函数及其一阶微商的连续性：势能函数 在其空间变量变化的全部范围内连续

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第６卷 第２期 ２００７ 年 ６ 月 文章编号： １６７３－ ２３４０ （ ２００７ ） ０２－ ００１８－ ０３ Ｊｏｕｒｎａｌ 南通大学学报（ 自然科学版） Ｓｃｉｅｎｃｅ ） ｏｆ Ｎａｎｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （ Ｎａｔｕｒａｌ 南通大学学报（ 自然科学版） Ｖｏｌ．６ Ｎｏ．２ ２００７ 年 Ｊｕｎ． ２００７ 波函数及其一阶微商的连续性罗礼进， 方靖淮（ 南通大学 理学院， 江苏 南通摘 ２２６００７） 要： 从薛定谔方程出发， 依据数学原理对波函数及其一阶微商的连续条件作出严格 的推证， 得出波函数及其一 阶微商连续的条件为： 当势函数连 续 时 ， 波 函 数 及 其 一 阶 微 商 均 连 续 ； 当 势 函 数 不 连 续 时 ， 若 在 其 间 断 点 的 某 一 邻 域内势函数有界， 则波函数及其一阶微商连续 ． 若在其间断点的某一邻域内势函数无 界， 则波函数及其一阶微商可 能连续， 也可能不连续 ． 关键词： 波函数； 一阶微商； 连续条件； 间断点 中图分类号： Ｏ４１３．１ 文献标识码： Ａ Ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ Ｗａｖｅ－ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ｉｔｓ Ｆｉｒ ｓｔ Ｒａｎｋ Ｄｉｆｆｅｒ ｅｎｔｉａｌＬＵＯ Ｌｉ－ ｊｉｎ， ＦＡＮＧ Ｊｉｎｇ－ ｈｕａｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ｎａｎｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｎａｎｔｏｎｇ ２２６００７ ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｒｉｇｉｄｌｙ ｄｅｄｕｃｅｓ ｆｒｏｍ Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｗａｖｅ － ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ ｒａｎｋ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ． Ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｉｆ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔｉｎｕｅｓ， ｏｒ ｉｆ ｉｔ ｄｏｅｓｎ＇ｔ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｂｕｔ ｈａｓ ａ ｂｏｕｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｇｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐｏｉｎｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｗａｖｅ－ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ ｒａｎｋ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｉｆ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ， ａｎｄ ｂｏｕｎｄｌｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｇｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐｏｉｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｗａｖｅ－ ｆｕｎｃｔｉｏｎ； ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｒａｎｋ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ； ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ； ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐｏｉｎｔ ０ 引 言 １１．１ 波函数及其一阶微商连续条件的推证势函数 Ｖ（ ｘ） 连续时的情形 为了简便， 下面仅讨论一维的情形， 但所得的 波函数是描述微观粒子状态的函数， 其统计解 释要求波函数必须满足单值、 有限、 连续的条件， 其 中波函数的连续性要求波函数及其一阶微商， 在其 空间变量变化的全部范围内是连续的 ． 那么， 满足 波函数及其一阶微商连续的具体条件是什么？ 本文 从数学上对波函数及其一阶微商连续的条件作出严 格的推证， 得出波函数及其一阶微商连续的条件． 结论适用于二维和三维的情形 ． 对于一维定态波函 数 !（ ｘ） ， 满足的薛定谔方程为 － " ! ２# ２ ｄ２ ＋ Ｖ（ ｘ） ! （ ｘ） ＝ Ｅ !（ ｘ） ｄｘ２ " （ １） 将上述方程变形为 ｄ２ ! （ ｘ） ＝ ２# ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ］ !（ ｘ） "２ ｄｘ２ （ ２） 收稿日期： ２００６－ １１－ ０３ 作者简介： 罗礼进（ １９６４－ ） ， 男， 南通大学理学院副教授， 主要从事计算模拟及教育技术的研究 ． 罗礼进， 等 ： 波函数及其一阶微商的连续性 · · １９ 设 ｘ０ 是波函数 ! （ ｘ） 坐标变量变化范围内的任 一点 ． 下面从薛定谔方程（ ２） 出发， 先讨论波函数及 其一阶微商在任一点 ｘ０ 处连续的条件． 为此， 作以下 的数学处理， 对方程（ ２） 两边求积分ｌｉｍ "→０ ｘ０ ＋ " 下面分两种情况讨论． １．２．１ Ｖ（ ｘ） 在间断点 ｘ０ 的某一邻域内有界在这种情况下， 因为 ! （ ｘ） 也是有界的， 所以 ， ］ ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） 在［ ｘ０ － ε ｘ０ ＋ ε上是一个 有 一 个 间 断点的有界函数， 根据在某一区间上只有有限多个 间断点的有界函数在该区间是可积的结论， ［Ｖ（ ｘ） － ， ］ Ｅ ］ !（ ｘ） 在［ ｘ０ － ε ｘ０ ＋ ε内是可积的， 存在原函数 ． 设 Ｆ （ ｘ） 是 ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ ! （ ｘ） 的原函数 ， 所 以 式 （ ４） 右 边的积分变为ｘ０ ＋ % " ｘ０ － " ｄｘ 得 "→０ ｌｉｍ " ｘ０ ＋ " ｘ０ － " ｄ !（ ｘ） ｄｘ ＝ ｄｘ２２ ｘ０ ＋ " ２# ｌｉｍ $２ %→０即 " ｘ０ － " ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ （ （ !′ｘ０ ＋ ０） － !′ｘ０ － ０） ＝ ｌｉｍ（ ３） %→０ " ｘ０ － % ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ＝ｘ０ ２& ｌｉｍ $２ % → ０ " ｘ０ ＋ % ｘ０ － % ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ %→０ ｌｉｍ 若式（ ３） 右边积分内的 Ｖ（ ｘ） 在 ｘ０ 的 ε 邻域内连续， 显 ， ］ 然 !（ ｘ） 也连续， 则［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） 在［ ｘ０ － ε ｘ０ ＋ ε内 是连续的 ． 根据连续函数在连续区间是可积的结论 ， ］ 可知， ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） 在［ ｘ０ － ε ｘ０ ＋ε 内是可积的， 存在原函数 ． 设 Ｆ（ ｘ） 是 ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ］ !（ ｘ） 的原函数， 则 式（ ３ ） 变为 （ （ !′ｘ０ ＋ ０） － !′ｘ０ － ０） ＝ %→０ " ｌｉｍ " ｘ０ ｘ０ － % ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ ＋ ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ ＝ ｘ０ ＋ % %→０ ） ｌｉｍ ［Ｆ（ ｘ０） － Ｆ（ ｘ０ － ε］ ＋ %→０ ） ｌｉｍ ［Ｆ（ ｘ０ ＋ ε － Ｆ（ ｘ０） ］ ＝ ［Ｆ（ ｘ０） － Ｆ（ ｘ０ ） ］ ＋ ［Ｆ（ ｘ０） － Ｆ（ ｘ０ ） ］ ＝ ０可得 （ （ !′ｘ０ ＋ ０） － !′ｘ０ － ０） ＝ ０ （ ５） ２& ｌｉｍ ［Ｆ（ ｘ ＋ ε － Ｆ（ ｘ － ε］ ＝ ） ） ０ ０ $２ % → ０ ２& ［Ｆ（ ｘ ） － Ｆ（ ｘ ） ］ ＝ ０ ０ ０ $２即， 此时 !′ｘ） 在 ｘ ＝ ｘ０ 处是连续的， 则 ! （ ｘ） 在 ｘ ＝ （ 由此 可 得 ， 若 Ｖ（ ｘ） 在 间 断 点 的 某 一 邻 域 内 有 界， 则波函数及其一阶微商在间断点处仍连续． １．２．２ Ｖ（ ｘ） 在间断点 ｘ０ 的某一邻域内无界当 Ｖ （ ｘ） 在间断点 ｘ０ 的某一邻域内无界， 即ｘ → ｘ０ ｘ０ 处也是连续的．由 上 可 知 ， 若 Ｖ（ ｘ） 在 ｘ０ 的 ε邻 域 连 续 ， 则 波 函 数 及 其 一 阶 微 商 在 ｘ ＝ ｘ０ 处 连 续 ． 进 一 步 推 广 ， 若 Ｖ（ ｘ） 在 其 空 间 变 量 变 化 的 全 部 范 围 内 连 续 ， 则 波函数及其一阶微商在同一范围内也连续 ． 由此可 见， 波函数及其一阶微商连续的条件是势能函数 在其空间变量变化的全部范围内连续 ． （ 在文献 ［１－ ｌｉｍ Ｖ（ ｘ） ＝ ∞ 时， 容易得出 ｌｉｍ !（ ｘ） ＝ ０， 这时积分ｘ → ｘ０ ｌｉｍ %→０ " ｘ０ ＋ % ｘ０ － % · ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ !（ ｘ） ｄｘ 的被积函数为 ∞ ０ 型未 定式， 积分结果有零和非零两种 ． 所以， 式（ ４ ） 的值 也有零和非零两种结果． 由此可得， 若 Ｖ（ ｘ） 在 间 断 点 ｘ０ 的 某 一 邻 域 内 无界， 则波函数及其一阶微商在 ｘ０ 处可能连续， 也 可能不连续． 上述 １．２．１ 的结论可从一维有限深势阱的阱边、 一维有限高势垒的势垒边等例子中得到验证 ． 至于 ２］中有类似的结论， 但未给出严格的证明） １．２势函数 Ｖ（ ｘ） 不连续时的情形 设 ｘ ＝ ｘ０ 是 Ｖ（ ｘ） 的不连续点（ 间断点） ， 按类似 前面的方法， 对方程（ ２） 两边求积分ｌｉｍ （ （ !′ｘ０ ＋ ０） － !′ｘ０ － ０） ＝ %→０ ｘ０ ＋ % " ｘ０ － % ｄｘ， 得 １．２．２ 的结论， 下面通过两个例子来验证． ２（ ４） 实例验证下面所举的例子， 均属在 Ｖ（ ｘ） 中出现间断点， ２& ｌｉｍ $２ % → ０ " ｘ０ ＋ % ｘ０ － % ［Ｖ（ ｘ） － Ｅ ］ ! （ ｘ） ｄｘ 且在间断点的某一邻域内 Ｖ（ ｘ） 无界． · · ２０ 南通大学学报（ 自然科学版） ２００７ 年 ２．１ 粒子在无限高阶跃势垒中的散射 设质量为 ｍ， 能量为 Ｅ 的粒子， 沿 ｘ 方向射向－ 分别对式（ １１ ） 、１２ ） 求一阶微商得 （ （ Ｕｎ ′ｘ） ＝ % ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ( % ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ( Ａｋｎ ｃｏｓ［ｋｎ （ ｘ ＋ ａ） ］ － ａ ≤ ｘ ＜ ０ Ａｋｎ ｃｏｓ［ｋｎ （ ｘ － ａ） ］＋ ＋ － － － － 无限高阶跃势垒 （ １３） Ｖ（ ｘ） ＝其定态波函数为［３］ ０ ｘ＜ ０ ! ｘ＞ ０ ∞ ｉｋｘ － ｉｋｘ ０＜ｘ ≤ ａ（ １４ ） （ ６） （ Ｕｎ ′ｘ） ＝＋ － Ａｋｎ ｃｏｓ［ｋｎ （ ｘ ＋ ａ） ］ － ａ ≤ ｘ ＜ ０ Ａｋｎ ｃｏｓ［ｋｎ （ ｘ － ａ） ］＋ ＋ ０＜ｘ ≤ ａ !（ ｘ） ＝其中 ｋ ＝ ｅ !０ － ｅ ｘ＞ ０ ｘ＜ ０ （ ７）－ 于是， 在 ｘ ＝ ０ 处有 （ （ Ｕｎ ′０－ ） ＝ Ａｋｎ ｃｏｓ（ ｋｎ ａ） Ｕｎ ′０＋） ＝ Ａｋｎ ｃｏｓ（ ｋｎ ａ） （ １５）－ － － － － " ２ｍＥ ． 对式（ ７） 求一阶微商得 "２ ｉｋｅ !０ｉｋｘ （ !′ｘ） ＝ ＋ ｉｋｅ － ｉｋｘ ｘ＜ ０ ｘ＞ ０ （ ８） （ （ Ｕｎ ′０－ ） ＝ － Ａｋｎ ｃｏｓ（ ｋｎ ａ） Ｕｎ ′０＋） ＝ Ａｋｎ ｃｏｓ（ ｋｎ ａ） （ １６） 所以 （ （ Ｕｎ ′０－ ） ＝ Ｕｎ ′０＋）－ － － ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 根据式（ ８） ， 在势垒的转折点 ｘ ＝ ０ 处有 （ !′０＋） ＝ ０ （ !′０－ ） ＝ ２ｉｋ （ ９） 所以 !′０＋） ≠!′０－ ） ， 即在势垒的转折点 ｘ ＝ ０ 处， （ （ 波函数的一阶微商不连续．＋ ＋ （ （ Ｕｎ ′０－ ） ≠ Ｕｎ ′０＋） （ １７） ２．２ 在无限深势阱中间插入一宽度无限小高 度 无 限大的势垒， 粒子在其间运动 设无限深势阱为 即奇宇称波函数 Ｕｎ （ ｘ） 的一阶微商在 ｘ ＝ ０ 处连续， 而偶宇称波函数 Ｕｎ （ ｘ） 的一阶微商在 ｘ ＝ ０ 处不连续．＋ Ｖ（ ｘ） ＝ !∞ － ０ － ａ≤ｘ≤ａ ｘ ＜ － ａ， ｘ ＞ ａ ３（ １０ ） 结 论 综上所述， 关于波函数及其一阶微商连续的条 件， 可得出以下结论： 当 Ｖ（ ｘ） 连续时， 波函数及其 一阶微商均连续； 当 Ｖ（ ｘ） 不连续时， 若在其间断点 的某一邻域内有界 ， 则 波 函 数 及 其 一 阶 微 商 连 续 ． 若在其间断点的 某 一 邻 域 内 Ｖ（ ｘ） 无 界 ， 则 波 函 数 在 ｘ ＝ ０ 处插入一宽度无限小， 高度无限大的 势垒， 粒子在阱中的定态波函数的解有奇宇称解和 偶宇称解两种． 奇宇称解为［４］ Ｕｎ （ ｘ） ＝ － % ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ( Ａｓｉｎ［ｋｎ （ ｘ ＋ ａ） ］ － ａ ≤ ｘ ＜ ０ Ａｓｉｎ［ｋｎ （ ｘ － ａ） ］－ ｎ ＝ １， ２， … （ １１ ） ０ ＜ ｘ≤ ａ 及其一阶微商可能连续， 也可能不连续． 参考文献：［１］ 余雷 ． 波函数的连续性 ［Ｊ］． 贵州师范大学学报： 自然科学 版， ２００１ ， １９ （ １ ） ：６９－ ７１． 其中 ｋｎ ＝ ｎ! ，＋ % ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ( － Ａ＋ ２ ＝ １ ．偶宇称解为 ［４］ ａ ｎ ＝ １， ２， … （ １２ ） Ｕｎ （ ｘ） ＝ － Ａｓｉｎ［ｋｎ （ ｘ ＋ ａ） ］ － ａ ≤ ｘ ＜ ０ Ａｓｉｎ［ｋｎ （ ｘ － ａ） ］＋ ［２］ 曾 谨 言 ， 钱 伯 初 ． 量 子 力 学 专 题 分 析 （ 上 ） ［Ｍ］ ． 北 京 ：高 等教育出版社， １９９０ ： １－ ２０． ０＜ｘ ≤ ａ ［３］ 威 切 曼 Ｅ Ｈ． 伯 克 利 物 理 学 教 程 第 四 卷 ： 量 子 物 理 学 ［Ｍ］．北京： 科学出版社， １９７８ ： ３５４． 其中 ＋ （ ｎ － １ ） ! ＜ ｋｎ ａ ＜ ｎ! ２ ［４］ 福 里 格 Ｓ． 实 用 量 子 力 学 （ 上 册 ） ［Ｍ］． 北 京 ： 人 民 教 育 出 版社， １９８１ ： ３７－ ３８． Ａ ２ ＝ ２ｋｎ＋ ＋ ＋ ２ｋｎ ａ － ｓｉｎ（ ２ｋｎ ａ） （ 责任编辑： 戴 兵）
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贡献者： lottjj 崭露头角 三级
文档关键词
物理学
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