“度规”就是决定空间的一切度量性质（内禀）的量。广相的问题就是找出物质分布时空间的度规; 度规，是给定坐标的选择后，由坐标系性质

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“度规”是学习张量时经常碰到的一个概念，认识和理解它对学习广相有着很大的帮助。因为广相是和空间的性质密切相关的，而“度规”就是决定空间的一切度量性质（内禀）的量。广相的问题就是找出物质分布时空间的度规。本贴首先给出度规的定义，然后再给出几个三维空间和四维时空的例子。使初学者对“度规”有个大概的认识。

1.度规的定义

首先，考虑在一个坐标系Y（dy1,dy2,dy3 --- 三个坐标方向分量)中的一段曲线ds的长度，应该是：

ds^2 = dy1^2 + dy2^2 + dy3^2 (呵呵，简单的线段长度公式嘛。）

式中同样的项出现三次，太烦，可简写 ==> ds^2 = ∑dy^k * dy^k (k=1,2,3) -------- (1)


说明：① "_"后面的字母表示下标；"^"后面的字母表示上标，数字2表示平方。
② 这儿所说的坐标系为一个正交的曲线坐标系。就是说各坐标轴虽然是曲线，但在很小的范围内（像上面都是考虑ds是无限小段）看做是直线。

再考虑另一个坐标系X（dx1,dx2,dx3),显然它和坐标系Y的对应关系应该是：
（式中δ为偏微分符号，需要具备一点偏微分方程的知识。）

dy1=(δy1/δx1)*dx1+(δy1/δx2)*dx2+(δy1/δx3)*dx3
简写==> dy1=(δy1/δx^j)*dx^j (j=1,2,3)
dy2=(δy2/δx1)*dx1+(δy2/δx2)*dx2+(δy2/δx3)*dx3
简写==> dy2=(δy2/δx^j)*dx^j (j=1,2,3)
dy3=(δy3/δx1)*dx1+(δy3/δx2)*dx2+(δy3/δx3)*dx3
简写==> dy3=(δy3/δx^j)*dx^j (j=1,2,3)

（呵呵，这也是一个简单的直线在不同坐标系中的变换公式嘛。）
同样的式子出现三次，更烦，把3个式子再简写为一个式，就成为：

dy^k=(δy^k/δx^i)*dx^i (i=1,2,3,…;k=1,2,3,…) -------- (2)

说明：这里是用张量的形式表示，而且省去了“∑”，因而，式中的一项中出现两个相同的指标（上标或下标）表示该项自动求和，这就是爱因斯坦求和约定。如上式中的i，下面亦同。而且，i和k也可以表示更高维的量了。张量中，下标表示协变量，上标表示抗变量，是不能混淆的。

很显然dy^k是一个矢量，同样，可考虑另一矢量：

dy^m=(δy^m/δx^j)*dx^j (j=1,2,3,…;m=1,2,3,…) -------- (3)

参照(1)，可知这两个矢量的标积为曲线ds在坐标系X的长度。

ds^2 = dy^k * dy^m = η_km *(δy^k/δx^i)*(δy^m/δx^j)*dx^i*dx^j -------- (4)

式中出现了一个η_km，这是一个单位度量。

η_km =
|1 0 . 0|
|0 1 . 0|
|0 0 . 0|
|0 0 . 1|

令： g_ij = η_km *(δy^k/δx^i)*(δy^m/δx^j)

这就是度规，也称为度量张量或单位张量。此时，（4)式可写为线元式：

ds^2 = g_ij*dx^i*dx^j -------- (5)

度规，是给定坐标的选择后，由坐标系性质构成的一个张量，一般叫g(UV）。这个张量描述了空间的性质，如果这个张量是常量（或者说经过合同变换可以变成常量），我们一般叫平直空间，比如说三维欧式空间，四维伪欧式空间（3空间1时间），如果这个张量是和坐标相关的变量（经过合同变换也变不成常量），我们说空间是弯曲的。
给定度规，我们就可以计算许多空间中的物理量。

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• 度规张量有10个独立的分量。当弱场近似时其中某个分量恰恰是牛顿的引力势。这意味着度规张量既决定空间又对应引力势，根据牛顿引力势满 -marketreflections- ♂ (270 bytes) () 10/24/2010 postreply 16:43:04