脑筋急转

已知 0 < x < 1, 求 x^x 的最小值。 - goodluck8888 - 给 goodluck8888 发送悄悄话 (0 bytes) () 06/10/2024  21:35:15

其导数是x^x(1+lnx), 易得x=1/e时取得最小,即(1/e)^(1/e) - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 06/11/2024  19:12:24

太妙了!非常感谢! - goodluck8888 - 给 goodluck8888 发送悄悄话 (0 bytes) () 06/11/2024  21:13:08

求角度C,AB=CD - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 05/30/2024  15:49:29

trig. solution - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (454 bytes) () 05/31/2024  14:05:59

我替你补齐了三角函数计算的部分。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (81 bytes) () 06/02/2024  10:30:38

谢谢! 这个公式还真是首见 - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (0 bytes) () 06/02/2024  11:29:09

不客气。公式在百度三角函数词条里有。此类求角度的几何问题如用三角函数来解三角方程都可以试用此公式。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 06/02/2024  11:46:05

叙述更明确一点的版本。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (81 bytes) () 06/02/2024  11:43:59

更直接一些的三角解法。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (81 bytes) () 06/02/2024  14:40:48

设阴影三角形的边长为a,b,c,能不能用它们表达长方形的面积呢? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 05/25/2024  18:32:06

好像不能。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (169 bytes) () 05/26/2024  23:29:34

谢谢 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/27/2024  07:04:24

如果是正方形,可以吗? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/27/2024  18:39:59

应该可以。用勾股定理解方从组就行。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/31/2024  17:31:46

难在一般情形,列出方程后,比如,两个变量,两个独立的方程。如何证明这个方程组总是有唯一的解。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/31/2024  18:12:31

等腰三角形可以唯一确定一个正方形。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 06/11/2024  18:35:40

周作人与许广平的恩怨2 - 王克木说 - 给 王克木说 发送悄悄话 王克木说 的博客首页 (2477 bytes) () 05/21/2024  11:05:27

习近平的痔疮终于好了 - gwangmsn - 给 gwangmsn 发送悄悄话 gwangmsn 的博客首页 (2555 bytes) () 05/13/2024  11:47:01

几何题 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 05/13/2024  11:34:40

角ADB应该没有唯一解。这里还有一个变量ED的长度可以调节。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/17/2024  11:44:49

好像图形是不固定,但角ADB的大小不会变 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (1221 bytes) () 05/17/2024  14:23:15

高! 确实,ED的长度不影响。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/17/2024  15:37:04

几何来了 - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (82 bytes) () 05/18/2024  11:11:12

这个太好了。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/19/2024  09:13:50

另外一个几何解法,不知对不对? - 珊珊来迟77 - 给 珊珊来迟77 发送悄悄话 (82 bytes) () 05/19/2024  14:24:26

Very nice! - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/19/2024  17:55:34

真棒 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/19/2024  19:33:53

为什么几何证法都把题目改了呢,原题是AD相连 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 05/19/2024  18:04:32

想了时间久了,脑子里只有有用的信息了,哈哈。 - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/20/2024  08:03:46

圆的直径为AB. C是圆上的一点。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (48 bytes) () 05/13/2024  11:00:26

试解 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (281 bytes) () 05/13/2024  14:53:05

正确。好像上半圆上任取1点就行。我做的如图。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 05/14/2024  06:22:58

好!你其中的一个直角的顶点就是C点,另外找C点关于AB的对称点略有不同 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 05/14/2024  14:31:11

还是取两点直接。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 05/31/2024  17:32:57

数字趣题 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (82 bytes) () 05/13/2024  10:16:51

用最笨的办法试解一下 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (221 bytes) () 05/16/2024  15:11:45

4个9之后(取9,19,29,39的9)应该是47的7到50最大,即99997484950 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 05/16/2024  19:14:36

最后一步粗心了。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 05/16/2024  19:19:27

连网络暴力都不回击,谈什么推翻共产党 - 李滔1978 - 给 李滔1978 发送悄悄话 李滔1978 的博客首页 (2617 bytes) () 05/09/2024  09:01:04

解方程 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 04/25/2024  13:08:18

试解 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (195 bytes) () 04/25/2024  20:34:33

好!也可以用笨方法硬解。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (149 bytes) () 04/26/2024  14:07:10

请帮我看看这是什么仪器。6分仪?谢谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 04/24/2024  07:21:33

这样的函数存在吗? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (36 bytes) () 04/18/2024  16:56:37

常值函数。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/18/2024  19:30:45

谢谢,原来是脑筋急转弯。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 04/21/2024  08:39:49

2010年迎春杯四年级趣题一则 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (142 bytes) () 04/17/2024  22:35:27

试解: 4 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (600 bytes) () 04/18/2024  14:23:31

4是操作的累积量,还要加上原来的1,结果是5. - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/18/2024  15:00:31

最后一步加错了。应该是5..贴子里面改了过来。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/18/2024  15:24:16

另一种方法 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (749 bytes) () 04/18/2024  16:23:26

再来高考难题 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 04/15/2024  18:57:27

试证 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (270 bytes) () 04/18/2024  22:43:32

太牛了!!! - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/19/2024  23:03:32

求这个六位数 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (82 bytes) () 04/12/2024  20:04:02

部分解 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (1334 bytes) () 04/13/2024  10:21:47

厉害!这就是传说中的走马灯数 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 04/13/2024  13:09:15

一道北京高考几何题 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 04/11/2024  14:43:38

in both case, alpha = - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (366 bytes) () 04/12/2024  12:59:20

试证 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (375 bytes) () 04/12/2024  19:29:59

高!去北大还是清华? - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/13/2024  16:33:25

一道逻辑推理题 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 04/06/2024  13:42:03

试解 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (2463 bytes) () 04/07/2024  18:04:09

牛! - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 04/08/2024  09:44:19

小学数学题 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/29/2024  12:37:23

为了证明我学历低,我在3和4之间添一个加号:) - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/29/2024  13:33:50

万大侠高低通杀:) 我自己做的是 2+3+4=2+7. - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/29/2024  15:53:37

也可以2+3x4=2x7 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/29/2024  16:13:30

2+.3+.4=2.7 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/29/2024  16:26:11

2-3-4=2-7 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/29/2024  19:06:13

234=/=27 - monseigneur - 给 monseigneur 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/29/2024  19:45:13

2x(3+4)=2x7, 2/(3+4)=2/7 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/29/2024  21:41:19

算式化简 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (82 bytes) () 03/25/2024  20:48:39

sqrt(2) + 1 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/26/2024  14:08:43

厉害! - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/26/2024  14:25:20

恐怖 - monseigneur - 给 monseigneur 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/29/2024  19:43:10

一道算术题。求四位完全平方整数形如aabb - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/24/2024  15:07:42

- 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (13 bytes) () 03/24/2024  16:11:22

好!我也得到同样的解 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (789 bytes) () 03/24/2024  19:46:24

稍微不同的解。从(1)可看出这个数是11k的平方。k只能是2到9.逐个试。只有8合题意。88^2=7744 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/24/2024  23:07:52

f(x) 不连续, f(f(x))能连续吗? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (11741 bytes) () 03/21/2024  07:05:49

稍微改一下就好了吧?f(x)=0 for all irrational x, =1 for the rest; then - longsky - 给 longsky 发送悄悄话 (21 bytes) () 03/21/2024  09:34:48

你的清楚。谢谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/21/2024  16:09:24

上帝给人类的送分题 - servant_moses - 给 servant_moses 发送悄悄话 servant_moses 的博客首页 (16534 bytes) () 03/18/2024  06:53:17

龙卷风的苦难哲学 - servant_moses - 给 servant_moses 发送悄悄话 servant_moses 的博客首页 (21580 bytes) () 03/17/2024  13:14:30

孙维脱开嫌疑的又一个悖论 - goofegg2023 - 给 goofegg2023 发送悄悄话 goofegg2023 的博客首页 (5589 bytes) () 03/15/2024  16:35:03

不等式题 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/10/2024  17:37:53

证了一边,劳驾请看看。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 03/14/2024  19:14:03

很不错!我来证另一边 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (1381 bytes) () 03/14/2024  19:46:01

妙! - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  05:36:09

最后一步好像需要3+a+b+c < 9 而不是 >= 3+3立方根(abc) = 9. - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/14/2024  21:02:58

第一步就错了。我改了,请再看看。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 03/15/2024  02:29:08

这个肯定不对。平均不等式放缩时,等式成立的条件不是原式的极值条件。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  05:34:46

看不懂,哪一步不对?谢谢 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/15/2024  06:53:35

最后的值就是将a=b=c=2代入原式的值、所以肯定不对。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  10:49:30

好象是这一步有问题 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (352 bytes) () 03/15/2024  11:40:34

知道了。谢谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/15/2024  16:43:05

另一边可以用柯西-史瓦兹不等式证明。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/14/2024  19:54:46

能不能将过程发出来? - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  10:51:10

证右边时,如果第一步就用柯西-史瓦兹不等式去根号,肯定证不出来。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  16:17:45

是的。我写了一下,不行。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/15/2024  16:44:01

将原解发上来供各位参考。据说这是史上最难高考题之一。(江西省题)。14分满分。平均得分1分。最高分证明了左边。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/15/2024  16:13:13

这个行吧? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 03/15/2024  18:27:06

好! - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/15/2024  23:40:55

这道题确实难, 学习以上诸位的解答,感觉证明不等式需要懂得何时微量释放预算,跳过门槛,变换原题;想等效变换一步到位,很难 - monseigneur - 给 monseigneur 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/19/2024  17:02:36

能帮我看看吗?证明或找个反例。谢谢 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (1494 bytes) () 03/05/2024  13:05:23

看到一个可供参考的定理。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/06/2024  02:46:51

谢谢,我想一下。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/06/2024  07:00:33

有一篇文章里有 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (81 bytes) () 03/06/2024  10:21:10

有定理1的证明吗?谢谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/06/2024  16:29:17

在这里,仅供参考 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (21 bytes) () 03/06/2024  16:55:45

再次感谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/07/2024  06:54:16

不用客气! - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/07/2024  07:31:34

求三角形面积 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (82 bytes) () 03/03/2024  08:44:11

=5? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/03/2024  10:56:48

- 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/03/2024  13:08:05

希望你能上个答案,谢谢。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/04/2024  16:05:15

这道题蛮有趣的,试解一下,期待高手给出更简洁的解法 - monseigneur - 给 monseigneur 发送悄悄话 (784 bytes) () 03/03/2024  19:20:07

亦解 - kde235 - 给 kde235 发送悄悄话 (4042 bytes) () 03/04/2024  16:53:23

梅涅劳斯定理用得好!也可以用所谓的燕尾定理来证明所割线段比是3:3:1 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/04/2024  21:24:28

应该有很多解法,抛砖引玉,这里是我的解法 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (326 bytes) () 03/04/2024  17:11:43

我找到一个小学生知识水平可以理解的办法。找时间写出来。挺简单的。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/04/2024  23:17:59

我的解答 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (790 bytes) () 03/05/2024  00:08:30

另外有一个猜想,在我的解答的图二中,面积关系 绿=蓝,只有3等分点可以做到。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/05/2024  00:33:16

这是肯定的且易证,因为3*1/3S-重叠(绿)= S-蓝,所以绿=蓝 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  05:22:12

我的意思是每边的分点是任意比例的情形 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 03/05/2024  07:14:52

显然,如果改成四分点或以上,绿的会变小,而蓝的会变大 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  08:45:56

黄:(绿+橙)=2:1就是燕尾定理,即加上或减去燕尾下三角,比例仍相等 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  05:10:32

最直观的解。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (1973 bytes) () 03/05/2024  13:00:28

图片无法打开 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  18:12:28

我又上传了图,请再看看。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  19:35:28

对,是这个意思,只是特殊化了:) - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/05/2024  20:53:25

chatgpt经常出错。例如当n=2时,1,1,-1满足第一式,但不满足第2式。起码n应为奇数。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 03/01/2024  18:27:25

奇数的时候是成立的。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 03/02/2024  03:47:51

答案 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (81 bytes) () 03/04/2024  16:03:51

任意三棱锥,至少存在一个顶点,其三条边可以组成一个三角形。 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/29/2024  21:43:09

试解 - monseigneur - 给 monseigneur 发送悄悄话 (706 bytes) () 02/29/2024  23:13:08

参考解答 - 罗击 - 给 罗击 发送悄悄话 (510 bytes) () 03/02/2024  19:40:06

22个数的乘积=1.它们的和能等于0吗? - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 02/29/2024  14:29:49

在复数范围内,Z^22+1=0 有22个不同的虚根,满足条件。 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (0 bytes) () 02/29/2024  15:58:02

我的题是在实数内 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 02/29/2024  17:19:46

应该能找到这样22个实数: - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (382 bytes) () 02/29/2024  20:28:48

更简单的一个解:1^9*(-1)^11*(1-sqrt(2))*(1+sqrt(2)) - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 02/29/2024  21:28:13

本题可推广为对任意n>=3都成立 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (0 bytes) () 03/01/2024  05:39:53

另解 - wxcfan123 - 给 wxcfan123 发送悄悄话 (323 bytes) () 03/01/2024  12:21:05

求面积,图中的数是小三角形的面积 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (82 bytes) () 02/27/2024  13:19:10

试解 - 万斤油 - 给 万斤油 发送悄悄话 万斤油 的博客首页 (82 bytes) () 02/27/2024  20:14:46

正确 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 02/28/2024  14:54:56

这么简洁,我没想到。 - yma16 - 给 yma16 发送悄悄话 yma16 的博客首页 (0 bytes) () 02/28/2024  15:20:10

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