拉格朗日方程保守体系的位形，即在保守体系中各质点的相对位置发生变化时，其间的相互作用力作功，作功之和只与各质点相对位置有关。将

来源: marketreflections 于 2011-01-26 11:20:09 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (8311 bytes)

回答: 球对称引力场本身是不具有动力学自由度的(这是所谓的Birkhoff 定理，它表明真空中的球对称度规必定是Schwarzschi 由 marketreflections 于 2011-01-25 09:35:29

http://zh.wikipedia.org/zh/%E5%8A%BF%E8%83%BD

势能的保守力定义

如果分别作用于两个质点上的作用力与反作用力作功与具体路径无关，只取决于相互作用质点初末位置，那么这样的一对力就叫作保守力。不满足这个条件的则称为非保守力。可以证明保守场的几个等价条件^[1]，于是我们得到保守力的性质有：

保守力沿给定两点间作功与路径无关；
保守力沿任意环路作功为零；
保守力可以表示为一个标量函数的（负）梯度；

推广到多质点体系和连续分布物体，如果一封闭系统中任意两个质点之间的作用力都是保守力，则称该系统为保守体系。保守体系的位形，即在保守体系中各质点的相对位置发生变化时，其间的相互作用力作功，作功之和只与各质点相对位置有关。将保守体系在保守力作用下的这种与相对位置相联系的作功的能力定义为一个函数，称为该保守体系的势能函数或位能函数，简称势能或位能^[2]。这样，体系从一种位形变为另一种位形时对外界所作的功等于后者与前者的势能之差，从而赋予了势能函数以直观的物理意义。

除此之外，我们还可以将势能的定义从现在的基础上拓展。比如热学中气体分子间的相互作用势能，它是大量分子势能的和，实际不是用相对位置（位形）来描述的，而是用体积、温度、压强等热学参量。又如，在一些特定的约束条件下，某些平时是非保守力的力也成为了保守力^[3]，或者几种力的合力恰巧成为了一个保守力。如此种种。

广义势能

主条目：广义势能

对于一个理想、完整体系，有拉格朗日方程

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} = Q_{\alpha} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

其中，T为体系动能，q_α为广义坐标的α分量，Q_α为广义力合力的α分量，s为广义坐标数。在传统的势能定义下，保守力合力可以写为

$F_i = - \frac{\partial V}{\partial x_i} \qquad i=1,2,3$

其中，V为体系势能。用广义坐标写为

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

代入拉格朗日方程便可得到

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

若广义力Q_α并不能表示成关于任意函数V的上述函数，却能找到另一个函数U，使得Q_α可以表示为

$Q_{\alpha} = - \frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}} + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

则代入拉格朗日方程仍有

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - U)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s$

这时U具有与V相似的数学形式，但已经不再与保守力有关。我们把U叫做广义势能^[4]。

广义势能最主要的应用在于带电粒子在电磁场中的运动上。带有电荷q，以速度v移動的粒子在电场E和磁场B中受到洛伦兹力

$\boldsymbol{F} = q (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$

再辅以麦克斯韦方程组，定义電势φ与矢势A，可以得到一个满足上述条件的函数^[5]

$U = q (\phi - \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v})$

在下面的介绍中，不经特殊说明，我们只涉及传统意义上的势能，不涉及广义势能。

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拉格朗日方程 保守体系的位形，即在保守体系中各质点的相对位置发生变化时，其间的相互作用力作功，作功之和只与各质点相对位置有关。将

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势能的保守力定义

广义势能

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拉格朗日方程保守体系的位形，即在保守体系中各质点的相对位置发生变化时，其间的相互作用力作功，作功之和只与各质点相对位置有关。将