我说广义相对论系列 参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述 事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这

参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述
       事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要
       4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式
       可以叫做一个坐标系。

我说广义相对论系列{转}

2007-11-14 21:51

《我说广义相对论》之广义协变原理与张量 广义协变原理就是广义相对性原理是广义相对论的两个基本 原理之一，是狭义相对论中的相对论原理的推广，这也正是 广义与狭义名字上区别的由来。 狭义相对性原理： 一切物理定律（引力除外）在惯性参考系中保持相同的形式。 广义相对性原理： 一切物理定律在一切参考系中保持相同的形式。 这里要解释几个名词 参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述        事件发生的时间和地点，在我们的3+1维时空，这种描述需要        4个实数。当然这种坐标的定义方式是任意的，每种定义方式        可以叫做一个坐标系。 惯性系：一个参考系，如果其中的物体满足在合力为零的情况下保持匀        速运动或静止状态，那么这个参考系就叫做惯性参考系。 物理定律：就是一些物理量和另一些物理量之间的相等关系。 为了满足相对性原理，就要对物理定律的形式做出修改，否则连普通的 力学都不满足这个原理。最简单的例子就是在非惯性系中的牛顿力学， 还记得相对加速度，牵连加速度，科氏加速度这些名词吧，当年我可是 被绕了够呛。跟惯性系的牛顿定律比，它们显然不是一个形式。为什么 会这样呢？因为坐标变换后，物理量一般不会保持原来的值，而是要变 化，变化的方式当然跟坐标变换的方式有关了，所以原来相等的关系可 能就会不等了。 按照这样的思路，如果把物理定律表示成这样的等式，它的两边在 坐标变换下按照相同的规律变化，那么原来相等的东西变换后也一定相 等，这样就可以得到符合广义相对性原理的物理定律的形式。下面的任 务就是研究物理量在坐标变换下如何变化了，只要把按照相同规律变化 的物理量放到一起组成物理定律，问题就解决了。 物理量随坐标系的变换很复杂，有的量不随坐标系变化，比如质点 的质量，这种量很容易对付，他们在坐标变换下不变，可以认为已经满 足了广义协变原理，所以不必考虑。有的不仅与自身在原坐标系中的值 有关，还和其他的量有关，这样就必须把这些相互关联的一组量同时加 以考虑。我们的经验发现，同时变化的量的个数、都是空间维数的某个 自然数幂，考虑到前面说的不随坐标变换变化的量，它的个数是1，所以 幂次是0，所以同时变化的量的个数、都是空间维数的某个非负整数幂。 根据这个幂次的不同，可以对物理量进行分类。首先，把这种按一定规 律随坐标系变化而变化的物理量组称为张量，如果张量中物理量的个数 是空间维数的n次幂，就把这个张量叫做n阶张量。 阶数相同的张量具有相同的个数（废话！）和变换规律，所以最后 的方程应当由阶数相同的张量来组成。我们把物理定律在一个参考系下 用张量方程写出来，就可以知道它在一切其他参考系下也是这样的形式， 只不过，要用经过变换的张量来代替原来的。现在唯一的问题是，张量 在坐标表换下如何变化？ 下面不得不写点数学公式了。设原坐标系Xi，i是坐标编号，应该是 从0到3，新坐标系是X'i(Xi),写成函数形式表示他们的变换关系。0阶张 量就不说了，它们不变。对于一阶张量Ai，变换关系有两种：          A'i=Aj*dX'i/dXj A'i=Aj*dXi/dX'j 先解释一下，这两个式子应用了爱因斯坦求和约定，即相同的下标表示 对此下标从0到3求和，这个式子里的j就是这样的下标。在此约定下，张 量方程可以写成很简单的形式。回到主题上来，这两种1阶张量是不同的 前一种叫做1阶逆变张量，后一种叫做1阶协变张量。对于更高阶的张量， 因为有4^n个，所以要引入n个从0到3的下标将它们适当的编号,使得他们 满足变换关系类似的，不过要注意，此时有的下标满足逆变的变换关系， 有的满足协变的，这种就叫做混合张量，一般写成(p,q)型张量，表示有 p个逆变下标，q个协变下标。举例来说，(1,1)型张量的变换关系是：    A'{i1,i2}=A{j1,j2}*dX'i1/dXj1*dXi2/dX'j2 其他型号的张量也可类似的写出变换关系，说白了就是原张量的某个线 性和。为了书写上的方便，逆变指标写在右上角，协变指标写在右下角 ，不过bbs上无法用角标，我就用下面的方式代替了，花括号表示指标集 ，;前面的是逆变指标，后面的是协变指标：A{i1;i2},B{i,j;k,l,m}等 等。 还有几个问题： 为什么是线性和？是因为从对称性的角度变换和逆变换的形式应当 一样，所以只能是线性变换。 为什么是齐次的？是因为非齐次项没有作用，方程两边都有，所以 就减掉了。 变换系数为什么只有这两种？还是从逆变换的角度考虑变换方程的 形式应当不变，这样自然可以推出系数。 张量的分类与变化规律就这样结束了。有了这些，就可以写出满足 广义写变性要求的物理定律了。 总之一句话，广义相对性原理要求物理定律用张量方程。这就是广 义相对性原理的唯一作用。 标   题: 《我说广义相对论》之等效原理与黎曼几何 发信站: BBS 水木清华站 (Thu Jun 28 06:25:49 2001) 等效原理是广义相对论的另一个基本假设，它要比广义协变原理 深刻的多，它决定了广义相对论必须使用黎曼几何，而且将引力几何 化。 等效原理分几个级别，广义相对论中用的是最强的甚强等效原理 ，它的内容是： 任何引力场中自由下落的局域参考系与惯性系等效。 这里说的局域参考系是指参考点附近的一个无限小区域。与惯性系等 效意味着，这个参考系内的任何物理过程都和惯性系一样。 这就说明，含有引力的时空中，任何一小块自由运动的局域参考 系都可以看成是平直空间。我们把这句话中的几个字眼换一下，引力 换成弯曲，时空换成流形，局域参考系换成无限小区域，平直换成平 面，那么等效原理说的事实就变成弯曲流形上面的无限小区域可以近 似看成平面的一部分。这正是黎曼几何的思想，把曲面问题化成无数 个无限小区域内的平面问题。所以广义相对论只要使用黎曼几何就能 符合等效原理，而且，引力相互作用成了时空流形的弯曲，这就叫做 引力几何化，关于引力几何化会另又一篇文章讨论。 说了这么多还没说黎曼几何是什么。事实上并不想大多数科普材 料上写的那样，黎曼几何是与欧氏几何和罗巴切夫斯基几何相并列的 那种椭圆几何，那个只是初级的成果，黎曼几何要更广泛些，它描述 一切曲面上的内蕴几何，也就是说只研究它表面上的度量关系，而不 研究曲面在它所在空间中的几何性质。它实际上是三维微分几何中曲 面的第一基本形式的多维推广，属于微分几何的内容。 从比较高的角度看，没有黎曼几何的微分几何只是从拓扑和仿射 空间的角度刻画流形。有了黎曼几何，相当于在流形上引入了度量， 使其成为距离空间。具体方法是在每个点附近定义线元的平方：             ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;} gij叫做度规张量，是一个二阶的协变张量，dX是坐标的微分。这实际 是勾股定理的推广，平直空间里gij就是单位对角阵了。对于弯曲空间 中的无限小邻域，其中的度规张量可以看成常数，于是可以选一个特 殊的坐标系，把线元平方对角化，根据二次型理论，这总可以办到， 这就实现了用平面逼近曲面。但对于整个弯曲流形，因为对角化的方 式逐点不同，所以不能全局的平直化。 下面顺便说说狭义相对论。学狭义相对论是也有张量的概念，但那 时为什么不分逆变和协变呢？现在可以回答了。狭义相对论存在于没有 引力的平直时空，这种平直空间的线元平方为ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2， 这是由光速不变原理决定的。因为狭义相对性原理的限制，这里能采用 的坐标变换只有惯性系之间的变换，即洛伦兹变换。用t,x,y,z表示的洛 伦兹变换下，你若去写张量变换式，会发现有逆变和协变之分，如果引 入了x4，那么洛伦兹变换成了正交矩阵，逆变和谐变的关系变成一样的 了，这正是明可夫斯基空间的优越之处，他把非欧空间变成欧氏空间， 因为欧氏空间的张量没有逆变协变之分，所以物理定律又会化简很多。 这两种方式都是正确的，只是后一种更简单些。可是到了广义相对论中 空间根本就不能化成平直的，所以逆变和谐变不可能一样，所以x4就没 有了引入的意义，所以广义相对论中写x0不写x4. 另外，光速不变导致了ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，等效原理导致 了ds^2=g{;i,j}*dX{i;}*dX{j;}，这都是在仿射流形上引入度量的过程 ，所以，光速不变和等效原理可以看成是一类的原理，甚至可以说等效 原理是光速不变的推广，这是我们能够更深刻的认识时空。 关于等效原理还可以讲一些，不过精华区里有一片讲广义相对论的 实验检验已经说的很好了，这里就不重复了。 关于黎曼几何有很多内容，三言两语说不清楚，总之记住一句话： 甚强等效原理要求广义相对论必须使用黎曼几何。 《我说广义相对论》之引力几何化 如前所述，时空是一个四维流形，引力是时空弯曲的表现，那么这种时空的弯曲 怎么作用在时空中的物质上呢？答案是测地线。 测地线也是微分几何的术语，是指带有度规张量的曲面上两点间距离取极值的点。 设连接两点的的曲线是Xi(s)两个点对应s1,s2那么曲线长度为           s2 s2   _______________          dX{i}       L=∫ ds=∫√g{;i,k}U{i}U{k} ds U{i}=-------           s1 s1                            ds Ui是四速度。之后用变分法求这个泛函极值，就得到测地线需要满足的方程： dUi                             1 -----+Γ{i;kl}UkUl=0   Γ{i;kl}= ---g{i,j;}(g{k,j},l+g{l,j},k-g{k,l},j) ds                            2 那个伽玛叫第一类克里斯托福符号。",i"表示对Xi求偏导 为了知道这个对不对，只需要对平直时空验证一下，           s2 s2   ___________________       L=∫ ds=∫√t'^2-x'^2-y'^2-z'^2 ds           s1 s1 正好就是狭义相对论中的拉哥朗日量。不过平直时空gik为常数，所以克氏符号为零 ，根据上面的方程，只有四速度为常数才行，此时粒子运行轨迹是直线，正好相符。 对非平直时空，克氏符号不为零，测地线就是曲线了。 这个克氏符号起着引力场强的作用。 对于一般的时空，根据度规张量算出克氏符号写出测地线方程，解出来就是自 由质点在此引力场中的运动方程了。所以引力问题完全变成了几何问题。引力的动 力学效应完全由时空的弯曲决定，概括起来就是说：    时空告诉物质如何运动 另一方面，时空不会平白无故弯曲的，是因为有物质的存在，时空才会弯曲， 那么物质是怎么影响时空的弯曲呢？答案是爱因斯坦引力场方程 引力场方程是联系描述时空弯曲的量和描述物质分布的量的一个方程。在牛顿 力学中这样的方程是泊松方程：△φ=4πGρ它左边是引力势的二阶偏微分，右边是 物质密度。广义相对论中相当于引力势的东西是度规张量，所以引力场方程左边应 该是g及偏导数组成的。因为广义相对论的零级近似应当是牛顿理论，所以猜测引力 场方程中关于度规张量的偏微分应该也是线性2阶，至于引力场方程的右边，应当是 物质的能量动量张量。那左边应该等于什么呢？恰好黎曼几何中有一条定理，由度规 张量及其不超过线性二阶的导数组成的量中，只有里奇曲率张量、曲率标量和度规 张量自身。这几乎完全把方程左边的形式给确定了下来：          R{ik}+a*g{ik}*R+b*g{ik}=k*T{ik} 下一个要用的定律是能量和动量的守恒定律，即T{ik}的散度为零，由此可定出a=-1/2 b要用另外的方法：牛顿近似。因为广义相对论必须以牛顿理论为低级近似，考虑系统 的低能近似，可以发现为了使低能近似退化为牛顿理论，那么b应当很小几乎接近零。 这就是著名的宇宙项。这样一来，引力场方程写为： 　　　　　　       1 　　　　　　 R{ik} - ---R*g*{ik}+λg{ik}=k*T{ik}                   2 通常情况，会去掉宇宙项，但研究宇宙学时还是有可能用的到的。用牛顿近似的方法还 可以确定k的值 这个方程通常根据右边物质的能动张量反解出R这就知道了时空的弯曲情况了，这 一事实概括成一句话就是：    物质告诉时空如何弯曲 《我说广义相对论》之引力几何化：运动方程 质点在引力场中如何运动？这应该是广义相对论的中心问题之一。 因为引力被解释成时空弯曲，所以质点在引力作用下的运动实际上 是质点在弯曲时空里的自由运动。在广义相对论以前，自由质点是 遵循牛顿第一定律的，作匀速直线运动。但到了广义相对论中，时 空是弯曲的，没有真正的直线运动，该怎么办呢？ 为了实现弯曲时空里的“直线”运动，我们必须把直线这个概念推 广。平直空间中的直线有很多性质，比如它各点处的的切向量总是 平行的、它是连接两点的线中最短的等等。 先看第一条，切矢量处处平行，显然这可以作为直线的定义，在弯 曲空间里是否能实现这种定义呢？可以。实际上，切矢量处处平行 正是测地线的局部定义。测地线是一个仿射几何的概念，不必引入 黎曼度量就可以定义测地线。不过，为了定义什么叫切矢量、什么 叫平行，就必须在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描 述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可 以对张量进行微分和比较。 不过要注意的是，联络是可以随意引入的，不同的联络得到的测地 线也不同，哪种联络是我们需要的呢？黎曼告诉我们，在黎曼几何 里可以确定唯一的无挠联络，它只跟度规张量的形式有关，这种联 络叫做黎曼联络。这样一来我们就把运动方程完全确定了。 再看第二条，两点之间的最短线，因为这里涉及了长度这种度量性 质，所以必须在黎曼几何里进行讨论了。给定两点和他们之间的一 条路经，因为ds已经由度规张量确定，所以只需积分就可以得到整 条路径的长度，之后的问题就是什么样的路径使这个长度最小了， 这只是个简单的泛函极值，用变分法很容易得到这样的路径满足的 方程。结果是令人惊讶而又合情合理的，这种路径正是黎曼联络下 的测地线。 两种方法得到一致的结果，弯曲时空里的自由质点沿测地线运动。 这里的数学原因应该是黎曼联络的存在唯一性。 下面来分析一下测地线两种定义的物理意义。 第一种把测地线定义为切矢量处处平行的曲线，这对运动质点来说 就是速度保持“不变”。所以这种定义实际上是牛顿第一定律的推 广。 第二种把测地线定义成一个某个泛函极值问题的驻点。把这个泛函 在平直空间的形式写出来，我们立刻会发现这正是狭义相对论的作 用量，如果再考虑它的牛顿形式，实际上就是能量。所以这种定义 是能量最低原理或者说是作用量原理的推广。 从这个角度来理解两种定义的一致性就更清楚了，实际上这种一致 性就是牛顿定律和能量最低原理的一致性。牛顿定律和作用量原理 的一致性从数学上看就是算子方程和泛函极值相对应的表现。从这 些类比中，我有一个问题，算子方程和泛函极值相对应这一事实和 黎曼联络的存在唯一性有什么数学上的关系吗？因为他们导出了一 致的物理结果，所以我怀疑这里面有什么数学原因，但我的微分几 何知识仅限于GR范围内，所以可能回答不了这个问题了，不过我想 所有的这些，都是某一数学对象的局部性质和整体性质之间的关系 ，从这里入手大概可以发现点什么。 我说广义相对论》之引力几何化：场方程 在我没看过场方程的推导以前，看过一些科普中的描述，那里面从 来不涉及细节，只是说爱因斯坦很严格的推导出这个引力场方程， 可是当我看到这个推导时却很不以为然，这也叫严格吗？ 我们先来简单回顾一下这个推导，首先从牛顿引力势满足的泊松方 程开始：△U=4πGρ。由此推断出引力场方程应当是度规张量和能 动张量之间的一个张量方程，它的00分量的一级近似将给出牛顿引 力场的结果。进而从牛顿引力场的泊松方程猜测和度规张量有关的 部分应当只含有度规张量的一阶和二阶导数，并且关于二阶导数一 定是线性。然后引述黎曼几何的一条定理，确定了这种张量的一般 形式，最后利用能动张量的守恒性确定了这个一般形式中的几个系 数。 我的感觉，这个推导中猜的成分居多。尤其是猜测方程中包含什么 那部分，简直就是为了引用那条定理而量身定做的。其实，这种猜 测并没有去排除别的可能性，所以不能保证场方程的唯一性。场方 程很有可能是另外的形式，比如： 为什么一定是二阶张量方程而不是标量的或者矢量的？ 事实上，爱因斯坦在没学好黎曼几何前曾经尝试过建立标量性的场 方程，那个方程很复杂，很丑陋。但这不能作为排除理论的唯一原 因，只能是一种佐证。再说，就算那个不正确，为什么不能有别的 可能正确的理论呢？这些在引力场方程的推导过程中都没有涉及。 我的看法是，因为场方程应该是是关于10个度规张量的一个方程组 所以，为了唯一确定这些未知数，最好场方程也是10个，而这个数 正好就是四维二阶对称张量的独立分量个数。这才是场方程取二阶 对称张量形式的真正原因。 为什么一定是二阶的微分方程并且关于二阶项是线性？ 原因是牛顿方程就是这样的，可是牛顿方程为什么是这样你就没法 回答了。再说也有可能是其他样子的方程但是在低级近似下不显现 呢。我看到过关于这个的评述，说如果是高阶方程，那么得到的牛 顿极限不对，这是稍微负责任的一种态度，不过仍然不能回答“为 什么牛顿极限就是正确的”这种的问题。 对于上面这种疑惑的回答总是这样两种：一是它和实验相符，二是 它和牛顿极限相符，其实归根结底还是和实验相符。这种办法是我 不喜欢的，因为这样有时候无法看到事物的本质。 实验事实和理论本身那个更接近绝对真理呢？当然是理论本身，应 当是理论决定实验结果而不是实验结果决定了理论。因为广义相对 论比牛顿定律更接近绝对的真理，所以我们在回答为什么牛顿定律 是这样子的时候应当说因为广义相对论是这样子的，而不是反过来！ 在这样的态度下我再来问：为什么牛顿方程是二阶的？为什么它的 二阶部分是线性？我的回答是：因为黎曼几何里的曲率就是如此！ 曲率无疑是黎曼几何里最重要的量，所以以黎曼几何为基础的广义 相对论的场方程也应该是一个关于曲率的方程。下面的工作就是去 寻找曲率和物质分布的关系。为了找到这种关系，在我看来最简捷 的办法是利用作用量原理，因为这只需对标量进行操作。这个推导 在一般的广义相对论书中也有，不过前面也是罗里罗唆的说了些为 什么把时空作用量选为标量曲率对全空间的积分，在我看来，这都 是不必要的，因为就该如此，没有别的选择。这个推导的另一个好 处是，它给出了能动张量和物质作用量之间的关系，使能动张量成 为一个导出量，而不是像以前总是先验的给出。 这有一个问题，为什么作用量是对标量曲率本身积分，而不是标量 曲率的其他函数呢？这里又要把思维发散一下了，当你看到标量曲 率对全空间积分，你能想到什么相似的东西吗？当然是微分几何里 的高斯崩尼定理。我相信时空作用量取这个形式不是偶然的事情， 很可能这里面有什么更深层的原因没有被我们认识到。 另一个问题，物理里面大多数的运动方程都是二阶微分方程，这是 否意味着他们都是某个黎曼空间里曲率方程的变形？我想是这样的 不过这个问题大概只有所谓的包罗万象的理论才能解释清楚了。

 

所有跟帖： 

• 新繁星客栈 » 琢玉坊 参考系：就是以一定方式运动的观察者，他可以定义时空坐标来描述 事件发生的时间和地点，在我们的 -marketreflections- ♂ (291 bytes) () 01/29/2011 postreply 22:48:18

• 根據相對論，一群觀察者附屬於某一個參考系，而根據那個參考系內的時間與空間測量規範，決定了屬於那個參考系的觀測結果。不同參考系的觀 -marketreflections- ♂ (2159 bytes) () 01/30/2011 postreply 08:03:16

• 广义相对论和宇宙学的物理基础/李复编著 -marketreflections- ♂ (156 bytes) () 01/31/2011 postreply 09:58:43

• 某些理论家认为，存在维数多于四维的时空，因而引力可以通过某种更快的路径加速 -marketreflections- ♂ (2244 bytes) () 01/31/2011 postreply 21:35:07

• 当一个物体做加速运动时，就会以有限的速度逐步地影响其周围的时空结构。如果这种影响按波动规律向四周传播，从而逐点改变原来已经弯曲的 -marketreflections- ♂ (10621 bytes) () 01/31/2011 postreply 21:45:23

• 单参数变换群物理应用 -marketreflections- ♂ (37019 bytes) () 02/03/2011 postreply 15:33:15

• 偏微分方程 演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍 -marketreflections- ♂ (7809 bytes) () 02/03/2011 postreply 19:33:27

• “张力”作为一个几乎普遍用来描述琴弦性质的术语有点误导，因为当您购买琴弦的时候，它理所当然地没有任何张力。只有当您把它上到吉他上 -marketreflections- ♂ (2199 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:10:23

• 回复：偏微分方程 演奏的时候，弦方程 椭圆型 双曲型 抛物型 -marketreflections- ♂ (58645 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:21:55

• 回复：偏微分方程 演奏的时候，弦方程 椭圆型 双曲型 抛物型 -marketreflections- ♂ (58645 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:22:00

• 椭圆型方程描述的一般是平衡问题（或稳态问题），双曲型和抛物型方程描述的一般是步进问题。 -marketreflections- ♂ (1878 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:26:31

• 波动方程(1)就是一个正规双曲型方程 -marketreflections- ♂ (1464 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:31:15

• 发行股票类似发行货币 资本市场-股市和债券市场的诞生往往是资本主义的必然。自发的会形成股权转让，但这马上提供了异化嬗变的机会，也 -marketreflections- ♂ (13544 bytes) () 02/04/2011 postreply 08:45:38

• 发行股票类似发行货币 西方的虚拟金融是建立在西方国家的实体经济基础上的，其设立的金融衍生产品是基于西方国家以往的实体经济的历史数 -marketreflections- ♂ (3844 bytes) () 02/04/2011 postreply 09:04:48

• 久公子谈货币- docin.com豆丁网 货币4 exchange of goods; stock 4 exchange of -marketreflections- ♂ (1516 bytes) () 02/04/2011 postreply 14:21:01

• 动量化货币的原理 动量一词是物理学的概念。在常速条件下 动量是描述运动物体的矢量，等于物体质量与速度的乘积。 -marketreflections- ♂ (268440 bytes) () 02/04/2011 postreply 14:37:38

• 重新看一些问题« demonstrate 的blog2010年10月3日 ... 对于经典的Lagrange 力学和 -marketreflections- ♂ (21090 bytes) () 02/04/2011 postreply 14:54:48

• 变质量"完整力学系统" -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 02/04/2011 postreply 17:01:08

• 完整力学系统的Lagrange方程，非完整系统带乘子的Lagrange方程，MacMillan .... 完整力学系统, 准坐标 -marketreflections- ♂ (2883 bytes) () 02/04/2011 postreply 17:07:14

• 教材第七、八、九、十篇. 通向相对论力学的道路. -marketreflections- ♂ (26130 bytes) () 02/04/2011 postreply 17:19:44

• 教材第七、八、九、十篇. 通向相对论力学的道路. -marketreflections- ♂ (168 bytes) () 02/04/2011 postreply 18:19:50

• 理想的完整(约束)力学系统 两类拉格朗日方程的比较 -marketreflections- ♂ (3104 bytes) () 02/04/2011 postreply 17:26:24

• "路径积分泛函" :相空间中的路径积分表示，积分测度相当于相空间中的体积元：把所有广义坐标的微分元与所有广义动量的微分元相乘。对 -marketreflections- ♂ (6477 bytes) () 02/04/2011 postreply 18:58:23

• 把相对论与单位圆上的点类比，点在单位圆圆周上运动时，x绝对值增加则y绝对值减少，x绝对值减少加则y绝对值增加，但是，dx^2+d -marketreflections- ♂ (7052 bytes) () 02/04/2011 postreply 19:05:42

• 乱弹辛积分动力学，辛流形，对称，与守恒律 -marketreflections- ♂ (8008 bytes) () 02/04/2011 postreply 20:53:19

• 辛流形描述了相空间与哈密顿之间的数学特性,体系在一些特定的约束下运动（不同的约束构成不同的系综），由于不同种粒子之间的作用不同， -marketreflections- ♂ (456 bytes) () 02/05/2011 postreply 16:29:06

• 复杂双摆的KAM 定理 -marketreflections- ♂ (6038 bytes) () 02/05/2011 postreply 22:40:17

• 萍踪浪迹 (王善钦：把质心运动定理应用到整个n体系统，因为n体系统没有受到外力，其质心对惯性系作匀速直线运动 -marketreflections- ♂ (24991 bytes) () 02/04/2011 postreply 21:20:49

• 萍踪浪迹 (王善钦：微分方程组的奇点很好计算，只要给出函数就可以判定相空间中矢量场的奇点，比如说对于下面这个方程组决定的矢量场： -marketreflections- ♂ (2456 bytes) () 02/04/2011 postreply 21:33:10

• 要同时考虑位置和动量，就必须转到位形空间的余切丛中。这个更大的空间称为系统的相空间。简单说来，一个位形空间通常是一个相空间（参看 -marketreflections- ♂ (3426 bytes) () 02/05/2011 postreply 16:13:51

• 考虑广义坐标q（q_1，q_2，……，q_n），广义速度dq/dt（dq_1/dt，dq_2/dt，……dq_n/dt），两者的 -marketreflections- ♂ (4925 bytes) () 02/05/2011 postreply 16:18:14

• 量子力学中对一个体系，可能有很多状态，所有可能的状态组成形成一个完备的空间，但是无论如何，出现在任意态的概率全部相加 等于1 -marketreflections- ♂ (1282 bytes) () 02/04/2011 postreply 21:36:54

• 电场与磁场全成了算符，是算符的全受到heisenberg不确定原理的管辖。所以它们的数值不可能在瞬间被指定: mkt -marketreflections- ♂ (1556 bytes) () 02/04/2011 postreply 21:54:16

• 星空浩淼：从广义坐标入手,得到结论： 位置坐标相当于动量坐标的微分算符； 动量坐标 相当于 位置坐标 的微分算符算符，某广义坐标 -marketreflections- ♂ (11107 bytes) () 02/05/2011 postreply 09:21:27

• 最常见的作用量是一个泛函 ，输入值是时间与空间的函数，输出值是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 ， 之间广 -marketreflections- ♂ (18725 bytes) () 02/05/2011 postreply 09:48:43

• 星空浩淼 从广义坐标入手,得到结论： 位置坐标相当于动量坐标的微分算符； 动量坐标 相当于 位置坐标 的微分算符算符，某广义坐标 -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 02/05/2011 postreply 12:03:07

• BNR 力学 广义坐标 广义动量 -marketreflections- ♂ (106 bytes) () 02/05/2011 postreply 16:01:35

• 四维流形的微分同胚变换群:因为原则上我们在一个时空之中，没有天然的时间可以区分时间前后。在小尺度上没有时空的因果结构，我们拿什么 -marketreflections- ♂ (1778 bytes) () 02/04/2011 postreply 21:58:45

• 总市值和GDP关系——巴菲特判断股市长期走势的指标 -marketreflections- ♂ (7485 bytes) () 02/04/2011 postreply 09:20:34

• 西方哲学的优势其实不在于理智上的整合，而在于感情上的专一，不管它概念如何凌乱，但重视实践，而且全都指向唯一的上帝或某种终极理念 -marketreflections- ♂ (76 bytes) () 02/04/2011 postreply 09:37:26

• 流体中文网 应力 （张量） “把固体切开，其内部的力才暴露出来” “切的方向不同，表面上的力也不同” 给定方向，就能得到表面 -marketreflections- ♂ (105560 bytes) () 02/04/2011 postreply 11:52:37

• 计算流体力学基础 作者：任玉新,陈海昕 -marketreflections- ♂ (951 bytes) () 02/04/2011 postreply 12:52:20

• TA keltner channel -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 02/04/2011 postreply 13:01:18

• 弦力，应力，张力，场力, volatility, 保守力：对椭圆形(场)的破坏与恢复 -marketreflections- ♂ (163 bytes) () 02/04/2011 postreply 13:22:04

• 抛弹式发力 轨迹复合的原则是“轨迹相同 、传导互动”即所有层次的运动轨迹属于同一种圆，基层轨迹为表层轨迹生机造开势，供应动力并提 -marketreflections- ♂ (42300 bytes) () 02/04/2011 postreply 13:26:38

• 庞加莱的研究道路完全与众不同。他从三体问题出发，创造了无切环（不与任何满足微分方程的曲线相切的闭曲线 -marketreflections- ♂ (11832 bytes) () 02/03/2011 postreply 19:48:06

• 庞加莱无切环,不与任何满足微分方程的曲线相切的闭曲线 -marketreflections- ♂ (134 bytes) () 02/03/2011 postreply 20:05:57

• 狭义相对论的基本出发点 -marketreflections- ♂ (1838 bytes) () 01/31/2011 postreply 21:52:42

• 力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路 -marketreflections- ♂ (10453 bytes) () 01/31/2011 postreply 22:05:07

• 广义相对论:微博强化了时间碎片化的倾向,。微博是靠意见领袖的魅力，用推荐来替代搜索。这是一个更给力的信息收集、处理以及加工的模式 -marketreflections- ♂ (3642 bytes) () 02/01/2011 postreply 12:22:41

• 手机新媒体的发展搭建了一个完全可与互联网相媲美的“信息高速公路”。new dimensions -marketreflections- ♂ (14765 bytes) () 02/01/2011 postreply 13:09:28

• sina01 bidu01 朱海松 2009年全年中国广告市场总投放达到了5075.18亿元，艾瑞发布的2009年中国互联网广告 -marketreflections- ♂ (15017 bytes) () 02/01/2011 postreply 13:27:22

• sina01 bidu01 360周鸿祎：2011互联网第一仗是“微博大战” -marketreflections- ♂ (4987 bytes) () 02/02/2011 postreply 08:28:53

• sina01 net margin -marketreflections- ♂ (5827 bytes) () 02/03/2011 postreply 10:46:12

• 简析新浪发展 sina01 sohu01 -marketreflections- ♂ (22982 bytes) () 02/03/2011 postreply 11:10:25

• 郭宇宽：微博成功说明什么 sina vs facebook -marketreflections- ♂ (6301 bytes) () 02/19/2011 postreply 20:48:33

• sohu01 Rick Aristotle Munarriz, The Motley Fool -marketreflections- ♂ (6016 bytes) () 08/01/2011 postreply 12:56:09

• ”。“转发”、“评论”等功能以Feed（一种按特定格式和订阅关系的信息分发系统）的形式，确保了一条信息可以自动流传至微博这个平台 -marketreflections- ♂ (478 bytes) () 02/03/2011 postreply 11:33:00

• sina01 新浪非常道 -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 02/03/2011 postreply 11:42:15

• 微博对于手机网民生活的改变更为突出。在微博功能的使用上，用户把了解资讯放在首位，把好友沟通排在第三，这与即时通讯的用户使用行为有 -marketreflections- ♂ (350 bytes) () 02/03/2011 postreply 11:53:32

• 微博，从它诞生之日起，骨子里就有一种基因，注定了它将开启人类通讯史上一个崭新的时代，它将现有的即时通讯——点对点的通讯方式，向前 -marketreflections- ♂ (98 bytes) () 02/03/2011 postreply 12:00:04

• sina01 顺风：关于微博的若干思考（六十七） -marketreflections- ♂ (120 bytes) () 02/03/2011 postreply 12:06:14

• 新浪微博测试中的sina tair聊天工具,两个用户之间可能彼此平时并没有QQ上无时无刻沟通的需要，但彼此在自己微博上却可以随时 -marketreflections- ♂ (6849 bytes) () 02/09/2011 postreply 06:29:06

• 目前与新浪微博合作的各类外部网站，每天都能从新浪微博获得网民超过3000万次的点击。据说，自去年7月28日新浪微博平台接口正式对 -marketreflections- ♂ (3128 bytes) () 02/02/2011 postreply 08:36:27

• The pattern Baidu broke out from on Tuesday is a fourth-stage ba -marketreflections- ♂ (6174 bytes) () 02/07/2011 postreply 13:03:26

• sina01 bidu01 肖明超 受众与技术驱动下的新媒体传播趋势 -marketreflections- ♂ (3354 bytes) () 02/01/2011 postreply 13:32:11

• bidu01 “现金+搜索流量合作”,“流量换股份”,"股份换流量" -marketreflections- ♂ (13632 bytes) () 08/15/2011 postreply 15:17:31

• bidu01 twitter.com/#!/ericjackson -marketreflections- ♂ (102 bytes) () 08/15/2011 postreply 15:32:08

• 杨溟：社会越来越媒介化、媒介越来越社会化 几何度规化 -marketreflections- ♂ (18172 bytes) () 02/01/2011 postreply 13:45:49

• 欧几里德几何里中说“时空度规都是刚性的”。刚性”即是指不会变化。这句话即是指：时空的数学表达式是8会改变的。（这其实只在惯性系中 -marketreflections- ♂ (2219 bytes) () 02/01/2011 postreply 13:57:07

• 谢文 sina01 关系是个抽象概念，指的是人与人之间相对固定，稳定的信息沟通互动渠道。人情关系，利益关系，性关系，等等都是关系 -marketreflections- ♂ (8031 bytes) () 02/03/2011 postreply 08:43:37

• 但社交网站中很受欢迎的转帖功能只有链接或信息开头一部分，不像微博那样简单直接。加之社交网站用户间的围墙显然高于几近全透明的微博， -marketreflections- ♂ (23858 bytes) () 03/15/2011 postreply 14:22:23

• sina01 微博最明显的优势，它与传统媒体相比，在信息传递的即时性上，远远超越了传统媒体——所以特别强调这一点，是因为中国的特 -marketreflections- ♂ (4821 bytes) () 03/17/2011 postreply 06:03:19

• 奇虎360 qihu01 -marketreflections- ♂ (5261 bytes) () 03/30/2011 postreply 08:58:49

• 高原资本涂鸿川 qihu01 商业模式在美国史上没有 -marketreflections- ♂ (3019 bytes) () 03/30/2011 postreply 10:38:36

• 数字星空CEO 刘建华 360迄今为止用户量最大的产品，还是靠杀3721插件起家的360安全卫士，这个已经成为绝大多数普通PC -marketreflections- ♂ (9459 bytes) () 03/30/2011 postreply 13:24:24

• qihu01 周鸿祎给:未来人们的上网方式只有两种，一种是浏览器，另一种就是通过APP应用商店下载应用 -marketreflections- ♂ (5494 bytes) () 03/30/2011 postreply 15:08:43

• qihu01 12.11 M shares, overallotment of 1.81M shares exercised p -marketreflections- ♂ (12831 bytes) () 03/30/2011 postreply 15:23:50

• qihu01 12.11 M shares, market capitalization is $3B, revenues we -marketreflections- ♂ (6947 bytes) () 05/27/2011 postreply 13:22:13

• qihu01 sina01 仅依赖广告无法支撑起中国互联网泡沫 华尔街日报 原文链接　作者：贝乐斯 -marketreflections- ♂ (3459 bytes) () 05/27/2011 postreply 13:36:21

• qihu01 Citron report -marketreflections- ♂ (49600 bytes) () 11/01/2011 postreply 11:25:31

• qihu 价格为29.9美元，市值约为33多亿美元 -marketreflections- ♂ (6557 bytes) () 03/30/2011 postreply 15:31:18

• 奇虎360 qihu01 奇虎360的回顾和分析——i美股投资研报 -marketreflections- ♂ (35218 bytes) () 03/30/2011 postreply 16:17:54

• 奇虎360 qihu01 腾讯QQ与奇虎360战争始末详细分析 -marketreflections- ♂ (6388 bytes) () 03/30/2011 postreply 18:46:12

• 奇虎360 qihu01 YOUNG'S CHINA BUSINESS BLOG -marketreflections- ♂ (88 bytes) () 03/31/2011 postreply 16:05:08

• 罗川 投资360就是下注周鸿祎 360现在的产品形态还在发展的初期阶段，很难预见明天它会变出什么新花样 -marketreflections- ♂ (5167 bytes) () 04/01/2011 postreply 12:30:13

• qihu ipo growth model -marketreflections- ♂ (30272 bytes) () 04/05/2011 postreply 06:08:35

• qihu 吕本富 文档处理和翻译这些功能都可以在浏览器中实现 -marketreflections- ♂ (883 bytes) () 04/07/2011 postreply 13:48:54

• qihu HTML5的出现，浏览器里也已实现了原先只能靠客户端实现的功能，比如3D、音视频的聊天 浏览器开放生态系统里一共有三 -marketreflections- ♂ (1828 bytes) () 04/07/2011 postreply 13:56:31

• qihu valuation 奇虎360目前的股价对应45.2倍的EV/修正后EBITDA -marketreflections- ♂ (7089 bytes) () 05/19/2011 postreply 10:54:57

• 恩斯特.马赫《认识与谬误》与度规空间对照的生理空间 -marketreflections- ♂ (31216 bytes) () 02/01/2011 postreply 14:02:06

• 胡泳 微动力为什么重要？在过去，少数几个动力十足的人和几乎没有动力的大众一起行动，通常导致令人沮丧的结果 -marketreflections- ♂ (2363 bytes) () 02/01/2011 postreply 14:24:18

• 度规 基 实数集R是具有一个全序关系的，这意味着实数集中所有元素都已经按照大小关系排列好了。这个排列本身就可以看作是编号，编号n -marketreflections- ♂ (15327 bytes) () 02/01/2011 postreply 19:12:58

• 随机力与非线性系统(胡岗). 惯性系=内外合力为零,度规，集合内部元素排序，正反两方面，两个模式较量，外部空间有表现，极点决胜负 -marketreflections- ♂ (820 bytes) () 02/02/2011 postreply 10:55:28

• 矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 TA -marketreflections- ♂ (1108 bytes) () 02/03/2011 postreply 10:23:59

• Rick Aristotle Munarriz sohu why they're not riding the more di -marketreflections- ♂ (5270 bytes) () 02/02/2011 postreply 11:19:27

• 数学学习的规律与方法 -marketreflections- ♂ (315 bytes) () 02/02/2011 postreply 11:40:59

• 如果某一处光所走过的光路测地线的度规平直，则可以在这一处定义局域惯性系 -marketreflections- ♂ (2248 bytes) () 02/02/2011 postreply 12:32:02

• “真实为众虚拟中之极值”应是“判据”之一例。变分原理,when 忽悠 is minimized -marketreflections- ♂ (7980 bytes) () 02/03/2011 postreply 12:27:59

• 引力論 作者：Misner, Charles W. 米什内尔 -marketreflections- ♂ (590 bytes) () 02/02/2011 postreply 20:34:24

• 相对论带电粒子(主要是质子和电子)的速度接近于光速 第一种效应是单粒子事件 -marketreflections- ♂ (22510 bytes) () 01/30/2011 postreply 08:19:01

• 在麦克斯韦方程中要引进质量也没有原则性困难,反粒子而引进了负能级海的概念，这导致了量子场论的建立 -marketreflections- ♂ (10150 bytes) () 01/30/2011 postreply 08:37:42

• 克斯韦方程没有考虑电磁场的质量和惯性，该物理模型称之为“完全电磁弹性”模型中 -marketreflections- ♂ (22206 bytes) () 01/30/2011 postreply 08:42:31

• E＝－▽φ－dA/dt,φ表示标势，A表示失势； ▽φ为无旋场（纵场），－▽φ项对应于库仑场；dA/dt为无散场（横场），－dA -marketreflections- ♂ (7651 bytes) () 01/30/2011 postreply 09:13:06

• 《21世纪的牛顿力学》作者：程稳平程实平 -marketreflections- ♂ (1696 bytes) () 01/30/2011 postreply 10:41:51

• 物理学本来是用时间和长度来定义速度的，而相对论却不得不用速度来定义时间和长度 -marketreflections- ♂ (28107 bytes) () 01/30/2011 postreply 08:53:24

• 按照相对论的观点，同一物理过程在动系中所经历的时间要比在静系中所经历的时间长。相对论的这种效应被称之为“动钟变慢”效应或“（动系 -marketreflections- ♂ (132 bytes) () 01/30/2011 postreply 09:05:00