流形向量场奇点的Poincare-Hopf定理及其初步应用
作者：萍踪浪迹（王善钦）
从Euler和Cauchy开始，微分方程的研究就和向量场的研究密切相关。到Poincare时代，由于分析工具的发展，更是形成完善的几何和拓扑理论。为了方便分析，我们先建立相图和相轨迹的概念。以位形空间坐标x和x的变化率y=dx/dt为坐标点建立起来的坐标系称为相图，x，y均为n维矢量。x-y是2n维相空间，相空间是讨论Hamilton系统的基础。相空间内的点称为相点，相点的运动轨迹称为相轨迹，简称轨迹。通常可以记dy/dx=P(x，y，t)/Q(x，y，t)
上式在dx=dy=0时失去意义。但这个情况是极其重要的。因为dx=dy=0表明位形和速度均不变化，位移不变，速度为零，相点必然落在 轴上，速度不变，必然处于平衡状态。这样的点称为平衡点或奇点。其他的点则称为为常点。常点性质非常简单。真正具有理论与应用上价值的是奇点。
早在19世纪末，Poincare就已经把Hamilton系统的研究从平直相空间推广到弯曲的相流形了。他研究相流形上带奇点的向量场的重要性质，为后世力学和数学留下宝贵遗产。Poincare截面，Poincare积分不变量等等，以及动力系统中的大量重要概念都来自Poincare高度原创性的伟大工作。其中，著名的Poincare-Hopf定理就是他的杰作之一。这里，必须先叙述奇点类型及奇点指数概念。
奇点的类型可以用系数矩阵即Jacobi矩阵 的特征值来判定。对于一个二元微分方程组，以λ_1与λ_2表示 的两个特征值。λ_1与λ_2均为实数且都小于零时，奇点为稳定结点；λ_1与λ_2为实数且都大于零时，奇点为不稳定结点；λ_1与λ_2为实数且异号时，奇点为鞍点；λ_1与λ_2为实部大于零的共轭复数，奇点为不稳定焦点；λ_1与λ_2为实部小于零的共轭复数，奇点为稳定焦点；λ_1与λ_2为纯虚数，奇点为中心。
微分方程组的奇点很好计算，只要给出函数就可以判定相空间中矢量场的奇点，比如说对于下面这个方程组决定的矢量场： dx/dt=2x+3y，dy/dt=x-y。只要令两个等式分别为零，求出的（0，0）点就是奇点。这是线性情形，奇点只有一个，为在非线性情形，奇点个数不唯一，通常应用线性近似法研究，判断奇点的稳定性，但是计算奇点的原理是和线性情形一样的。当非线性系统的线性近似的特征根实部有正数或者都小于零时，非线性方程组奇点的稳定性与其线性近似系统的稳定性是一致的。这时候可以根据线性近似系统的奇点类型来直接判断相应的非线性系统的奇点类型。这个方法称为Lyapunove
