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1楼 量子态可以描述成Hilbert空间中的波矢，记做|ψ>， 假设|x>和|p>分别对应位置算符X和动量算符P的本征态，则波矢|ψ>在位置空间中的具体表示 （记做ψ(x)，可以看作矢量|ψ>在|x>上的投影，或者说是|ψ>和|x>之间的内积），称作位置波函数，它对应位置的概率幅，即它的模的平方，对应粒子处于位置x附近的概率密度； 同理，波矢|ψ>在动量空间中的具体表示ψ(p)=，对应动量空间中的波函数，它对应动量的概率幅，即它的模的平方，对应粒子处于动量p附近的概率密度. 你问量子力学中的算符是怎么来的，可以启发性地回答如下：经典力学中，任一个力学量F，可以写成广义坐标和广义动量的函数， 我们就以位置坐标x和动量p为例，则有F=F(x,p)，量子化时，要把坐标x和动量p换成对应的算符X和P（后面算符是大写字母表示的），如果F(x,p)中存在x和p之间的乘积项，还要该项中的把X和P之间的排序对称化。 在位置空间中，有（其中为了方便把Planck常数被取做1） X=x（即表现为一个乘性因子），P=-id/dx 其中i是虚数单位，d在这里表示偏微分符号。 同理，在动量空间中，有 X=id/dp，P=P （即表现为一个乘性因子）这样，在量子力学中，经典力学量F(x,p)就变成了算符F(X,P)。 那么，你会问为什么X=x，P=-id/dx，这只能启发性地说一下。量子力学方程，常常可以这样得到：对于经典力学中的能量的表达式（称作色散关系），例如E=p^2/2m+kx^2/2（m是粒子的质量，k是一个系数），把其中的力学量换成算符，再两边同时作用于位置波函数，就得到量子力学方程： (id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m+kx^2/2]ψ(x) 位置波函数常常含有相位因子如exp[-i(Et-px)]，其中t是时间，因此当位置波函数作为算符的表示空间（或算符所作用的作用空间）时，只有 E=id/dt，X=x，P=-id/dx，才能由量子力学方程(id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m]ψ(x)得到E=p^2/2m， 或者说，才能把二者对应起来。但是要注意的是，id/dt不被看作是能量算符，在这个例子中，(-id /dx )^2/2m+kx^2/2才是能量算符。 量子力学中，)=(的确不总是成立的，但是量子力学中这种例外比较少。我忘了泛函分析中算子有界的具体定义，但位置算子的本征值在正负无穷大的范围中，即位置的取值是无界的。 看来你多半是学数学出身的。你的问题，学物理的人未必熟悉泛函分析；懂泛函的未必懂量子力学，因此恐怕不容易回答。 如果你能用Latex编写公式，你的问题就容易被看懂。你说“位置函数在坐标表象下的算子对应于f->xf”，这句话恐怕没有人能看懂。建议你先仅仅从物理的角度学习一下量子力学，然后再考虑它的泛函分析的数学背景，这样你将来还可以反过来，给我们大家科普一下从严格的泛函分析的角度来阐述量子力学（我本人以前学过一点泛函分析，现在基本上忘光了）。 |
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3楼 先讲一下第一段里"|ψ>在|x>上的投影"： |ψ> = |ψ><x|x> = <x|ψ>|x> = ∑ψi(x) |xi> |ψ>在|p>上的投影 同上。 .......晚了，明天再看......免得明天动物园的饲养员来俺家抓熊猫 |
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4楼 就是坐标表象 ∑ψi(x) |xi>， 动量表象 ∑ψi(p) |pi>； 点评：第一段是星空对一个 数学er 讲解表象转换的问题。 物理er 的话参考<费曼物理学讲义. 卷三>斯特恩--格拉赫 试验 相关章节，大概1000字左右，有图例，说明得很非常棒的。 第二段是说算符怎么来的： 星空从广义坐标入手,得到结论： 位置坐标相当于动量坐标的微分算符； 动量坐标 相当于 位置坐标 的微分算符。 也就是说，某种意义上， 某广义坐标微分算符可以获得其它广义坐标。 比如， dx 等价与坐标 p .....对物理er 说来，物质波的形式 ψ(Et, xP)导致. 对x作微分就会得到P；对t做微分，就得到E. 一切多亏德布罗义大虾。 |
