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什么是“流”？
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| 计算士 发表于 2010-3-29 17:20:20 |
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什么是“流”？在我接触过的各种数学体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。我想，相对来说，前者对于多数人而言似乎更为直观。在这篇文章里，就以“流”(Flow)的角度展开了。其实，这两种思路有着根本的联系——这种联系体现在李群论的一个基础概念——李群作用(Lie Group Action)，以及由它所延伸出来的丰富的理论。 流(Flow)是什么呢？很通俗的说，表示了一种运动规则。给定一个点的初始位置 x，让它运动一段时间 t，那么之后到达另一个位置 y，那么 y 就是初始位置 x 和运动时间 t 的函数： <BLOCKQUOTE>y = S( t, x ) </BLOCKQUOTE>这个函数 S，如果符合一些合理的性质，就叫做一个流(Flow)。学过微分几何的同学可能会觉得这个定义与数学中的严格定义有点差距——确实如此。在微分几何中，流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上，在一篇Blog文章中很难按照这样的方式阐述。只好在一定程度上放弃严密性，从直观出发，希望能传递出最基本的思想。 我们想想， 一个合理的运动函数应该具有什么性质呢？我想，最起码应该有三点：
总结起来，S(x, t) 是对于 x 和 t 的连续函数（实际上，在一般的定义中更严格一些，通常要求 S 是光滑函数，就是无限阶可微的函数。光滑性其实不是很强的条件，我们学过的全部初等函数都是光滑的）。还有就是关于时间的一致性条件。这里特别强调一点，我们允许 t 是可正可负的：时间取负数，就是让这个点沿着原路径倒回去走——怎么来的，就怎么回去。这里面隐含了一个条件：在某一时刻分开的两点是永远走不到一起成为一点的——否则倒回去就不知道往哪走了——这拓扑上，拓扑结构不发生改变就保证了这一点：物体既不能撕开，也不能粘在一起。
流——变换群和运动曲线的统一
这个S(t, x)呢，可以从两个方面去看，就得到两种不同的理解。首先，固定 t， <BLOCKQUOTE>T_t ( x ) = S(t, x) </BLOCKQUOTE>它就变成了一个关于x的变换函数：把一个点从一个位置变换到时间 t 后的另外一个位置。那么 T_t 就是一个变换。然后，不同的时间 t，对应着一个不同的变换。而且基于时间的一致性，先做 T_(t1) 变换 （走时间 t1），再做 T_(t2) 变换（再走时间 t2），相当于另一个变换 T_(t2 + t1)。数学上就是：T_(t2) * T_(t1) = T_(t2 + t1)。如果你对群的概念有基本的了解，这里就可以看出来，从全部的不同时间的T_t 构成了一个变换群，从 t 到 T_t 的映射，就是从实数R上的加法群到这个变换群的同构映射。因为 T_t 是由一个参数 t 控制的，有个专门的名词，叫做“单参数群”(one-parameter group)。由于加法群的可交换性，这个单参数变换群也是可交换的——这个可交换性的物理意义很明显: 先走t1，再走t2；还是先走t2，再走t1，是一样的。 因此，我们得到了第一种理解：流，就是连续作用在一个物体上的可交换单参数变换群。（这里所谓“物体”，在数学上有专门的名字“流形”，对于这点我不想展开太多了。）其实，这才是关于流的比较正规的定义。 从另外一个角度上看，固定 x，我们追踪这一个点的运动， y_x ( t ) = S(t, x) 那么 y_x 就是初始位置（t=0时的位置）为 x 的点的运动过程——也叫做运动曲线(curve) 或者运动轨迹(orbit)。每个点都有自己的运动曲线，所谓流，就是这所有的这些运动曲线的共同体，或者说，流就是由这些运动曲线刻画的——这和我们一些直观的想法是一样的——我们在画画时喜欢在河上画几条曲线来表示流动。 这个函数S(t, x)，把变换群和运动曲线同一起来了——它们就是一个东西的两个不同侧面。到这里，我们向我们的目标迈出了第一步——最终，我们是要把变换群和向量场联系在一起——这就是李群和李代数的核心所在。
流与向量场继续我们的故事。现在，我们有了y_x( t )，那么对它求导，我们就可以得到这个点在各个时刻的速度。整个流行就是所有这些曲线的集合，这样，在流形上的每个点，我们都能找到经过它的一条曲线，从而标出这点的速度。（这里强调一点，对于一个给定的流，经过某点的曲线是唯一的，你可以想想为什么？）于是，我们给每个点都赋予了一个速度，这就是“速度场”(velocity field)。每个速度就是曲线上的一个切向量，所以更一般的说，我们把它叫做“向量场”。这里，我们看到，任意一个流都可以通过运动曲线的速度来建立一个对应的向量场。而且可以证明，这个向量场是连续的。 那么反过来呢？我们给定一个连续的向量场，能不能找到一个流和它对应呢？这里面有三个方面
这个问题是一个很深刻的问题，它的回答直接联系到一般意义的常微分方程的解的存在性，唯一性，和连续性。答案是，这在局部上是成立的。就是任意一个定义于流形上的向量场，对于流形上的任何一点，总能找到包含它的一个“局部流形”（开子流形），以及定义在这个局部上的流，使得流的速度场和给定的向量场在这个局部相等。简洁一点说，符合条件的流在处处“局部存在”。而且，它们在某种意义上是唯一的，就是两个符合条件的“局部流”，它们在定义域重合的部分是相等的。如果给定向量场是连续（光滑）的话，那么导出的流也是连续（光滑）的。
我不打算给出严格的证明，这可以在很多微分流形的相关资料中找到。这里，我希望用一个通俗的过程来介绍，怎么构造出这个流。我们把向量场看成是在一个大地图上标了很多很密的指示牌——告诉你到了这点后应该用多大的速度往什么方向开车。于是，你从某个地方出发，你先看看附近的指示牌，把车子调整到指示的速度和方向，往前开一小段后看到下一个指示，继续调整速度和方向，一直这样下去，你开车的过程就形成了一个运动轨迹，而且在各点上的速度，都和该点的指示一致。设想一个极限过程，指示牌无限密集，开车的人每个时刻都在连续地调节速度，那么就得到了一个和向量场一致的运动曲线。我们上面说过，流是所有这些运动曲线的集体，于是我们从不同的地方开始开车，最后就能把整个流构造出来了。 有些时候，向量场的定义域可能不是很完整，那么车子不能无限开下去（不然可能开出去了），这时候只能给出“局部的流”。如果一个向量场存在一个全局的流，就叫做完备的向量场(Complete Vector Field)。 从这个故事，我们知道一个变换是怎么炼成的：就是按照指示，一步步的做，这些小步积累起来，就形成最后的变换效果。有什么样的指示，就会有什么样的变换。在李群论中，数学家给向量场起了个名字：infinitestimal generator——寓意是，千里变换，生于跬步。数学上，“千里”与“跬步”的关系，就是李群和李代数的联系。 为什么我们不直接描述变换，而言描述生成它的向量场呢？很简单，很多时候全局的演化不容易直接描述，而小步的前进则是很容易把握的。在很多问题中，我们知道“divide and conquer“的策略能够大大简化问题，从变换群到向量场正是这种策略的极限体现。一个简单的例子，比如我们要表示一个不会改变物体大小的变换过程，所谓“不可压缩性”如果用变换矩阵直接表达，那是一个颇为复杂的非线性约束，而如果使用向量场表达，我们只需要把向量场限制在某个有限维子空间里——这就是一个简单得多的线性约束。这样的例子还有很多很多。
和微分方程的联系最后，我们再回头看看上面这个“从向量场推导流”的问题。我们知道所谓速度场，就是对 t 的导数，所以这个问题，可以写成： <BLOCKQUOTE>给定向量场 V(x)， 求 S(t, x) 使得 d S(t, x) / dt = V(x)， 并且 S(0, x) = x </BLOCKQUOTE>这就是一般意义的常微分方程的初值问题。对这个问题的回答，和对于常微分方程的解得存在性，唯一性和连续性的回答，是联系在一起的。给定一个向量场，就相当于给出一个常微分方程。如果给定 x, 那么所形成的曲线 y_x ( t )，就是上述微分方程的解，而流 S(t, x) 就是所有这些解的整体。我们知道微分方程的解通常以积分形式给出，所以上面说的“运动曲线”，在数学上有个正式的学名叫“积分曲线”(Integral curve)。 在物理上，“积分曲线”也是很容易理解的，就是把“速度指示牌”的指示积累起来形成的路径，积分曲线生成的过程就是“积跬步而致千里”的过程。而且，这不仅仅是一种形象思考，在实际问题中微分方程的数值解法正好就是这种过程的最好体现。 Cited from |
| 关于陈至达的变形几何场理论 |
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在我前几天的博文“关于陈至达先生的理性力学理论”中已经指出，陈至达先生采用了爱因斯坦的软体（随体）坐标系观点，并建立了变形运动的几何场理论。他的基本纲领是把变形看成是一个局部矢量基变换。他的数学创新是他的变形几何场理论。 那这种理论与一般的黎曼几何有何差别呢？ 陈至达的变形几何场理论：在3维空间，3个局部矢量基变换是： gi=Fjig0j 式中，重复指标表示求和， 黎曼几何张量表达理论：而在3维空间，3个局部坐标轴的变换是： dxi=FijdXj dXi为旧局部坐标轴， Ai=Fijaj 客观张量的不变性要求是:ds=AidXi=aidxi Ui=Fijui 这里，变换Fij不是客观的，因而不是张量。但是，任意物理矢量U=UiAi=uiai的客观性在形式上的表达方式与具体坐标系选取无关，因而称为物理矢量的张量分量表达方式。 数学上，如把方向性选择抛弃，用：ds2=ds*ds为不变量，则形成黎曼几何下的张量表达方式。这是目前的正统。
对比上述论述，可见，Fij( 由于数学上，二者的共同基础是变换群理论，看不出以上的根本差别而以黎曼几何张量表达理论的观点否定陈至达的变形几何场理论在力学界是普遍性的。 对单参数变换群在物理应用上要受到被研究的物质点的客观不变性（坐标标识不变性）限定这一点是被数学家忽视的。忽视这一点的话，就数学形式上，完全可以将单参数变换群等同于单参数局部坐标变换。因而，数学界普遍的认为陈至达的变形几何场理论就是一般的单参数局部坐标变换下的张量理论。按这一认识，这是早就解决了的问题。而且，如果一旦发现有不同的地方就认为陈至达的变形几何场理论有问题。结果还是等价于否定。 结果是：力学界、数学界对陈至达先生的理性力学理论的否定性看法占主流地位。但是，这种否定是不科学的。是理论水平和认识水平造成的。对我国科学进步，这种否定的后果是负面的。 通过这个实例，可以有以下结论：1）个体科学工作者的理论水平和认识水平决定了他的判断能力，而这种判断能力决定了他的研究工作路线的正误，因而，是否能站在前人建立的制高点上作为出发点开拓创新完全取决于他的理论水平和认识水平。2）有话语权的科学界人才的普遍（平均）理论水平和认识水平决定了科学界对创新性理论的认可或接受能力（程度）。 就本案例而言，普遍性的否定陈至达的变形几何场理论意味着后续研究工作的亏空，因而，该方向路线下的可能产出的科技创新也就被大大推迟了（甚至于也被否定了）。 把这种后果也考查进来，则最后的结论只能是： 科学界人才的普遍（平均）理论水平和认识水平决定了科学界的创新能力。因而，加强我国的基础科学教育与研究直接的决定我国的科学创新能力。 |
