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fantadox 2009-12-21 15:26
路径积分的测度是如何定义的？
物理书上讲路径积分往往不讲测度的具体定义，而是直接从一些实例出发做计算，但这常常让我感到非常困惑。不说明在函数空间中如何确定一个函数集合的『体积』我就很难放开手去计算，虽然书上的计算看上去都很可靠，一旦轮到自己去算，就不知道什么样的步骤是合法的。如果能推荐一本适合学物理的人看的，清晰地讨论了路径积分测度的书也可以，多谢！
星空浩淼 2009-12-21 16:39
如果你学过测度论，对这个概念就不难理解。“积分测度”这个概念跟通常的“测度”相比，在概念上有些引申，不妨理解为积分时的体积元。
例如采用笛卡尔坐标系时，一重积分中，一维空间的体积元是dx；三重积分中，三维空间的体积元是dxdydz，如果变换到球坐标系，则积分测度变为：
dxdydz→r^2sinθdrdθdφ
（不过这个地方我忘了：是把drdθdφ称作积分测度，还是把整个体积元r^2sinθdrdθdφ称为积分测度？）
相空间中的路径积分表示，积分测度相当于相空间中的体积元：把所有广义坐标的微分元与所有广义动量的微分元相乘。对于量子场而言，路径积分测度，则是场量的变分元与正则共轭动量的变分元之积，不同时空点处的场量及其正则共轭动量，对应不同的泛函积分变量，因此路径积分（泛函积分）的“积分重数”是不可数无穷多。
例如采用笛卡尔坐标系时，一重积分中，一维空间的体积元是dx；三重积分中，三维空间的体积元是dxdydz，如果变换到球坐标系，则积分测度变为：
dxdydz→r^2sinθdrdθdφ
（不过这个地方我忘了：是把drdθdφ称作积分测度，还是把整个体积元r^2sinθdrdθdφ称为积分测度？）
相空间中的路径积分表示，积分测度相当于相空间中的体积元：把所有广义坐标的微分元与所有广义动量的微分元相乘。对于量子场而言，路径积分测度，则是场量的变分元与正则共轭动量的变分元之积，不同时空点处的场量及其正则共轭动量，对应不同的泛函积分变量，因此路径积分（泛函积分）的“积分重数”是不可数无穷多。
fantadox 2009-12-21 18:09
多谢星空兄。但让我困惑的恰恰是这个无穷，无穷多个微分元相乘是个什么东西？比方说，如果是三维空间中三个微分元相乘得到一个小体积元，我可以谈论这个小体积元相对于另外一个小体积元的相对大小，但无穷多个微分元相乘之后，我怎么谈论两个这样的量的相对大小？与某条曲线距离[color=Red]小于[/color]r的所有曲线构成了这条曲线的一个邻域，这个邻域的测度跟与这条曲线距离[color=Red]小于[/color]r'的所有曲线所构成的邻域的测度的关系是什么？
[[i] 本帖最后由 fantadox 于 2009-12-21 19:31 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 fantadox 于 2009-12-21 19:31 编辑 [/i]]
blackhole 2009-12-21 18:48
与某条曲线距离为r的所有曲线构成了这条曲线的一个邻域，
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
是距离小于r吧？
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是距离小于r吧？
fantadox 2009-12-21 19:31
回复 4# 的帖子
哦，不小心写错了，已经修改。fantadox 2009-12-26 16:25
顶一下，哪位老师有空给俺点一下么？
留空 2009-12-28 14:59
这玩意好像数学上还没有很好的定义
fantadox 2009-12-28 15:49
回复 7# 的帖子
我现在感到最困惑的就是这个测度的无穷大的维数。如果是有限n维还好办，有限维r邻域的体积跟r的n次方成正比，但无限维情况下，r邻域的体积岂不是跟r的无穷多次方成正比？于是只要两个球体的半径r有差别，那么小的球体相对于大的球体的测度就是0（？）了。于是，对于一个球体来说，只有球体表面的无限薄的一层对这个球体的测度有贡献，而球体内部任何半径以内对于球体的测度贡献都几乎为0。这种测度是在是让我太困惑了。或者说，路径积分的测度想要有良好的定义，就必须考虑plank尺度的截断从而变成有限维（虽然维数很巨大）？
季候风 2009-12-28 16:28
所有场位形的空间不必是欧氏空间的极限，Feymann 测度更不必是 Lebesgue 测度的极限，为什么球体的测度要正比于半径的维数次方？
fantadox 2009-12-28 17:07
回复 9# 的帖子
我说的正是我不明白的地方，我的数学基础薄弱，季候风兄能否解惑？这个路径积分的测度到底是如何定义的？季候风 2009-12-28 17:39
就是那些乘积测度
[tex] \prod_{k,a} dq_a(t_k) \prod_{k,b} dp_b(t_k) [/tex]
在 [tex] \delta t \to 0, \; \delta a\to 0, \; \delta b\to 0 [/tex] 下的极限。只不过数学家无法一般地严格证明这个极限存在。
在特殊情况下，比如用 Wick rotation 使密度函数成为 [tex] \exp(-S) [/tex], 而且只考虑量子力学（0+1维场论），则可证明路径积分存在，这就是 Brownian motion 或者 Wiener measure.
参见 [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_extension_theorem[/url]
关于怎样从一系列离散点处的乘积测度扩张到路径测度（随机过程）。
[tex] \prod_{k,a} dq_a(t_k) \prod_{k,b} dp_b(t_k) [/tex]
在 [tex] \delta t \to 0, \; \delta a\to 0, \; \delta b\to 0 [/tex] 下的极限。只不过数学家无法一般地严格证明这个极限存在。
在特殊情况下，比如用 Wick rotation 使密度函数成为 [tex] \exp(-S) [/tex], 而且只考虑量子力学（0+1维场论），则可证明路径积分存在，这就是 Brownian motion 或者 Wiener measure.
参见 [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_extension_theorem[/url]
关于怎样从一系列离散点处的乘积测度扩张到路径测度（随机过程）。
shape 2009-12-28 20:05
好象有限维Wiener measure. 和无限维Wiener measure是有区别的,
无限维叫高斯测度,
可以参考一下MULLIVAN calculus方面的书
[[i] 本帖最后由 shape 于 2009-12-28 20:07 编辑 [/i]]
无限维叫高斯测度,
可以参考一下MULLIVAN calculus方面的书
[[i] 本帖最后由 shape 于 2009-12-28 20:07 编辑 [/i]]
sage 2009-12-29 09:12
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Would you feel more comfortable if you don't really need to take the infinity limit?fantadox 2009-12-29 10:43
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也谈不上感觉舒服一点，但至少这样是可以理解的，不过我还是希望能够对极限情况理解得明白一点:)fantadox 2009-12-29 10:45
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多谢季候风老师，待我学习一下看看能不能弄明白一些:)也多谢shape！
sage 2009-12-29 11:59
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That's fine. In physics, you never need to take the limit.fantadox 2009-12-29 17:27
回复 16# 的帖子
哦，我记得以前sage老师用质点还是点电荷做过类比，说得就是这个意思吧？:)windowsxp 2010-2-8 13:37
物理学家做的好像都是有限维的近似,没人知道如何安定义去做
