G o o g l e 在网路漫游时会自动将档案转换成 HTML 网页来储存。
偏微分方程
PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION
(P.D.E)
浙江大学数学系
2
参考书目
《数学物理方程》,
王明新, 清华大学出版社。
《数学物理方程》，姜礼尚，
高教出版社。
《工程技术中的偏微分方程》，
潘祖梁，浙江大学出版社。
浙江大学数学系
3
一. 偏微分方程的基本概念
自变量
未知函数
偏微分方程的一般形式
浙江大学数学系
4
PDE的阶：
PDE的解
古典解
广义解
一些概念
是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。
线性PDE
非线性PDE
半线性PDE
拟线性PDE
完全非线性PDE
浙江大学数学系
5
线性PDE：
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：
常系数线性PDE:
不然称为变系数的．
齐次线性PDE:
不然称为非齐次的．
线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分．
主部
浙江大学数学系
6
PDE中对最高阶导数是线性的。例如：
半线性PDE：
完全非线性PDE：
PDE中对最高阶导数不是线性的。
拟线性PDE：
拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：
浙江大学数学系
7
举例（未知函数为二元函数）
1.
2.
变换
解为：
解为：
浙江大学数学系
8
举例（未知函数为二元函数）
4.
3.
解为：
变换
解为：
浙江大学数学系
9
5.
不易找出其通解，但还是可以找出一些特解
任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。
也是解
6.
特解都不易找到
KDV方程
举例（未知函数为二元函数）
`
浙江大学数学系
10
7.
拟线性PDE
8.
拟线性PDE
9.
半线性PDE
10.
半线性PDE
11.
完全非线性PDE
浙江大学数学系
11
举例(多元函数)
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
波动方程
浙江大学数学系
12
二. 定解问题的适定性
定解问题
PDE
定解条件
初值条件
边值条件
初、边值条件
初值问题、边值问题、混合问题
浙江大学数学系
13
经典的定解问题举例
波动方程的初值问题（一维）
浙江大学数学系
14
经典的定解问题举例
热传导方程的初值问题（一维）
浙江大学数学系
15
经典的定解问题举例
二维调和方程的边值问题
第一边值问题（Dirichlet）
第二边值问题（Neumann）
第三边值问题（Robin）
浙江大学数学系
16
经典的定解问题举例
热传导方程的初、边值问题
浙江大学数学系
17
何为适定性？
存在性
唯一性
连续依赖性（稳定性）
适定性
若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。
稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小．
浙江大学数学系
18
三. 物理模型与定解问题的导出
弦振动方程的导出
浙江大学数学系
19
弦振动方程与定解问题
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。 假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
浙江大学数学系
20
取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOU
O
U
X
P
Q
L
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)
O
U
X
P
Q
此为上图中PQ的放大图示
浙江大学数学系
21
假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为
即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力 T 的大小与时间 t 无关。
再由于弦是柔软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切线方向。
浙江大学数学系
22
(*1)
(*2)
设 为弦的线密度(单位长度的质量)， 为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位长度的力)，根据牛顿第二定律，
浙江大学数学系
23
(*1)
这表明张力的大小与 x 也无关，即
常数
(*2)
，微分中值定理
浙江大学数学系
24
令
，可得微分方程方程
弦是均匀的，故 为常数，记
方程改写为
刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。
浙江大学数学系
25
为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件
或者(以及)边界条件
已知端点的位移
已知在端点受到垂直于弦的外力的作用
已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合
浙江大学数学系
26
四. 二阶线性方程的分类
两个自变量，齐次
主部
目的：
通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。
非奇异
（1）
浙江大学数学系
27
复合求导
浙江大学数学系
28
系数之间的关系
（2）
（1）
（3）
浙江大学数学系
29
其他系数之间的关系
（3*）
浙江大学数学系
30
考虑
如若能找到两个相互独立的解
那么就作变换
从而有
（4）
浙江大学数学系
31
假设
是方程
的特解，则关系式
是常微分方程
（4）
（5）
的一般积分。反之亦然。
引理
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。
浙江大学数学系
32
定义
称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。
称（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。
（6）
浙江大学数学系
33
记
定义
方程(1)在点M 处是
双曲型：
椭圆型：
抛物型：
若在点M处，有
若在点M处，有
若在点M处，有
浙江大学数学系
34
双曲型PDE
右端为两相异的实函数
它们的一般积分为
由此令
，方程（1）可改写为
双曲型方程的第一标准型
双曲型方程的第二标准型
浙江大学数学系
35
抛物型PDE
由此得到一般积分为
由此令
，其中
与
独立的任意函数。
浙江大学数学系
36
由于
由此推出
浙江大学数学系
37
因此，方程（1）可改写为
抛物型方程的标准型
而
浙江大学数学系
38
椭圆型PDE
右端为两相异的复数
由此推出两族复数积分曲线为
其中
浙江大学数学系
39
由此令
从而方程（1）可改写为
， 满足方程（4）
椭圆型方程的标准型
浙江大学数学系
40
例1
抛物型方程
令
浙江大学数学系
41
例2
双曲型方程
浙江大学数学系
42
例3
Tricomi方程
椭圆型
双曲型
抛物型
浙江大学数学系
43
浙江大学数学系
44
作业：
P.21-22
Ex 12, 13 (1,2), 14(1)
助教关于作业的点评：做得都挺好.
常见问题: 下面方程
中, 系数 与 混淆.
