qūxiàn ㄑㄩㄒㄧㄢ 曲线（曲线） (1)动点运动时，方向连续变化所成的线。(2)谓弯曲的波状线。特指人体的线条。茅盾《锻炼》十二：“如果不免也还有可供指摘之处，这便是她身上穿的也是丝质的晨衣，色彩姣艳，而且把浑身的曲线都显露出来。” 定义　按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相

曲线

当于是说：

(1.)R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的。

(2.)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。

(3.)说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科，为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。

正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

曲线：任何一根连续的线条都称为曲线，包括直线、折线、线段、圆弧等。

曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。

处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间【α，b)】到E3中的映射r:【α,b)】→E3。有时也把这映射的像称为曲线。具体地说，设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系，r为曲线C上点的向径，于是有

曲线

。上式称为曲线C的参数方程,t称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向（图1）。曲线论中常讨论正则曲线,即其三个坐标函数x(t)，y(t)，z(t)的导数均连续且对任意t不同时为零的曲线。对于正则曲线，总可取其弧长s作为参数，它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用

曲线

来定义，它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续导数，即曲线是C3阶的。

编辑本段基本公式

设正则曲线C的参数方程为r=r(s)，s是弧长参数，p(s)是曲线C上参数为s即向径为r(s)的一个定点。Q(s+Δs)为C上邻近p的点，Q沿曲线C趋近于p时，割线pQ的极限

曲线

位置称为曲线C在p点的切线。过p点与切线垂直的平面称为曲线 C在p点的法平面。曲线C在p点的切线及C上邻近点R确定一个平面σ,σ的极限位置称为曲线C在p点的密切平面，它在p点的法线称为曲线C在p点的次法线，曲线C在p点的切线和次法线决定的平面称为曲线C在p点的从切平面。p点的法线称为曲线C在p点的主法线（图2）。

曲线

以"·"表示关于弧长参数s的导数,并且设

曲线

那和b(s)=t(s)×n(s)分别是曲线C在p(s)点的切线、主法线和次法线上的单位向量，并且t(s)指向曲线 C的正向。n(s)指向曲线凹入的一方。t(s)、n(s)和b(s)按此顺序构成右手系，且分别称为曲线C在p(s)点的切向量、主法向量和次法向量。{r(s),t(s),n(s),b(s)}称为曲线C在p(s)点的弗雷内标架。

曲线

C的每一点都有弗雷内标架。为研究曲线上两个邻近点上弗雷内标架之间的变换关系，要讨论t(s)、n(s)和b(s)关于s的导向量，它们可由标架向量线性表出，这就是下述曲线论的基本公式（弗雷内公式）：

曲线

式中k(s)和τ(s)分别被称为曲线C在p(s)点的曲率和挠率。

曲率

这是切向量t(s)和t(s+Δs)之间的夹角。故曲率度量了曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为 0。圆周的曲率等于其半径的倒数。当曲线C在p(s)点的曲率k≠0时，在p(s)点的主法线上沿n(s)的正向取点Q，使得pQ=1/k,在p点的密切平面上以Q为中心，1/k为半径的圆称为曲线C在p点的曲率圆或密切圆，Q和1/k分别称为曲率中心和曲率半径。密切圆是过曲线C上p(s)点和邻近两点的圆的极限位置。

挠率

曲线

，它的绝对值

曲线

度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上，则称为挠曲线。

若p0(s0)点的曲率和挠率均不为零，取p0为原点，曲线的切线、主法线和次法线为坐标轴，在p0附近，曲线可近似地表示为：

曲线

所以曲线C在p0点邻近的近似形状。

编辑本段基本定理

曲线的弧长s、曲率k(s)和挠率τ(s)是运动的不变量。反过来，曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说，如果给定了两个连续函数k(s)>0和τ(s),s∈【α,b)】，则存在以k(s)和τ(s)分别为其曲率和挠率的曲线，并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。

曲线

平面曲线 挠率恒为零的曲线为平面曲线。设Oxy为欧氏平面E 2的笛卡儿直角坐标系，则平面曲线C的参数方程为r=r(s)=(x(s),y(s)),s为弧长参数，弗雷内公式可写成

曲线

这里nr是单位法向量，使t(s)到nr(s)的有向角为。kr(s)称为相对曲率，kr>0和kr<0分别表示曲线向左转和向右转。

螺线

C为挠曲线，若其曲率和挠率具有固定比值，称为螺线。它的特征是切线与一固定方向作成定角。特别,如果曲率和挠率均为非零常数，那么C是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角。它是质点绕一条直线（螺旋轴）等速旋转且又沿这轴线方向等速移动时的轨迹。

贝特朗曲线

挠曲线C若满足λk(s)+μtau;(s)=1,其中λ、μ为常数且λ>0,称为贝特朗曲线。这样的曲线可与另一条曲建立一一对应关系，使在对应点的主法线重合。反之，这个性质也是曲线成为贝特朗曲线的充分条件。这样的C中的每一条都称为另一条的侣线。两条贝特朗侣线在其对应点的切线作固定角。

渐缩线与渐伸线

曲线C1的切线为另一条曲线C2的法线，则C1称为C2的渐缩线或渐屈线，C2称为C1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的齿轮相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线，通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。

编辑本段整性质

以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s)，s∈【α,b)】，s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交，则称为简单闭曲线。对于正则闭曲线C,把它的切向量t(s)的始点放在原点，t(s)的终点轨迹是单位球面上的一条闭曲线，它称为曲线C的切线像或切线标形。C的切线像的长度为

曲线

等式右方是闭曲线C的曲率k(s)沿C的积分，自然就称为曲线C的全曲率，表示。正则闭曲线的全曲率等于其切线像的长度。关于正则闭曲线的全曲率的界限有下述二定理。

芬切尔定理

正则闭曲线C的全曲率，且等号仅当 C为平面凸闭曲线时成立。这定理给出了正则闭曲线的全曲率的下限，白正国将此定理推广到分段光滑的闭曲线。

法里-米尔诺定理

简单正则有结空间闭曲线的全曲。

闭曲线C的挠率τ(s)沿自身的积分

曲线

自然就称为C的全挠率。球面上闭曲线的全挠率等于零，反之，如果非平面的曲面上任意闭曲线的全挠率都等于零，那么这曲面为球面或其一部分。

设 C为平面正则闭曲线，则当点绕C一周时,曲线C的切线像t(s)将在单位圆周上绕若干圈，这个圈数ir（以逆时针向环绕时圈数为正，顺时针向时为负）称为C的旋

曲线

转指标，可算得，

这里kr(s)是C 的相对曲率。切线回转定理表明：平面简单正则闭曲线的旋转指标ir等于±1。

将平面上一条定长的细绳首尾相接而构成一条简单闭曲线,它把平面分成以其为公共边界的二个部分，它所围成的区域的面积为最大时，其形状是圆周。有如下更精确的结论：设曲线C是长度为L的平面正则简单闭曲线,A是C所围区域的面积，那么L2-4A≥0,并且等号当且仅当C是圆周时成立。上述不等式有过种种的推广，这类问题叫做等周问题。对于平面曲线，与空间曲线论基本定理相仿，它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。相对曲率 kr(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的切线的一侧的曲线，成立著名的四顶点定理：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。此外，还可以利用柯西-克罗夫顿公式来计算平面正则曲线的长度(见积分几何学)。 ^[1]

编辑本段photoshop中的曲线

ps曲线的作用

曲线不是滤镜，它是在忠于原图的基础上对图像做一些调整，而不像滤镜可以创造出无中生有的效果

曲线不是那么难以捉摸的，只要掌握了一些基本知识，你可以像掌握其他工具那样很快掌握滤镜

控制曲线可以给你带来更多的戏剧性作品，更多精彩都将来自你手下

Photoshop给你的真正乐趣之一，是软件提供给你很多种解决难题的方案。就调整图像来说，在图像>调整菜单里有很多可以选择的工具，我最喜欢曲线的理由在于仅这一项工具你就可以：

调节全体或是单独通道的对比

调节任意局部的亮度

调节颜色。

曲线可以精确的调整图像，赋予那些原本应当报废的图片新的生命力！

曲线调节功能对每一个和图像打交道的人都很重要，所以即使你不使用Photoshop，你也可以从中得到不少有用的帮助。

ps曲线原理

用最简单的话来说：拉RGB曲线是改变亮度，拉CMYK曲线是改变油墨。

下面说得详细些，新手可能需要这方面的知识。

（1）RGB曲线

它的横坐标是原来的亮度，纵坐标是调整后的亮度。在未作调整时，曲线是直线形的，而且是45°的，曲线上任何一点的横坐标和纵坐标都相等，这意味着调整前的亮度和调整后的亮度一样，当然

也就是没有调整。

如果你把曲线上的一点往上拉，它的纵坐标就大于横坐标了，这就是说，调整后的亮度大于调整前的亮度，也就是说，亮度增加了。

“曲线”对话框还显示你所调整的点的“输入”、“输出”值，它们实际上就是横坐标和纵坐标。上图“输入”（即横坐标，调整前的亮度）是127，“输出”（即纵坐标，调整后的亮度）是154，意味着把亮度由127提高到154。亮度的取值范围是0～255，由于曲线的连续性，不仅这个点升高了，它左边的点（原来亮度为0～127）和右边的点（原来亮度为127～255）也升高了，这就是说整个画面的亮度都提高了。

曲线下面有两个滑块，在你忘记曲线的明暗方向时提醒你。现在黑滑块在左边，白滑块在右边，表示左边暗，右边亮。

曲线的左端点代表黑场，假如你把这个点提高，头发、眼珠等黑颜色就会变亮；假如你把这个点向右拉（现在无法再把它降低），阴影会变得更黑，甚至发焦，但当画面黑场不足时，用这个办法可以加深黑场。

曲线的右端点代表白场，假如你把这个点降低，高光就会变暗，鼻尖、眉弓等处的反光就会变成灰色，这一般是不采用的；假如你把这个点向左拉（它已经无法再升高），接近高光的亮颜色就会变成高光，当画面亮调灰暗无力时，这是一个办法。

你可以调节的是4条曲线：RGB（总亮度）、R（红）、G（绿）、B（蓝）。当调节总亮度不能如愿时，你就要调节三原色。要知道RGB图像的颜色是由红、绿、蓝三原色组成的，还要知道改变每种原色的亮度对总的颜色有什么影响。这很容易，随便打开一幅RGB图，随便调节三原色曲线，你就会明白它们的作用。在有了足够的调色经历后，你要具备这样的条件反射：看到任何颜色，都能想象它的三原色组成，比如红润明亮的肤色是由很亮的红、较亮的绿和很暗的蓝组成的。

（2）CMYK曲线

它的横坐标是原来的油墨量，纵坐标是调整后的油墨量，取值范围是0～100。

“油墨量”是个笼统的说法，确切地说，它是网点面积覆盖率，是单位面积的纸被油墨覆盖的百分比。比如青的网点面积覆盖率是70%，意味着在1平方毫米的纸上，有0.7平方毫米被青墨覆盖。油墨覆盖得越多，颜色越深，因此70%的青墨比50%的青墨深，0%完全是白纸（印刷上叫“空白”），100%完全是墨（印刷上叫“实地”）。**墨也是这样。

通常的印刷使用4种油墨——青、洋红、黄和黑，前面3种是颜料三原色，画过画的人都知道它们可以组成丰富的色相，黑是用来增加明暗层次的。因此，在CMYK“曲线”对话框中有5种曲线可调节——CMYK（总墨量）、C（青墨量）、M（洋红墨量）、Y（黄墨量）和K（黑墨量）。

请打开任何一张CMYK图片，调节这些曲线，你立刻会明白每种油墨的增减对画面有什么影响。

对于CMYK要形成这样的条件反射：看到任何颜色都能想象它的四色组成。比如明亮红润的肤色是由较多的洋红、较少的黄、很少或空白的青和黑组成的。照相制版时代的分色工比我们更强，他对CMYK值的想象能精确到5%。把这样一位老人从印刷厂退休职工麻将室拉出来，让他对我们的图1-2a说点什么，他会说亮调的黄居然上了20，太多了。而我们要做的，就是把曲线往下拉。

参考资料

1

http://www1.chkd.cnki.net/kns50/XSearch.aspx?KeyWord=%e6%9b%b2%e7%ba%bf

曲线

正则曲线 若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交,则称为简单闭曲线

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