积分的“全空间”本身就是时间t的函数的话，那就有一个问题，即如果空间的大小是时间的函数的话，那空间的度规也必然是时间t的函数了吧

来源: marketreflections 于 2011-08-06 18:27:44 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (36606 bytes)

关于量子力学中路径积分的一个问题

1楼

先声明：下面所讨论的都是自由粒子的情况，也就是没有外场势能。

对于自由粒子，它由路径积分得到的传播子我想大家都是很熟悉的（下面都是三维，矢量箭头就不写了，大家都懂的）：
G(t0,x0;t,x)=sqr(m/(2 pi i (t-t0)))^3*exp(im(x-x0)^2/2/(t-t0))
这个东西看起来和我之前给出的“怪异波函数”是很像的，都是exp前为一个t在分母的函数，exp中是一个x的平方项，不同的就是我的怪波中是(kx)的平方（注意是矢量），这里就是x的平方（注意，还是矢量），而且exp之前的部分，我的是一次，这里是三次（我想这也是PIPI老师之前说我这里应该是三次的原因吧，不过我的波函数的确是一次，注意到矢量k的作用是把三维映射到一维的话，我想这个就容易理解了）。
现在假定初态波函数是坐标空间中的delta函数，比如delta(x)（注意，x是矢量），而且t0=0，那么在t>0的时刻，波函数的模平方的全空间积分是多少？
先说一下，delta函数本身并没有“归一化”：
∫delta(x)^2dx=delta(0)（注意，是三维的）


上述问题是从路径积分的角度来看的，我们知道，路径积分与波函数的演化方程是等价的，所以也许有人会给出如下证明：
因为phi(t,x)=∫phi(t0,x0)G(t0,x0;t,x)dx0，而我们要求在波函数演化中所有怪异的有病的波函数都要被剔除掉，比如我的那个波函数，所以留下的波函数都是归一化的，也就是模平方的全空间积分是与时间t无关的常数的，所以phi(t,x)的模平方的全空间积分为常数（因为phi(t0,x0)是delta函数，所以这个积分常数就是delta(0)了，三维的，别忘了）。
但是，这么做的朋友其实是偷懒，而且很不巧地偷懒得到了错误的结果。

老老实实对上述东西的路径积分做计算的话，得到的结果为（下面用P(t)表示t时刻的波函数模平方的全空间积分）：
P(t)=im^3/(t-t0)^3*P(t0)
也就是说，在自由粒子的情况下，传播子的全空间积分是时间t的函数。

因而，这是量子力学路径积分所固有的问题吧，如果不是的话，请告知我上面的计算错在什么地方了。
这个东西按照之前的讨论结果，是应该被量子力学剔除的吧？请问在这里是如何剔除的？剔除以后，剩下的合理的路径积分传播子应该是什么形式的？
进一步，这里是量子力学中的传播子，已经出现了这种全空间积分随时间t而改变的情况了，那么在量子场论中的路径积分请问如何证明没有类似情况？
如何证明在这里出现的传播子全空间积分的问题不会传染到量子场论中？

另外说明一下：上述传播子自己的全空间积分，而不是模平方的全空间积分，是精确为1的。但是我们知道，量子力学里面做的是对波函数的模平方的全空间积分，不是对波函数做全空间积分，所以我想用传播子自身的全空间积分精确为1是不能为传播子作用下的波函数的模平方的全空间积分的不为1做丝毫辩护的。
如果我上述说法有错，请指出错在什么地方。


最后要说一下：我这里谈论的，从头到尾都是全空间积分的时间演化，和归一化系数什么的没关系，您大可以对任意时间t的波函数做归一化，但和我要说的东西一点一丝一毫一厘的关系都没有，什么关系都没有，差别类似于克苏鲁文明与银英时代，是两个完完全全相互平行没有交集的平行宇宙中的一点点关联都没有的事物，相互转化的概率为精确的0，不是无穷小，是精确0。
明白了？
顶

1

2楼

进一步，我们可以这么来看：
如果适用于我的怪异波函数，将其理解为应该被剔除掉的非物理的数学结果的话，那请问这里的路径积分传播子是否也应该被理解为怪异的应该被剔除掉的非物理的纯数学结果？
既然如此，那请问从自由粒子的路径积分出发，有没有什么有意义的物理的结果？
注意，是从路径积分出发，从薛定谔方程出发的话，要多少有多少，我这里只考虑从路径积分出发，经过直接计算——所以，如果是从薛定谔方程出发进过“转换”得到的结果的话，请麻烦一点告诉我这个结果是如何从路径积分直接获得的。

再进一步，我们如何能确保我们在场论中用路径积分得到的结果就不会出现如上问题？
如果有这种确保机制的话，请劳驾告知；如果没有的话，请劳驾告知为何我们相信场论计算的结果——只是因为它“凑”出来的数据和实验一样？那说一句可能会犯众怒并被封的话：请问有什么证据表明如此凑出的物理不是民科？
我见过有民科凑出弯曲时空的量子场论的，那是不是只要凑出来了，他就不是民科了，是官科？无论他的理论内涵本身是多么地乱七八糟一塌糊涂，只要数据对，就是科学，是不是这样？

3楼

为了方便大家指出我的错误，我给出我的计算过程：
由于初态是delta函数，而且中心在原点，t0=0，所以由这个初态通过路径积分得到的末态波函数为：
sqr(m/(i2pit))^3∫delta(x0)exp(im(x-x0)^2/2/t)dx0=sqr(m/(i2pit))^3*exp(imx^2/2/t)
再次提醒：上述x是三维矢量，x^2是矢量x的模平方，delta也是三维的delta。
这个东西形式很间接，exp前是t的函数，所有相因子都在exp中，所以其模为(m/(i2pit))^3。
最后，由于初态波函数是delta函数，其模平方的全空间积分为delta(0)。而对delta(x)做傅立叶分解可知，结果为∫exp(ikx)dk/(2pi)^3（再次提醒：x和k是三维矢量，积分是对三维全空间所作）。所以∫dk=delta(0)(2pi)^3。
从而对末态的积分中，出现的对(m/(i2pit))^3的全空间积分就可以用delta(0)=P(0)来表示：
P(t)=(m/(i2pit))^3*P(0)

如果上述计算有什么问题，从而导致这个最后结果中的分母上的t可以被抵消掉的话，劳请指出。

4楼

对了，如果要说这里积分的“全空间”本身就是时间t的函数的话，那就有一个问题，即如果空间的大小是时间的函数的话，那空间的度规也必然是时间t的函数了吧？那就是说在传播子中也应该能看到度规g发生变化而导致的相因子的改变（比如，作为时间t的导数的速度在这里就应该出现度规的贡献，具体出现形式请参考弯曲时空中的电磁场理论以及GR中对电磁场等相互作用的最小替换，虽然最小替换未必正确）。
但是，这里从路径积分中的形式可以ikanchu，其度规并没有任何与时间t有关的东西在里面。也就是说，如果空间大小是t的函数，那传播子中应该能看到对应的类似于“曲率”的项R，但是这里并没有。
所以，如果要通过“全空间随t的改变”来解决这个问题的话，请劳驾先解释一下为什么这里不用出现因为空间的动态改变而应该有的曲率项。

5楼

抵消貌似的确抵消不掉。不过本来δ(x)平方的全空间积分就是无穷大，而得到的P(t)虽然和t有关，但全空间积分后还是无穷大。无穷大不是一个很好的东西。。。
当然，即使要剔除的话剔除的也是δ(x)这种初态，而不是传播子。

6楼

回复：5楼

你可以用sqr(delta(x))来算一下。
甚至于，你可以拿Gauss波包来算一下。
或者，可以拿平面波来算一下，不然拿方波也行。
反正，你可以挑一个你认为合理的波函数作为初态，然后传播子一下，结果很喜感。

7楼

回复：6楼
用Mathematica得到的初态为方波的结果还是很正常的。

8楼

回复：7楼
高斯波包的结果也很正常。

9楼

应该是选择了不合适的初态所导致的。
用G(t0,x0;t,x)表示传播子中e指数的部分，G'表示G的复共轭，我们有（都是矢量，懒得写\vec{x}了，偷懒一下哈～～）：
\int{G(t0,x0;t,x)G'(t0,x0;t,x)dx}
=\exp(\frac{im(y^2-z^2)}{2(t-t0)})\int{\exp(\frac{im\vec{x}.(\vec{y}-\vec{z})}{t-t0})dx}
=\exp(\frac{im(y^2-z^2)}{2(t-t0)})(\frac{t-t0}{m})^3\delta(\vec{y}-\vec{z})
从而，含有t的那个三次方就与传播子中除了e指数以外的那个“振幅”抵消为常数了，而后面留下的delta函数则保证了整个传播子剩下的部分具有很良好的性质，从而使得P(t)可以被写为：
P(t)=\int{\int{\psi(t0,\vec{y})\psi^*(t0,\vec{z})\exp(\frac{im(y^2-z^2)}{2(t-t0)}\delta(\vec{y}-\vec{z}))d\vec{y}}d\vec{z}}
=\int{\psi(t0,\vec{y})\psi^*(t0,\vec{y})d\vec{y}}=P(t0)
可见，是一个不变量。

我估计，LZ是在算G'G对矢量x的积分的时候出问题了，看到\vec{x}.(\vec{y}-\vec{z})就用delta了，忘了处理前面的系数了，这样会在最后结果中留下时间t。

10楼

检查了一下，少写一些东西……
应该是(2\pi\frac{t-t0}{m})^3，不是(\frac{t-t0}{m})^3

11楼

这也是个很微妙的问题。我们知道传播子在海森伯表象下即是<x_f,t_f|x_i,t_i>，换句话说，就是t_i时的位置本征态演化到t_f时的波包。而位置本征态即是delta(x-x0)，传播子取t_f->t_i，我们根本得不到delta函数。

12楼

回复：11楼

我认为是特殊函数导致的问题。
最近在看KOF兄提到的那篇文章，挺有意思的。

13楼

我给 LZ 一个较简单的版本.

考虑一个 1D 无限深方势井, 范围在 0<x<a. 假定有一个粒子在 t=0 时位於盒中 x0>0 处, 以 delta 函数 \delta(x-x0) 表示此初始波函数. 则在 t>0 时, 波函数会演化成以下形式:


请注意这个波函数在 x=0 与 x=a 都是 0.

在空间范围有限时, 必须注意边界条件, 否则会有很多不合理的推论.

14楼

回复：11楼
我觉得对传播子取t_f->t_i是个delta函数啊

15楼

回复：14楼
还真是，我忘了Riemann-Lebesgue引理。不过话说回来，我们知道gauss波包在方差->0时是delta函数，而狭窄的高斯波包是怎么也不可能演化成这种传播子形式的波函数的，我想这更体现出了这个问题的“非物理性”。

16楼

回复：15楼

delta 函数初态的确有点非物理，譬如需要能量的期望是无穷大
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